- Предварительные сведения. Изучением особых точек и их классификацией занимались такие известные математики как К.Вейерштрасс, Л.Фукс, Б.Риман, Г.Фробениус, К.Гаусс, П.Пенлеве, Я.Горн, Л.Томе и др. Они занимались построением аналитических решений в окрестности особых точек. Разделение особых точек интегралов дифференциальных уравнений на два класса – неподвижные и подвижные, принадлежит основоположнику аналитической теории дифференциальных уравнений Л.Фуксу [1]. Неподвижными особыми точками обладают линейные обыкновенные дифференциальные уравнения. Поэтому, аналитический характер решений линейных дифференциальных уравнений вполне определяется их поведением в области неподвижных особых точек. Особыми точками таких уравнений могут быть особые точки их коэффициентов, нули, коэффициент при старшей производной, точка на бесконечности. Отсюда возникает необходимость выяснения характера аналитической функции, определяющей аналитическое решение уравнений.
Классификация особых точек однозначных функций комплексного переменного и их названия были предложены Вейерштрассом в 1876 г. [2]. Он подразделял их на несущественно и существенно особые, имея ввиду изолированные особые точки. Дальнейшая классификация особых точек связана с их регулярностью и иррегулярностью. Введение термина «регулярное решение» связано с именем Л.Томе [3]. Линейные дифференциальные уравнения, решения которых имеют все точки регулярными, называются уравнениями класса Фукса. К.Я.Латышева регулярность и иррегулярность особых точек определяет [4] с помощью понятия ранга p = 1 + k (k – подранг), введенного А.Пуанкаре [5] и антиранга μ = -1 — χ (χ – антиподранг), введенного Л.Томе.
Обобщение понятия особых точек на функции многих переменных также было дано К. Вейерштрассом в 1880 г. В отличие от случая одного комплексного переменного, аналитическая функция двух и более переменных не может иметь изолированные особые точки. Малоизученными остаются особенности системы дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, где особенностями являются не изолированные особые точки, а особые линии или пересечения нескольких особых кривых.
Общая постановка задачи. Целью данной работы является установление особых кривых системы дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка
Некоторые сведения об особенностях более общих систем приводятся в работах П.Аппеля [6] и Э. Айнса [7]. Так, Э. Айнс установил, что особые кривые системы вида
определяются коэффициентами при вторых частных производных. Кроме того, требуется выполнение условий совместности и условия
(1.4)
Это условие для системы (1.1) всегда выполняется. При выполнении условия совместности и условия (1.4) система Айнса (1.2) — (1.3) имеет четыре линейно-независимых частных решения 
. Эти решения симметричны по независимым переменным x и y, а общее решение системы представляется в виде
(1.5)
то есть общее решение системы Айнса зависит от четырёх произвольных постоянных.
В системе Айнса (1.2) с коэффициентами (1.3) особые кривые определяются приравниванием нулю коэффициентов из первого уравнения
Каждое из них является многочленом от одной переменной. Поэтому, в общем случае можно установить их корни, являющиеся особенностями первого и второго уравнения системы (1.2). Из них определяются особенности системы (1.2). Этот случай является наиболее изученным. Я.Горном составлены 34 системы, решениями которых являются гипергеометрические функции двух переменных. Таким путем найдены их особые кривые. Однако, построение решений вблизи установленных особых кривых остается нерешенной проблемой, поскольку не удается построить всю фундаментальную систему решений каждого из них. Только для системы Аппеля (F1) установлены 120 частных решений. Отсюда возникает необходимость установления всевозможных особых кривых и изучение возможности построения решений вблизи этих особенностей. А также умение классифицировать регулярные и иррегулярные особенности изучаемых систем.
- Построение регулярных решений, когда коэффициенты системы – ряды двух переменных.
2.1. Построение решений вблизи конечных особенностей. Пусть задана регулярная система двух дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка
Система (2.1) с коэффициентами (2.2) имеет регулярную особенность
Для построения решения системы, согласно методу Фробениуса-Латышевой сначала следует составить систему характеристических функций, подставляя :
Неизвестные показатели и находятся из системы определяющих уравнений
Для существования решения вида (2.4) должно выполняться следующее необходимое условие.
Теорема 1. Для существования решения вида (2.4) вблизи особенности (0; 0) необходимо, чтобы пара была корнем системы определяющих уравнений (2.5) относительно особенности (0; 0).
2.2. Построение решений вблизи особенности на бесконечности. Допустим, что коэффициенты системы (2.1) представлены в виде обобщенных степенных рядов двух переменных
Решение системы построим в виде обобщенного степенного ряда двух переменных по убывающим степеням независимых переменных
Теорема 2. Для существования решения вида (2.10) вблизи особенности (∞, ∞), необходимо, чтобы пара (ρ, σ) была корнем системы определяющих уравнений вида (2.5) относительно особенности (∞, ∞).
Сходимость ряда (2.9) также доказывается методом Горна.
2.3. Регулярные решения, когда коэффициенты многочлены двух переменных. Изучается регулярная система дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка
Требуется изучить возможности установления основных особых кривых, их регулярность и иррегулярность, и построить вблизи этих особенностей соответствующие им регулярные, а также иррегулярные решения.
Допустим, что система (2.12) с коэффициентами вида (2.13) совместная. Условие интегрируемости (1.4) для этой системы выполняется автоматически. Приравнивая к нулю коэффициенты при вторых частных производных и , то есть полагая и , для определения особых кривых в раскрытом виде получим следующую систему уравнений
При
Важным моментом является установление регулярности и иррегулярности особых кривых.
- Классификация регулярности и иррегулярности особых кривых.
3.1. Пусть система (2.14) представлена в следующем виде
Остальные особенности с помощью преобразования можно привести к этим двум случаям, поэтому их отдельно рассматривать не будем. Все системы Горна имеют особенности вышеприведенного вида, то есть рассуждения этого пункта справедливы и для наиболее общих случаев таких систем, в частности для систем вида Айнса.
Определим систему характеристических функций
В этом случае одновременно можно построить решения (2.4) и (2.9), если особенности регулярные. В противном случае существуют решения вида (3.3) и (3.5). Однако, построение нормально-регулярного решения (3.3) и нормального решения (3.5) требует дополнительных исследований.
Пример 3.1. Система вида
Особые кривые определяются из системы
допускает обе системы определяющих уравнений (2.5) и (3.8). Поэтому, одновременно существуют решения вида (2.4) и (2.9) при выполнении необходимых условий теорем 1 и 2. Кроме этого правые части системы определяющих уравнений не должны равняться постоянным. В противном случае заданная система не имеет решения вблизи вышеприведенных особенностей.
- Линии второго порядка как особые кривые изучаемых систем. Наиболее общий случай, когда особые кривые определяются в виде кривых второго порядка. В этом случае, изучение особых кривых и построение решений вблизи этих особенностей намного усложняется. Доказательство совместности систем также вызывает затруднения.
Итак, вернёмся к системе (2.12) с коэффициентами вида (2.13). Раньше мы определили, что особые кривые системы (2.12) — (2.13) находятся из общей системы (2.14) и в пунктах 2-3 изучили часто встречающиеся частные случаи. Установили особенности, показали вид решения вблизи этих особенностей, приводили системы характеристических функций и системы определяющих уравнений относительно особенностей (0; 0) и (∞; ∞).
Теперь переходим к рассмотрению различных частных случаев системы (2.14).
4.1. При
определяется система определяющих уравнений относительно особенности (0; 0). Вблизи этой особенности решение имеет вид (2.4). В данном случае определение системы определяющих уравнений относительно особенности (∞; ∞) невозможно. Поэтому, решение вида (2.9) вблизи этой особенности невозможно построить. Если 
и 
, то особенность (0; 0) регулярная. Сходимость ряда (2.4) доказывается методом Горна. Заранее допускаем, что система совместная. При построении конкретных примеров следует удовлетворить все условия совместности [10].
4.2. В случае
в) При D<0, первое уравнение системы (2.12) — (2.13) имеет особенность x=0, а второе уравнение не имеет особенностей в действительной области.
4.3. Следующий случай
По курсу аналитической геометрии известно, что каждое из уравнений (4.3) определяет пару прямых или линий второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Особенностями являются также их пересечения. Поэтому, требуется определить вид каждой из линий второго порядка, а также следует определить их взаимное расположение.
Геометрическая интерпретация. Вернемся к системе (4.3). Каждое из уравнений (4.3) в отдельности изображает линию второго порядка. Решение системы (4.3) есть нахождение точек пересечения этих линий. Две линии второго порядка могут иметь не больше четырех точек пересечения, некоторые точки могут быть кратными. Кратность имеет место в точках касания.
Приведем возможные случаи пересечения и касания кривых второго порядка.
Рис 1. четыре точки Рис 2. четыре точки Рис 3. две точки
пересечения пересечения пересечения
Рис 4. точка касания Рис 5. Общих точек Рис 6. две точки
не имеют пересечения и одна
точка касания
Рис 7. две точки пересечения Рис 8. две точки касания
и одна точка касания
На рисунках 1, 3, 4, 5, 6 каждое из уравнений (4.3) определяет эллипс. На рисунках приведены их взаимные расположения, то есть указаны их точки пересечения и касания.
На рисунках 2, 7, 8 одно из уравнений (4.3) определяет эллипс, а второе параболу. Аналогично можно рассмотреть случаи, когда уравнения системы определяют гиперболу. Точки пересечения определяют кратные корни системы (4.3).
Если левые части многочленов второго порядка (4.3) разлагаются на два линейных множителя, то линия распадается на пару прямых. А необходимым и достаточным условием разложимости двух многочленов системы (4.3) на линейные множители является выполнение условий
Имеют место следующие утверждения.
- Если выполняются условия (4.4), то система (2.12) — (2.13) с коэффициентами (2.14), где
и 
представлены многочленами (4.3), имеет особенности в виде пары 
(i=1, 2, 3, 4). В противном случае, особенностями системы могут быть линии второго порядка (эллипс, гипербола, парабола) или их точки пересечения.
- Если каждая из линий (4.3) распадается на пару прямых, причем обе пары имеют общую прямую, то система (33) имеет бесконечное множество решений.
Вид решения самой системы (2.12) — (2.13) зависит от установленных особенностей. Построение решения требует дополнительных исследований. Пока ограничимся установлением особых кривых.
Пример 4.1. Решением следующей системы
являются ортогональные многочлены Чебышева двух переменных. Система (4.5) построена С.А. Агахановым [11] для одного класса весовых функций.
В настоящее время, распространена идея построения ортогональных многочленов двух переменных как решений допустимых уравнений в частных производных второго порядка [12]. В работах Ж.Н. Тасмамбетова и Р.У. Жахиной они определяются как, построенные ими, решения допустимых систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка [13].
Для построения решения системы (4.5) следует учитывать все особые кривые и их взаимное расположение. Приравнивая нулю коэффициенты при старших производных, получим особенности:
Отсюда видно, что пересечением особых линий являются точки: А(-1;0), В(-1;1), С(0;1), D(1;1), Е(1;0), F(1;-1), К(0;-1), L(-1;-1), О(0;0). Как подчеркнули раньше, именно, такие случаи остаются малоизученными, а именно, возникают проблемы при построении решений в точках пересечения или касания нескольких особых кривых.
Пример 4.2. Пусть задана система дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с полиномиальными коэффициентами
Из (4.7.1) и (4.7.2) требуется найти особенности системы. Для этого их решаем совместно. На основании вышеприведенных рассуждений убеждаемся, что особенность (x=0; y=0) – регулярная и система (4.6) имеет регулярное решение вблизи особенности (0;0). Решение построим в виде (2.4), поскольку система имеет только систему определяющих уравнений относительно особенности (0; 0).
Допустим, что данная система совместная. Для (4.7.1) выполняется первое условие (4.4). Поэтому, левая часть первого уравнения может быть разложена на линейные множители. Тогда, (4.7) запишется в виде
Уравнение (4.7.2) определяет линию второго порядка – эллипс. Две прямые и эллипс пересекаются в вышеприведенных четырех точках. Именно они дают особенности системы. Кроме них ещё четыре особенности получим, решая системы уравнений
Остается учитывать особенности на бесконечности: (0; ∞); (∞; 0); (∞; ∞).
Для конкретного построения решения вблизи указанных особенностей коэффициенты (4.7.1) — (4.7.4) следует подобрать таким образом, чтобы удовлетворялись четыре условия совместности. В общем случае, это вызывает большие затруднения. В данной работе, больше обращено внимания на системы с регулярными особенностями, где ранг p ≤ 0 и антиранг m ≤ 0. Системы с иррегулярными особенностями нуждаются в отдельном изучении ввиду своей сложности. Установление всех особенностей позволяет построить соответствующие им решения вблизи этих особых кривых и раскрыть их дополнительные свойства.
Список литературы:
- Fuchs Lasar. Journal fur die reine und angewandte Math. Bd. 76, 1873. – p.177-213.
- Weierstrass Karl. Berl. Abh. 1876. – p.11-60.
- Thome L.W. Journal fur die reine und angewandte Math. 74, 1872, – p.193-213.
- Латышева К. Я., Терещенко Н.И. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений и их приложения. Метод Фробениуса-Латышевой. Киев: Институт математики АН УССР, 1970. – 394 с.
- Poincare H. Acta M.. 8, 1886 –295-344.
- Appell P., Kampe de Feriet M.J. Functions hypergeometriges et hyperspheriges. Polynomes d’Hermite. Paris: Gauthier-Villars, 1926. – 434 p.
- Ince E.L. Proc. Roy. Soc. Edinburgh. A.61, 1942. – p.195-209.
- Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Гипергеометрическая функция, функции Лежандра, М.: Наука, 1973. – 294 с.
- Тасмамбетов Ж.Н. Построение решения системы дифференциальных уравнений в частных производных с регулярной особенностью обобщенным методом Фробениуса-Латышевой (Препр./ АН УССР. Институт математики: 91.29). Киев, 1991. – 44 с.
- Wilczynski E.J. Projective differential Geometry of Curves and Ruled surfaces, Leipzig: Leubner, 1906. – 120 p.
- Агаханов С.А. Вестн. ЛГУ. №19, 1965. – с. 5-10.
- Суетин П.К. Ортогональные многочлены по двум переменным, М.: Наука, 1988. – 384 с.
- Жахина Р.У., Тасмамбетов Ж.Н. Конечные решения допустимых систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Математический журнал, Т.10, №3 (37), 2010. – с.57 — 66.[schema type=»book» name=»ОБ ОСОБЫХ КРИВЫХ СПЕЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ ЛИНИЯМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА» description=»Целью настоящей работы является установление особых кривых рассматриваемой системы дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Для построения решения системы вблизи особых точек применяется метод Фробениуса-Латышевой. Установлены возможные особенности системы. Подробно изучен случай, когда система имеет особенности, определяемые линиями второго порядка. Проведена классификация регулярных и иррегулярных особенностей. Показаны виды решения вблизи установленных особенностей.» author=»Тасмамбетов Жаксылык Нурадинович» publisher=»БАСАРАНОВИЧ ЕКАТЕРИНА» pubdate=»2017-01-16″ edition=»ЕВРАЗИЙСКИЙ СОЮЗ УЧЕНЫХ_30.10.16_31(1)» ebook=»yes» ]