МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КРИОГЕННЫХ СИСТЕМАХ ОХЛАЖДЕНИЯ РАДИОЭЛЕКТРОННОЙ АППАРАТУРЫ В УСЛОВИЯХ ПЕРЕМЕННОЙ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

ВВЕДЕНИЕ

Применение твердотельных систем для охлаждения радиоэлектронной аппаратуры с малыми внутренними тепловыделениями позволяет обеспечить непрерывный режим криостатирования в течение 10⁴ часов и более [1-4]. Так как в температурном поле твердый хладагент (ТХА) постепенно плавится, то в образующемся слое жидкого хладагента (ЖХА) могут возникнуть конвективные течения, обусловленные гравитационной силой, температурными градиентами и поверхностными силами на границах раздела фаз..

Поэтому основными элементами твердотельной криогенной установки, использующей термостатирование твердым или жидким хладагентом, является теплоизолированный контейнер с отвержденным хладагентом, хладопровод, стыкуемый с объектом охлаждения, причем форму контейнера обычно выбирают цилиндрической (например, фирма Aeroget-General (США) разработала устройство охлаждения в виде: контейнер-цилиндр с высотой, равной диаметру, в качестве ТХА – используется твердый метан и водород при условиях: мощность внутреннего тепловыделения охлаждаемого объекта 100 мВт., температура вне контейнера 300⁰К).

Естественно, учесть совокупность явлений плавления, конвекции, кипения и пр. при построении математических моделей в таких системах практически невозможно, так как при изменении фазовых состояний хладоагента (например, плавление) физические параметры этой среды резко меняются, а накладываемая на эти процессы конвекция сильно «возмущает» все параметры задачи.

Поэтому в математические модели, посвященные теплообмену в неоднородных средах вводят те или иные приближения.

Если пренебречь фазовыми процессами и учитывать только конвекцию в жидкой среде, то в зависимости от вида конвективного течения (обычное, нестабильное) процесс теплообмена будет меняться.

Так для цилиндрического сосуда уравнение переноса тепла в жидкости ( с параметрами

ri = const, li =const, hi=const, с_р = с_v ) запишется в виде [5] :

(1)

где T_i— текущая температура жидкости, v_r, v_q, v_z — составляющие скорости конвекции жидкости, ∂p_i/∂t — работа сил давления.

Выражение (1) в общей форме имеет вид:

(2)

и является уравнением Фурье-Кирхгофа, в котором пренебрегают переносом тепла за счет диффузии и работой сил диффузии, при отсутствии источника тепла, обусловленного источником массы за счет фазовых или химических превращений.

Третий член правой части является источником тепла за счет диссипации энергии движения (т.е., за счет работы сил внутреннего трения), для ньютоновских жидкостей, определяемый по формуле:

(3)

где Y_v — функция, определяемая выбранной системой координат (для цилиндрической – она определена в работе [5] и зависит от составляющих скоростей частиц жидкости и их производных по соответствующим координатам).

Решение уравнения (1) при заданных начальных и граничных условиях ( а также при условии решения уравнения Навье-Стокса, определяющего распределение во времени и пространстве скорости частиц жидкости) является сложной и громоздкой задачей.

Нелинейность, высокий порядок системы уравнений и сложность граничных условий не позволяют получить каких-либо общих результатов, гарантирующих однозначную разрешимость начально-краевой задачи. Эти же обстоятельства затрудняют и её численное решение.

Поэтому теоретические исследования идут по пути построения линейных моделей (например, уравнения Навье-Стокса записывают для несжимаемой жидкости при Re<<1, уравнения переноса тепла – линеаризуют, не учитывая энергию, связанную с вязкостью, излучением и сжимаемостью).

В работе [7] , например, для прямоугольного сосуда на основании законов сохранения количества движения вещества, энергии и уравнения состояния построена математическая модель:

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КРИОГЕННЫХ СИСТЕМАХ ОХЛАЖДЕНИЯ РАДИОЭЛЕКТРОННОЙ АППАРАТУРЫ В УСЛОВИЯХ ПЕРЕМЕННОЙ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ (4)

где v — радиальная (или поперечная) составляющая скорости, u — аксиальная (или вертикальная) составляющая скорости частиц, T_i — температура, p_i— давление, k=w/L — отношение ширины к длине или высоте сосуда (рис. 1, а), b) ,c)) ,

G= — g_E w³/v² — параметр, характеризующий выталкивающую силу (схожий с числом Грасгофа), Pr=h_i c_p/l_i — число Прандтля,

b_T = 1/ [r_i(T₀) (∂i/∂T)] —коэффициент теплового расширения,
b = 1/ [r_i(T₀) (∂ri/∂p)] —— коэффициент изотермической сжимаемости,
g_E — g _min — минимальный уровень коэффициента гравитации.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КРИОГЕННЫХ СИСТЕМАХ ОХЛАЖДЕНИЯ РАДИОЭЛЕКТРОННОЙ АППАРАТУРЫ В УСЛОВИЯХ ПЕРЕМЕННОЙ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

Рис.1

Система криостатов

(ТХА- твердотельный хладоагент, ЖХА-жидкостной хладоагент)

Типичные начальные и граничные условия для данной задачи:

начальные условия: t=0, v=u=0, ri =1, Ti=1, p=1,
граничные условия v=u=0 на стенках сосуда,

T(x=0,y)=T₁, (∂T/∂y)=0 y =0,

T(x=1, y) = T₂, (∂T/∂y)=0 y =1.

Такая математическая модель определяется законом изменения температуры и для получения численных значений уравнения может быть использован метод конечных разностей с шагом вперед [1], причем решения могут выражаться в виде изотерм, линий тока или полей вектора скорости и сравниваться с теоретическими или экспериментальными данными.

Таким образом, уравнение (4), описывающее тепломассообмен в охлаждающей жидкости в условиях меняющейся силы гравитации g(t), свидетельствуют о сильном влиянии массообмена (конвекции) на теплообмен в системе, зависящей от взаимного пространственного положения векторов g(t) и ÑT .

Стационарная краевая задача по теплопереносу в софокусных цилиндрах.

Постановка задачи.

Рассмотрим следующую систему охлаждения ( показанную на рис.1.1):

Рис.1.1

Система софокусных цилиндров

Центральный, охлаждаемый изотермически цилиндр 1 окружен цилиндрическими хладагентами ХА2 и ХА3, имеющими теплопроводности l₂, l₃, плотности –r₂, r₃ и удельные теплоемкости — с₂, с₃.

Радиусы соответствующих цилиндрических поверхностей равны : Ц1- а₁, для

ХА2- a₁< r <а₂, для ХА3- а₂< r <в.

Ставится задача:

Найти стационарное изменение в пространстве температуры u(r,j, z)=T(r,j, z) – T₃

в ХА2 и ХА3 путем решения уравнения Лапласа Du=0, при следующих граничных условиях:

при r=a₁ u(a₁)=T₁-T₃, l₁ (∂u/∂r) =l_2(∂u/∂r),

при r=a₂ l_2(∂u/∂r) =l_3(∂u/∂r), (1.1)

при r=b u(b)=T₃,

Решение задачи:

Ввиду того, что предполагается изотермичность процессов изменения температуры охлаждаемого (Ц1) и внешнего (Ц2) цилиндров, считаем функцию u(r,j, z) независимой от координат j и z.

Уравнение Лапласа в цилиндрической системе координат в безразмерном виде запишется:

Причем это решение справедливо в областях

a₁< r <а₂, а₂< r <в, r® ¥ .

Для нахождения неизвестных интегральных констант воспользуемся граничными условиями (1.1):

при r=a₁ (z₁=1)

A₂ln1+B₂=T₁,

l₂ (∂u₂/∂z) -l₁(∂u₁/∂z)= a₁₂( T₂₀-T₁),

при r=a₂ (z₂=a₂/a₁)

A₂lnz₂+B₂=A₃lnz₃+B₃,

l₃(∂u₃/∂z) -l₂(∂u₂/∂z)= a₂₃( T₃₀-T₂₀),

при r=b (z₃=b/a₁)

A₄lnz₄+B₄=A₃lnz₃+B₃,

l₄(∂u₄/∂z) —l₃(∂u₂/∂z)= a₃₄( T₄₀-T₃₀),

из которых следуют выражения для интегральных констант:

B₂=T₁,

A₂= a₂₃× ( T₂₀-T₁)/ l₂ ,

A₃= [a₂₃× z₂ × ( T₃₀-T₂₀)/ l₃] +[a₁₂× ( T₂₀-T₁)/ l₃ ],

B₃= T₁ +{[a₁₂[(1/l₂-1/l₃)]× ( T₂₀-T₁) – (a₂₃/l₃) ( T₃₀-T₂₀) z₂× } ln z₂ , (1.5)

A₄={[a₂₃× z₂ × ( T₃₀-T₂₀)/ l₄] +[a₁₂× ( T₂₀-T₁)/ l₄ ]} +[ a₃₄×z₃( T₄₀-T₃₀) /l₄] ,

B₄= B₄ +(A₃-A₄) ln z₃ .

Таким образом, получены замкнутые решения внешних краевых задач (по отношению к цилиндру Ц1) для трехслойной неоднородной среды в виде:

при a₁< r <а₂, (1< z<z₂) : u₂(z) = A₂× lnz+B₂, (1.6)

при а₂< r <в, (z₂< z< z₃): u₃(z) = A₃× lnz+B₃, (1.7)

при r> b (z>z₃). : u₄(z) = A₄× lnz+B₄, (1.8)

при заданных начальных температурах материалов слоев — T₂₀, T₃₀, T₄₀, их теплофизических характеристик (теплопроводностей l₂, l₃, l₄, коэффициентов теплообмена a₁₂,× a₂₃,× a₃₄× ) при условии пренебрежения теплообменом за счет излучения.

Использование полученных решений на практике связано с детальным знанием коэффициентов теплообмена на границах раздела фаз.

Нестационарная краевая задача по теплопереносу в софокусных цилиндрах.

Постановка задачи.

Пусть бесконечный цилиндр Ц1 находится в софокусной цилиндрической оболочке 2 ( показанную на рис.1.1), на границе которой расположены изотермический экран, имеющий постоянную температуру Т₃, при этом теплофизические характеристики соответствующих сред : l_1,l₂– теплопроводности, r₁, r₂ — плотности, с₁, с₂ — удельные теплоемкости, e₁, e₂ — степени черноты поверхностей, a₁₂ — коэффициент теплопередачи. Пусть радиус внутреннего цилиндра равен – а, а внешней оболочки – в.

Ставится задача:

Найти изменение с течением времени температуры T(r,j, z,t) = u(r,j, z,t) в пространстве оболочки, путем решения уравнения теплопроводности:

— приведенная степень черноты,

q₀— падающая из охлаждаемого цилиндра Ц1 плотность теплового потока, при этом если r/a то u= Т₃.

Решение задачи.

Будем искать решение уравнения методом Фурье :

u(r,j, z, t) =v₁(r,j, z)× v₂ (t), (2.6)

Подставляя решение (2.6) в уравнение (2.1), после соответствующих преобразований, получим два уравнения:

(∂v₂/∂ t) + n⁴ k₂² v₂= 0 (2.7)

D_r v₁ +n²v₁ =0, (2.8)

где n — собственные значения краевой задачи,

D_r — лапласиан по радиальной координате (полагается, что в цилиндрической системе координат, связанной с осью цилиндра Ц1, u(r,j, z, t) не меняется от координат j, z ).

Решение уравнения (2.7) имеет вид:

v₂(t)= A₁ × exp (-n⁴k²t). (2.9)

Полагая, что характерный размер по координатам равен радиусу цилиндра Ц1 –а, введем в формулу (2.9) число Фурье Fo= k ²^×t /a², при этом формула (2.9) приобретет следующий вид:

v₂(Fo)=A₁ exp ( — n⁴ a²×Fo) (2.10)

Запишем уравнение (2.8) в цилиндрической системе координат:

Цилиндрическая функция нулевого порядка ( J₀ и N₀ — функции Бесселя 1 –го и 2-го рода нулевого порядка).

Для нахождения интегральных констант В₁ и В₂ воспользуемся граничными условиями:

при r=a

при r=b второе уравнение:

T₃=B₁J₀ (n²b)+B₂ N₀(n²b) (2.18)

при n²b >>1(асимптотики функции Бесселя) уравнение (2.18) запишется в виде:

Решая систему уравнений (2.17) и (2.18), получим интегральные константы в виде:

B₁=D₁/D, B₂=D₂/D, (2.20)

где

характеризующее спектр n₀— собственных значений.

Выражение (2.25) является трансцендентным уравнением и, ввиду аналитической громоздкости, его целесообразно решать численным путем.

Таким образом, общее нетривиальное решение нестационарной тепловой задачи запишется:

из которого следует, что для получения функциональной зависимости n(r,t) необходимо:

— определить собственные значения краевой задачи ( формула (2.25)), численным расчетом при соответствующих параметрах l_1,l₂,r₁, r₂ ,с₁, с₂ .e₁, e₂. a₁₂ , а, в, T₁,T₂, T₃, q₀;

— рассчитать v₁(n²r) по формуле (2.24), учитывая, что температура излучающего цилиндра Ц1 уменьшается с течением времени, а температура хладагента растет;

— найти результирующее решение по формуле (2.26).

Конструирование интегральных решений по теплопереносу в системе хладоаккумулятора на основе экспериментальных данных

На рис.3.1 показано устройство хладоаккумулятора, при этом основные тепловые потоки втекают в твердый хладоагент (ТХА) со стороны 1 — медного хладопровода – Т₁, предназначенного для охлаждения закрепленного на нём 6 — радиоэлектронного блока (или полупроводникового детектора ионизирующих излучений).

Рис.3.1

Температура ХА – Т₂, поверхности сосуда – Т₃, при этом вся система находится в вакуумном теплоизоляторе – 5.

Как показывает практика, температура ТХА с течением времени меняется по кривой 1 (рис.3.2), при этом при достижении температуры плавления Тпл=Т_ЖХА – температуры хладоагента в жидком состоянии, обычно в течение определенного времени практически постоянна.

Рис.3.2

Кривая 2 отражает изменение температуры на хладопроводе с течением времени охлаэждения, при этом её наклон объясняется возникновением и ростом толщины жидкой прослойки между хладопроводом и ТХА.

Если рассмотреть зависимость температуры в ТХА от радиуса Т₁ ( r ), то можно предположить, что Т₁( r ) меняется по закону:

где — радиус воображаемого цилиндра, далящего пополам зазор между софокусными цилиндрами, а — радиус внутреннего цилиндра, r— текущий радиус, при этом Т₁ ( r) имеет вид, показанный на рис. 3.3.

Рис.3.3

Из рис.3.3 видно, что температура возрастает к центральному и внешнему цилиндрам, от которых распространяются тепловые потоки.

Таким образом, граничное условие на внутреннем цилиндре можно записать в виде:

Зависимость температуры от времени до точки плавления ( т.е. для ТХА) можно аппроксимировать в виде:

T₂(t)= T_ЖХА × {T _ТХА + (T_ЖХА – T_ТХА)× exp (-g_t×t)}^-1 (3.4)

Где T_ТХА — исходная температура твердого хладагента, при этом для нахождения неизвестной величины g_tвоспользуемся начальными условиями:

1) При t = 0 и r=R

Таким образом, сконструированное выражение для функции T(r,t) запишется:

Рассмотрим в качестве примера зависимость T(r,t)/Т₁ = ψ(r,t) для льда ( имеющего следующие тепловые характеристики: λ= 0,551 ( Вт/м×К), С= 4,23 (кДж/кг×К), плотность ρ=10³ (кг/м³)) помещенного в цилиндрическую систему с параметрами k=2а, 0,5<k_r<2, при температурах: Т_ТХА=293⁰К, Т_ЖХА=273⁰К, Т₁=293⁰К, при этом величина d=0,817, при времени t= 1 час (3600 сек.): на рис. 3.4 и 3.5 показаны функциональные зависимости ψ₁(t) и ψ₂(k_r) рассчитанные для указанного случая, из которых следует:

— функция ψ₁(t) – может использоваться для описания части кривой 1 рис.3.2 во временном диапазоне 0<t<t_ЖХА_,т.е. изменения во времени температуры льда до точки плавления,

— функция ψ₂(k_r) может использоваться для описания изменения температуры льда при заданных Т₁ и Т₃.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Полученные математические модели были использованы как основа экспериментальных исследований охлаждения в цилиндрических криостатах с жидким азотом полупроводниковых детекторов (ППД) ионизирующих излучений. Наиболее приемлемой оказалась нестационарная модель, на основе которой были сконструированы полуэмпирические выражения, описывающие закон измененения температуры от радиуса и времени T(r,t), при этом, как следовало из нестационарной модели, с ростом числа Фурье температура в системе охлаждения резко изменяется по закону:

ЛИТЕРАТУРА

Попов В.И. Тепломассообмен в неоднородных средах в условиях микрогравитации. Отчет по теме НИР № 88081, Рига: РНИИРП, 1985/1989, 120 с.
Грезин А.К., Зиновьев В.С. Микрокриогенная техника. М.: Машиностроение, 1977, 232 с.
Caren R., Coston R. A solid cryogenic refrigerator for 50⁰K infrared detector cooling. Advances in Cryogenic Eng., 1968, v.13, 451-456 pp.
Gross U., Weinstein A. A cryogenic. Solid cooling systems. Infrared Physics., 1964, v.4, 161-169 p.
Лыков А.В. Тепломассообмен. Справочник. М.: Энергия, 1971, 500 с.
Фрадков А.Б. Гелиевые и водородные криостаты без дополнительного охлаждения азотом. ПТЭ, 1961, № 4, с.170-173.
Спрэдли Л., Буржуа С., Лин Ф. Конвекция, обусловленная колебанием в условиях микрогравитации. В книге: Космическая технология. Под ред. Л.Стега. М.: Мир, 1980, с. 385-404.
Зигель Р., Хауэлл Дж. Теплообмен излучением. М.: Мир, 1975, 934 с.
Каганер М.Г . Тепломассобмен в низкотемпературных конструкциях. М.: Энергия: 1979, 256 с.[schema type=»book» name=»МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КРИОГЕННЫХ СИСТЕМАХ ОХЛАЖДЕНИЯ РАДИОЭЛЕКТРОННОЙ АППАРАТУРЫ В УСЛОВИЯХ ПЕРЕМЕННОЙ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ» description=»Высокая чувствительность приемных устройств (в радиоастрономических системах, в системах космической связи, в полупроводниковых детекторах ионизирующих излучений), как известно, определяется минимальным уровнем шумов первых каскадов. Поэтому, как правило, эти каскады помещаются в хладоаккумуляторы (криогенные устройства), в которых в качестве хладоагентов могут использоваться жидкий азот, гелий, водород, пропан и пр.Типовые конструкции хладоаккумуляторов представляют, как правило, собой цилиндрические системы, в которых софокусно расположены: металлический сплошной цилиндр, используемый как хладопроводник для охлаждения первого каскада приемника; хладоагент; металлический цилиндр, в который помещается хладоагент и выкуумизированная прослойка с внешним металлическим цилиндром. Для оценки долгосрочного функционирования такой охлождающей системы, особенно в условиях космоса, необходимо решать проблему изменения температуры хладоагента и всей системы с течением времени Т(t) при соответствующих начальных и граничных условиях. В работе получены решения стационарной и нестационарной краевых задач по теплообмену в софокусных цилиндрах (для указанной выше системы хладоаккумулятора). Полученные решения позволили провести анализ влияния параметров хладоаккумулятора на изменение температуры в зависимости от времени и сконструировать интегральные решения по теплообмену в системе хладоаккумулятора на основе экспериментальных данных.» author=»Попов Валентин Иванович» publisher=»БАСРАНОВИЧ ЕКАТЕРИНА» pubdate=»2016-12-27″ edition=»euroasia-science.ru_26-27.02.2016_2(23)» ebook=»yes» ]

euroasia

Похожие записи