В школах с углубленным изучением математики теории многочленов уделяется достаточно большое внимание. В некоторых ВУЗах аппарат многочленов активно используется при изучении курса математики, но предполагается, что этот материал в достаточной степени уже известен студентам из курса математики средней школы.
Не имея достаточных знаний и умений, связанных с многочленами с одной переменной, выпускник школы встретится с серьезными трудностями не только при изучении курса математики в вузе, но, возможно, и на более раннем этапе – при сдаче вступительных экзаменов по математике. На вступительных экзаменах систематически встречаются задачи более широкого класса, чем в общеобразовательной школе. При этом такие задачи, формально говоря, не выходят за рамки программы общеобразовательной школы. Например, часто встречаются задачи, сводящиеся к рассмотрению кубических уравнений, которые могут быть решены с помощью группировки. Между тем, группировка, как известно, практически всегда является неалгоритмическим приемом, и поиск удачной группировки далеко не всегда оказывается успешным. В то же время, если уравнение имеет хотя бы один рациональный корень, то совершенно элементарная теория превращает подобные задачи в алгоритмические.
На вступительных экзаменах в некоторые вузы с высокими требованиями по математике иногда предлагают задачи, в которых требуется доказать, что кубическое уравнение не имеет рациональных корней. Если считать, что теорема о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами – это не слишком сложная задача, которую абитуриент может решить самостоятельно, то и этот класс задач не выходит за рамки программы общеобразовательной школы. Для выпускников, знакомых с основами теории многочленов, эти задачи не представляют никаких трудностей.
Многочлены с одной переменной и вещественными коэффициентами могут рассматриваться как алгебраические объекты, то есть символы определенного вида, и как функции одной переменной (вещественной или комплексной). В связи с многочленами и связанными с ними алгебраическими уравнениями возникают некоторые логические и терминологические трудности, касающиеся вопроса о числе корней. В различных учебных пособиях для школьников встречаются разные подходы к этому вопросу. К сожалению, четких и согласованных подходов, которых придерживались бы приемные комиссии разных вузов (или даже члены одной комиссии), и, более того, преподаватели одной и той же школы, в этом вопросе нет. На наш взгляд эти разногласия отражают существующие «ножницы» между школьной и вузовской математикой.
Использование теории многочленов в высшей математике и ее приложениях базируется на следствии из основной теоремы алгебры: каждое алгебраическое уравнение -ой степени имеет ровно n корней, причем под множеством всех корней многочлена с действительной или комплексной переменной понимают числа , участвующие в разложении = многочлена на множители первой степени. При этом, если среди чисел имеются совпадающие, то говорят, что у многочлена есть кратные корни и каждый корень считается столько раз, сколько раз он встречается среди чисел (то есть какова его кратность). Таким образом, термин «множество корней многочлена» понимают не в теоретико-множественном смысле. Теоретико-множественное понимание этого термина недостаточно, так как несет не всю информацию о корнях многочлена (например, теряется информация о некоторых его свойствах как функции, о взаимном расположении его графика и оси абсцисс). Таким образом, указание множества корней многочлена состоит из: 1) указания множества всех его корней в теоретико-множественном смысле и 2) указания кратности каждого корня из множества пункта 1). Например, множество корней многочлена есть , где 0 есть корень кратности 2 (двукратный корень), а 1 – корень кратности 1 (однократный, то есть простой корень). То же самое можно выразить и в следующем виде: корнями нашего многочлена являются числа . И тому подобное.
Понятия: корни многочлена и решения (корни) алгебраического уравнения не различают. Это одно и то же.
Именно описанный выше подход к вопросу о числе корней многочлена (и алгебраического уравнения) дает возможность полноценно строить курс высшей математики. Например, в аналитической геометрии свойства фигур изучаются аналитически, то есть средствами алгебры. В алгебре нет понятия предельного перехода, поэтому касательная не может быть определена как предельное положение секущей. Касательная к линии второго порядка в аналитической геометрии определяется как прямая, которая пересекает линию в двух совпадающих (в алгебраическом смысле) точках (хотя геометрически она пересекает линию в одной точке). Рассмотрим параболу. Прямая является касательной в точке , с алгебраической точки зрения она пересекает параболу в двух совпадающих точках (хотя геометрически это одна точка). Прямая пересекает параболу геометрически также в одной точке , но касательной не является. (Прямая имеет параметрическое уравнение . Для нахождения значений параметра для точек пересечения прямой и параболы подставим выражения координат точек нашей прямой через в уравнение параболы. Получим уравнение , имеющее решение , дающее две совпадающие точки пересечения . Прямая имеет параметрическое уравнение . Действуя как выше, для точек пересечения получим одно значение параметра , дающее одну точку пересечения .)
Простые и кратные корни многочлена также имеют различия с точки зрения математического анализа. Многочлен имеет единственный корень , а многочлен имеет два корня, равных 0. Прямая пересекает ось , а парабола касается оси в точке ; число 0 является корнем не только многочлена , но и корнем его производной ; функция быстрее стремится к 0, чем функция при , стремящемся к 0.
Можно было бы привести примеры и из других разделов математики, например, таких, как интегрирование рациональных функций, линейные операторы, дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и другие, где, естественно, используется приведенный выше подход к вопросу о числе корней многочлена (или алгебраического уравнения).
В школьном курсе математики приведенный (не чисто теоретико-множественный) подход к понятию множества корней многочлена менее необходим, хотя тоже полезен.
Поэтому некоторые авторы учебных пособий или даже учебников для школы, а вслед за ними некоторые школьные преподаватели не учитывают кратность корней многочлена. Например, считают, что многочлен имеет единственный корень . А иногда, см. [1], считают, что корни многочлена и корни соответствующего алгебраического уравнения — это не одно и то же. Имеется в виду, что при нахождении корней многочлена кратность корней учитывается, а при нахождении решений уравнения — нет. В этом случае получается, что многочлен имеет два равных корня 1 (или корень кратности 2), а уравнение имеет единственный корень (решение) .
Некоторые авторы учебных пособий для школьников пишут о том, что логические и терминологические проблемы имеются, но без обсуждения этих проблем вводят соглашения, уравнивающие оба подхода к числу корней многочлена. Например, И.Ф. Шарыгин [2] предлагает под выражениями: «квадратное уравнение, имеющее одно решение» и «квадратное уравнение с равными корнями» понимать одно и то же. Оба выражения применяются при формулировке задач.
Таким образом, отношение выпускника школы к рассматриваемой проблеме во многом зависит от методических воззрений его преподавателя и от требований преподавателя к логике изложения. Может получиться так, что мнение ученика, при более глубоком изучении темы, пойдет вразрез с мнением учителя.
Мы считаем, что подход к вопросу о числе корней многочлена, не учитывающий кратности корней, то есть когда указываются все числа, являющиеся корнем многочлена или уравнения, но не указывается их кратность, хуже не чисто теоретико-множественного подхода. В частности, этот подход сужает возможности школьника. Например, без учета кратности корней невозможно воспользоваться формулами Виета для решения такой простой задачи: «составить квадратное уравнение, у которого сумма корней равна 2, а произведение равно 1».
По формуле Виета (которые на самом деле верны и для случая кратных корней, но здесь мы этот случай рассматривать не можем) если уравнение имеет разные корни и , то , а . Отсюда следует, что . То есть получилось, что наше уравнение имеет один корень. Следовательно, наше предположение о том, что уравнение имеет два разных корня, оказалось ложным и, поэтому, формулы Виета неприменимы. Мы приходим к очень странному выводу: наш способ решения не годится и надо искать какой-то другой путь решения задачи. (А что делать, если, например,, а?).
Однако необходимо принять к сведению, что существует ряд задач, предлагаемых в школе и на вступительных экзаменах в вузы, в которых знание кратности корней многочлена или алгебраического уравнения несущественно. Поэтому можно воспользоваться вторым подходом к вопросу о числе корней, и составители таких задач исходят именно из этого подхода, хотя явно об этом в формулировке задачи не говорится. К таким задачам, в частности, относятся задачи с параметром, которые можно свести к расположению корней квадратного трехчлена. Например:
В задачах такого типа подразумевается, что выражения „квадратное уравнение, имеющее одно решение” и „квадратное уравнение с равными корнями” означают одно и то же. Конечно же, ученик, изучивший основы теории многочленов с одной переменой, ясно представляет себе разницу между корнем линейного уравнения и равным корнями квадратного уравнения. Однако, в силу традиций, сложившихся в школе в последние годы, допустимо считать, что квадратное уравнение с равным нулю дискриминантом имеет единственный корень. Это соглашение обусловлено чисто методическими соображениями, цель которых – упростить и изложение теории в школе, и сами задачи.
Таким образом, школьникам, которые намерены продолжить изучение математики в ВУЗе, мы рекомендуем преподавать теорию многочленов классическим способом, используя термин «множество корней многочлена» не в теоретико-множественном смысле. Однако, необходимо настойчиво обращать внимание учащихся на тот факт, что многие школьные задачи формулируются без учета кратности корней многочлена или решений алгебраического уравнения.
Список литературы:
- Табачников С.Л. Многочлены. М.: ФАЗИС, 2000. — 200 с.
- Шарыгин И.Ф. Сборник задач по математике с решениями. 10 класс. М., Астрель, 2001. – 400 с.[schema type=»book» name=»О «НОЖНИЦАХ» МЕЖДУ ШКОЛЬНОЙ И ВУЗОВСКОЙ МАТЕМАТИКОЙ В ПРЕПОДАВАНИИ ТЕОРИИ МНОГОЧЛЕНОВ» author=»Блудова Ирина Валентиновна, Белянова Эльвира Николаевна» publisher=»БАСАРАНОВИЧ ЕКАТЕРИНА» pubdate=»2017-06-06″ edition=»ЕВРАЗИЙСКИЙ СОЮЗ УЧЕНЫХ_ 30.12.2014_12(09)» ebook=»yes» ]