К объектам с пространственно распределенными параметрами относятся сети водоснабжения, теплоснабжения, газоснабжения многие другие промышленные объекты. К ним можно отнести объекты тепловой и химической промышленности. На многих из них нельзя проводить активные эксперименты в целях идентификации динамических характеристик объектов управления.
На примере стекловаренной печи, как теплового объекта со значительным тепломассообменом, инерцией и, соответственно, запаздыванием, проведена попытка статистическим путем определить динамические характеристики объекта управления. В процессе идентификации используются реализации входных и выходных сигналов в виде случайных последовательностей (временных рядов Бокса-Дженкинса [7]). Тогда динамику объекта можно описать линейным разностным уравнением:
δ(B), ω(B) – динамические операторы.
Для динамической системы с наличием шума передаточная функция имеет вид:
где модель шума представлена процессом авторегрессии – проинтегрированного скользящего среднего порядка p, d, q:
(3)
Окончательный вид передаточной функции, считая, что шум Nt приложен к выходу и не коррелирован с X(t), можно записать так:
(4)
Основное средство, используемое при идентификации – это взаимная корреляционная функция входа и выхода. Выборочные оценки корреляционной функции выхода и взаимных корреляционных функций расхода газа на горелки и плотности (как параметра качества варки стекла) предоставлены на рис.1 и рис.2.
Незатухающий характер корреляционной функции (рис.2, а) и взаимной корреляционной функции (рис.1, а) свидетельствуют о нестационарности процессов. Для удаления нестационарности производится взятие d разностей по временным рядам входного и выходного сигналов. На рис.2. и рис.3 изображены корреляционные функции первых разностей расхода газа по горелкам и плотности стекла.
После взятия d разностей модель (2) можно представить в виде:
Умножая все члены 
на для k ≥ 0, получим:
(6)
Учитывая, что не коррелированно с , приходим к системе уравнений
ϒXY(k) = υ0 ϒxx (k) + υ1ϒxx(k-1)+…, k=0,1,2,…, (7)
Пусть веса υj практически равны нулю при b >> k . Тогда в матричном виде уравнение (3,18) можно записать как:
ϒxy=TXXV, (8)
где
Весовые коэффициенты υj определяются из формулы:
(9)
В которую подставляются выборочные оценки корреляционной функции входа rxx(k) и взаимной корреляционной функции входа и выхода rxy(k)
Рис.1 Оценки взаимных корреляционных функций временных рядов:
а) расход газа на 1-ю горелку – плотность стекла на выходе;
б) расход газа на 2-ю горелку – плотность стекла на выходе;
в) расход газа на 3-ю горелку – плотность стекла на выходе.
Рис.2. Оценки автокорреляционных функций временных рядов (BP):
а) плотности стекла на выходе ;
б) первых и вторых разностей ВР(временного ряда) плотности;
в) первых разностей ВР расхода газа на 1-ю горелку;
г) первых разностей ВР расхода газа на 2-ю горелку.
Предварительно необходимо проверить значимость выборочных значений взаимной корреляционной функции входа и выхода, так как характер изменения функции, изображённой на рис.4, идентичен белому шуму. Полученные графики не позволяют выявить запаздывание по каналу и выделить максимальное значение взаимной корреляционной функции.
Рис.4. Оценки взаимных корреляционных функций первых разностей временных рядов:
а) Расход газа на 1-ю горелку –плотность;
б) Расход газа на 3-ю горелку –плотность;
в)Расход газа на 5-ю горелку –плотность;
Проверку равенства нулю значений взаимной корреляционной функции ρxy(k) проводим сравнение выборочных оценок rxy(k) с их стандартными ошибками, полученными по формуле Бартлетта:
Из графиков рис.4 видно, что значения оценки взаимных корреляционных функций практически не превышают значений стандартных ошибок ± σˆ(r), а для ± 2σ(r)c вероятностью P= 0,05 можно сказать, что значения оценок взаимной корреляции равны нулю.
Полученный результат можно объяснить следующим образом. Временной ряд d(t) фактически содержит три составляющих:
где V(t) – высокочастотный шум измерения, который в процедуре идентификации Бокса-Дженкинса не учитывается , а составляющая рассматривается лишь как шум формирующий случайную последовательность X(t). Получив оценки взаимно корреляционных функций Рис.1, было принято решение о «фильтрации» низкочастотной составляющей из временного ряда взятием 1-x и 2-x разностей, в результате которой был получен новый временной ряд, содержащий лишь шум измерения, а низкочастотный полезный сигнал был отфильтрован (рис.4).
Значения стандартных ошибок для 10 значений взаимной корреляционной функции первых разностей временных рядов расхода газа на 1-ю, 3-ю, 5-ю горелки и плотности стекла, естественно , не приведут к положительному результату, а идентификация по низкочастотной составляющей не может быть проведена так как длина выборки не составляет 10 интервалов корреляции.
Полученный результат говорит о том, что использование рядов Бокса-Дженкинса, как и ортогональных функций Лагерра [3] для оценки весовой функции объекта управления при ограниченной длине реализации входа, выхода и минимальной априорной информации об объекте дает лишь видоизмененную оценку взаимной корреляционной функции. Так в формуле (7):
Поскольку функция является детерминированной, то
(13)
Анализ результатов показывает, что прямое применение рядов Бокса-Дженкинса не освобождает исследователя от выполнения статистических требований к выборочным реализациям случайных процессов x(t) и y(t) по определению необходимой длины реализации, шага дискретизации, уровня квантования [6]. Методики по этим вопросам отработаны и проверены на практике. Использование процедуры идентификации Бокса Дженкинса может дать положительный результат при наличии априорной информации о динамических характеристиках объекта и возмущающих воздействий.
Литература
- Садовникова Н., Шмойлова Р. Анализ временных рядов и прогнозирование. Учебник,Университетская серия,: Синергия, 2016,с. ISBN: 9785425702043
- Канторович Г.Г. Анализ временных рядов//Экономический журнал Высшей школы экономики, т. 6, №1, 2002, т. 6, №2, 2002.
- Zuev Identification of dynamic characteristics of the control object with distributed parameters orthogonal LAGUERRE fanctions. 3rd International Conference «Technical sciences: Modern issues and development prospects» November 9, 2015, Sheffield, UK Conference Proceedings,Scope Academic House. ISBN-13:978-1-941655-31-3 DOI: 10.15350/UK_2/3
- Hamilton, J. D., Time Series Analysis, 1994, Princeton University Press, Ch 1, 2.
- Mills, T.C. The Econometric Modelling of Financial Time Series. Cambridge University Press, 1999.
- Волгин В.В., Каримов Р.Н. Оценка корреляционных функций в промышленных системах управления. Сб. Библиотека по автоматике. Вып.600. М.: Энергия, 1979.
- Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление, М. Мир. 1974. — 406 с.[schema type=»book» name=»ИДЕНТИФИКАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПРОСТРАНСТВЕННО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ОБЪЕКТОВ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ МОДЕЛЯМИ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ БОКСА- ДЖЕНКИНСА» description=»Идентификация динамических характеристик пространственно распределенных объектов управления с запаздыванием. Анализ проблем, возникающих перед исследователями при решении данной задачи с помощью различных математических средств.» author=»Зуев Константин Иванович» publisher=»Басаранович Екатерина» pubdate=»2016-12-06″ edition=»euroasia-science_30_22.09.2016″ ebook=»yes» ]