k — кратно проективными В.Ф. Каган называл пространства аффинной связности, геодезические которых в некоторой системе координат выражаются системой из (n-1)-го уравнения, из которых k линейных уравнений. Для представления данного определения можно рассмотреть отображение такого пространства на евклидово. Геодезические линии будут отображаться в линии, находящиеся (n-k) — в мерных плоскостях En-k евклидова пространства. Под «плоскостью» k кратного проективного пространства понимается прообраз плоскости En-k, то есть мерная поверхность, которая в данной системе координат выражается k линейными уравнениями. При k= n-2 геодезические линии будут располагаться на двумерных поверхностях, которые играют роль двумерных «плоскостей» пространства аффинной связности. Если все эти «плоскости» проходят через некоторую точку, то пространство называется субпроективным.
Так как субпроективное пространство является конформно-евклидовым, то его тензор кривизны имеет вид:
Необходимыми и достаточными условиями для того, чтобы риманово пространство являлось конформно-евклидовым, являются условия (1.1) и (1.2). Для трехмерного риманова пространства существенными являются только условия (1.2), так как в любом трехмерном римановом пространстве условия (1.1) будут выполняться автоматически. При n > 3 условия (1.2) вытекают из условий (1.1). Понятно, что не всякое конформно-евклидово пространство является субпроективным. Поэтому нужно выяснить ситуацию, при которой конформно-евклидово пространство будет субпроективным. Оказывается, что это зависит от вида тензора 
Известно, что тензор Риччи субпроективного пространства, имеет вид в полуприводимой системе координат:
В обратную сторону, то есть если функции u(a) и v(a) связаны соотношением (1.11), то величины 
будут удовлетворять равенствам (1.5), также легко доказывается. Тем самым данное риманово пространство является субпроективным. Последний факт отразим в виде следующей теоремы.
Теорема 1. Конформно-евклидово пространство является субпроективным тогда и только тогда, когда функции u(a) и v(a) связаны между собой зависимостью 
.
До сего момента рассматривалось субпроективное пространство основного случая. Далее рассмотрим субпроективное пространство исключительного случая. В этом случае 
согласно равенствам (1.5), получаем = 0. После подстановки этих равенств в (1.1) имеем 
, то есть риманово пространство становится евклидовым пространством.
Теорема 2. Конформное отображение между евклидовым и субпроективным пространствами определяет в евклидовом пространстве векторное поле aA, которое является торсообразующим векторным полем.
Так как a(AB), то величина εB = (1+Q(a))aB является градиентом, a P(a) — β — произвольная функция. На основании полученных фактов получаем P(a) — β
Следствие. Конформное отображение между евклидовым и субпроективным пространствами определяет в евклидовом пространстве конциркулярное векторное поле.
На основании известного факта говорящего о том, что риманово пространство является субпроективным тогда и только тогда, когда оно конформно-евклидово и допускает конциркулярное векторное поле. Получаем следующую теорему.
Теорема 3. При конформном отображении между евклидовым и римановым пространствами конциркулярное векторное поле будет переходить в конциркулярное векторное поле тогда и только тогда, когда риманово пространство является субпроективным.
Список литературы
- Кузнецов Г.В., Яшин А.А. Моделироваие гемодинамиеских процессов в «геодезических» сосудах при движении крови с завихрениями// Вестник новых медицинских технологий. 1998. Т. 5. № 34. С. 32.
- Kuznetsov G.V., Yashin А.A. Hemodynamics of the human cardiovascular system in turbulent blood flow. Russian Journal of Biomechanics. 2000. Т. 4. № 3. С. 86-92.
- Манохин Е.В., Кузнецов Г.В., Добрынина И.В. Об обучении теории вероятностей студентов экономических вузов и алгоритмизации. Научные труды SWorld. 2013. Т. 16. № 2. С. 47-50.[schema type=»book» name=»О СУБПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ» description=»В данной статье рассматриваются некоторые геометрические объекты, связанные со структурными параметрами сердечно — сосудистой системы.» author=»Кузнецов Геннадий Васильевич» publisher=»Басаранович Екатерина» pubdate=»2016-12-17″ edition=»euroasia-science_28.04.2016_4(25)» ebook=»yes» ]