Разработка аналитического метода расчета автоколебаний (АК) в релейных системах (РС) привело к необходимости разработки новых также аналитических методов оценки устойчивости АК. Один из методов (Μτ ) предназначен для анализа устойчивости АК [2] симметричных при сдвиге на половину периода, в другом методе (ΜΤ) анализируется устойчивость через период , что позволило расширить исследования и изучить несимметричные АК.
Критерием проверки второго метода служило исследование этим методом симметричных АК и сравнение результатов с полученными по методу , который разработан авторами достаточно полно и описан в [5] и в монографии [2]. Для симметричных автоколебаний результаты проверки показали правильность метода . Приведем оценку соответствия методов в случае РС с «отрицательным» гистерезисом [3], где возможны и устойчивые, и неустойчивые варианты АК.
Предполагаем, что сигнал на входе релейного элемента (РЭ), имеет прямоугольную форму с нормированными высотой и шириной. Условно считаем, что при координата , увеличиваясь (т. е. скорость ), достигла значения . Происходит переключение РЭ с уровня к уровню . Считаем, что после этого координата в режиме АК продолжает увеличиваться, достигая максимума . Затем при уменьшении происходит обратное переключение РЭ при .
Передаточная функция (ПФ) линейной части (ЛЧ) системы, охватывающей РЭ, имеет вид
(1)
причем в (1) Χ(s)÷χ(t), Υ(s)÷γ(t), – изображения по Лапласу входного и выходного сигналов соответственно; для примера принято – статический коэффициент, а полюсы ПФ
АК считаем устойчивыми по Ляпунову [4], если выполняется условие
(2)
т. е. в (2) при начальной вариации , меньшей бесконечно малой ε, получим конечную вариацию, не выходящую за пределы бесконечно малой β, зависящей от ε (при этом – возмущенное значение координаты χ, рассматриваемое в [2] при анализе устойчивости).
Расчет АК детально описан в [5, 2], причем при различных значениях полупериода АК в рассматриваемом примере получаются устойчивые и неустойчивые АК.
Аналитический метод анализа устойчивости основан на применении теории дискретных цепей. В соответствии с [1], предполагаем, что на РС воздействует «возмущение»
(3)
причем в (3) δ(t) – единичная импульсная функция [1], а ε – бесконечно малая величина.
В результате происходит преждевременное срабатывание на Δt исходного переключения РЭ в момент t=0, из-за изменения χ(t) происходят преждевременные срабатывания РЭ в моменты времени t=nτ на бесконечно малые интервалы
(4)
причем в (4) – вариация координаты χ; – скорость изменения координаты в момент, непосредственно предшествующий переключению РЭ при t=0.
Из-за преждевременных срабатываний РЭ появляется вариация сигнала на выходе РЭ , здесь – «возмущенная» координата [4] на выходе РЭ, представляющая собой смещение на знакопеременных прямоугольных импульсов. В результате вариация – это короткие прямоугольные импульсы бесконечно малой площади, которые для симметричных АК в методе Μτ можно описать периодической знакопеременной последовательностью дельта-функций [1]
(5)
причем в (5) коэффициент «2» обусловлен переключение РЭ с уровня «–1» к уровню «+1».
Таким образом с учетом (3) – (5) вариации переменных в РС можно приближенно описать уравнениями, которые представляют собой уравнения некоторой дискретной цепи (ДЦ), описывающие значения переменных в дискретные моменты времени t=nτ, т. е. дискретные последовательности сигналов [1]:
Учитывая дискретные последовательности и z-преобразование сигналов
(6)
причем в (6) – это дискретная дельта-функция [1], а – ПФ эквивалентной ДЦ, описывающая ЛЧ.
Окончательно уравнения (6) с использованием z-преобразования [1] записываем в виде
; (7)
Решая (7), находим ПФ замкнутой ДЦ:
Корни знаменателя ПФ определяют устойчивость ДЦ. Условие устойчивости ДЦ , что соответствует условию устойчивости по Ляпунову.
Найдя начальное значение скорости , импульсную характеристику в дискретные моменты времени и ПФ ДЦ , получим знаменатель ПФ .
Первый корень здесь будет 
, что соответствует «физической картине» установившихся симметричных АК через половину периода τ. Остальные корни с учетом данных численного примера для полупериода ; , что соответствует условию устойчивости и совпадает с данными полученными значительно сложнее.
Для полупериода получим корни полинома ; , что соответствует неустойчивым АК и совпадает с данными полученными значительно сложнее.
В более общем методе необходимо вместо полупериода использовать период, в результате чего ПФ ДЦ будет
А знаменатель ПФ
Первый корень , что также полностью соответствует «физической картине» повторяемости АК через период Τ. Остальные корни, например, в случае Τ=2τ в том же примере для и периода получим ; , также соответствует условию устойчивости и по модулю незначительно отличаются от корней в методе Μτ,
Для полупериода и периода получим корни ; , что, как и в методе Μτ, полностью соответствует неустойчивому варианту АК.
Таким образом, в целом данные обоих предложенных методов оценки устойчивости АК, рассмотренные для одинаковых условий симметричных АК, соответствуют друг другу, т. е. в одном случае свидетельствуют, что АК устойчивы, а в другом – неустойчивы. В то же время численные значения остальных корней, описывающих АК, в обоих методах несколько различаются, что свидетельствует о меньшей скорости сходимости метода анализа АК через период Τ. Очевидно, это объясняется тем, что в методе Μτ анализа АК через половину периода τ=Τ/2 действует «большая» отрицательная обратная связь, так как коррекция проходит в два раза чаще, чем в методе ΜΤ.
Преимущество метода ΜΤ в его универсальности, так как он позволяет анализировать несимметричные АК в РС, что методу Μτ недоступно. Оба разработанных метода являются аналитическими и аналогов фактически не имеют, поскольку известные классические методы расчета АК (только через период Τ) являются приближенными и могут быть использованы для ограниченного числа ПФ.
Список литературы:
- Бычков Ю.А., Золотницкий В.М., Чернышев Э.П. Основы теории электрических цепей. СПб.: Издательство «Лань», 2005.
- Морозов Д. А., Соклакова М. В., Чернышев Э. П. Аналитический расчет релейных цепей и систем / Монография. СПб., Изд. СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2012.
- Ружников В. А., Чернышев Э. П. Расчет автоколебаний в цепях, содержащих элементы с отрицательной гистерезисной релейной характеристикой. / «Электричество», 1992, №10, с. 51 – 53.
- Цыпкин Я. З. Релейные автоматические системы. М.: Наука, 1974.
- Чернышев Э. П., Мясоедов Г. Б., Ружников В. А., Метод точного расчета автоколебаний в электрических цепях, содержащих нелинейные элементы с релейной гистерезисной характеристикой / Известия вузов «Электромеханика», 1987, №11, с. 125-128.[schema type=»book» name=»СРАВНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ОЦЕНКИ УСТОЙЧИВОСТИ АВТОКОЛЕБАНИЙ В РЕЛЕЙНЫХ ЦЕПЯХ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ГИСТЕРЕЗИСОМ» description=»Оценка устойчивости автоколебаний, описание которых возможно в аналитическом виде также должна проводиться аналитическим методом. В работе распространяется разработанный ранее авторами метод оценки устойчивости на релейные цепи с отрицательным гистерезисом.» author=»Дерипаска Алина Геннадьевна, Соклакова Марина Вячеславовна, Чернышев Эдуард Павлович» publisher=»Басаранович Екатерина» pubdate=»2016-12-07″ edition=»euroasia-science_30_22.09.2016″ ebook=»yes» ]