Моделирование большого числа физических, биологических, экологических и других процессов приводит к дифференциальным уравнениям в частных производных со степенной нелинейностью (см., например, [1]). Применяемые для их интегрирования различные способы линеаризации могут существенно искажать суть моделируемого процесса. Одним из подходов к приближенному решению нелинейных уравнений является редукция к нагруженным уравнениям [2], при которой в нелинейном члене производится замена искомой функции ее следом, что приводит к «ослаблению» нелинейности без ее полного устранения. Найденное затем при заданных условиях точное или приближенное решение нагруженного уравнения можно принять за приближенное решение исходной нелинейной задачи. Подобная процедура применяется, в частности, в [3, 4], где получены формулы общих членов последовательностей приближенных решений начально-краевых задач для некоторых нагруженных уравнений, к которым редуцируются исходные нелинейные уравнения. В данной работе предлагается несколько отличный от этого способ нахождения приближенного решения нагруженного уравнения с помощью априорной оценки решения поставленной задачи.
Получена формула приближенного решения задачи (1) – (3) которая, как предполагается, будет с достаточной точностью аппроксимировать искомое решение. Изложенный способ может быть эффективным для нахождения приближенных решений уравнений в частных производных со степенной нелинейностью, аппроксимируемых ассоциированными с ними нагруженными уравнениями.
Литература
- Лионс, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионс – М., Едиториал УРСС, 2010. – 586 с.
- Нахушев, А.М. Нагруженные уравнения и их применение / А.М. Нахушев – М.: Наука, 2012. – 232 с.
- Бозиев, О.Л. Решение начально-краевой задачи для нелинейного гиперболического уравнения с помощью двойной редукции к нагруженным уравнениям / О.Л. Бозиев // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. – – № 4(60). – С. 7 – 13.
- Бозиев, О.Л. Применение нагруженных уравнений к приближенному решению дифференциальных уравнений в частных производных со степенной нелинейностью / О.Л. Бозиев // Вестник Тверского государственного университета. Серия «Прикладная математика». – № 1, с. 127 – 136.
- Гаевский, Г., Грёгер, К., Захариас. К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / Г. Гаевский, К. Грёгер, К. Захариас – М.: Мир, 1978. – 236 с.
- Филатов, А. Н., Шарова, Л. В. Интегральные неравенства и теория нелинейных колебаний / А. Н. Филатов, Л. В. Шарова – М.: Наука, 1976. – 151 с.[schema type=»book» name=»ОБ ОДНОМ СПОСОБЕ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ НАГРУЖЕННОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ» description=»Получена формула приближенного решения начально-краевой задачи для нагруженного гиперболического уравнения, для нахождения которого используется априорная оценка решения поставленной задачи.» author=»Бозиев Олег Людинович» publisher=»БАСАРАНОВИЧ ЕКАТЕРИНА» pubdate=»2017-03-11″ edition=»ЕВРАЗИЙСКИЙ СОЮЗ УЧЕНЫХ_30.05.2015_05(14)» ebook=»yes» ]