Задача квазиразвёртки поверхностей является крайне актуальной в современной промышленности. Например, в швейной промышленности, это задача автоматизированного проектирования выкроек одежды и других тканевых изделий. Однако список применений данной задачи не ограничивается одной лишь тканью. Развёртки широко применяются для работы со всеми листовыми материалами, такими как алюминий, сталь, кожа, картон и прочие. Зачастую, в современном мире выкройки проектируются вручную, процесс никак не автоматизирован. Задача создания развёрток для поверхностей с нулевой гауссовой кривизной (развёртываемых поверхностей) на данном этапе развития технологий полностью автоматизирована. В то же время, задача создания квазиразвёрток для неразвёртываемых поверхностей: развёрток, допускающих деформации исходного материала, вызывает наибольший интерес.
Развёрткой поверхности называется фигура, получающаяся в плоскости при таком совмещении точек данной поверхности с этой плоскостью, при котором длины линий и углы между ними остаются неизменными. Развернуть можно только поверхности, имеющие нулевую гауссову кривизну (цилиндр, конус, куб). В общем случае существует задача построить отображение поверхности на плоскость с искажением длин линий или углов или того и другого одновременно.
Рассмотрим поверхность, заданную облаком точек с построенной на нём триангуляцией Делоне. Таким образом, модель поверхность можно представить в виде
pn = p(x,y,z),
V = {p1,p2, … pN},
fn = f(pa, pb, pc), a,b,c [0..N], n [0..M],
F = {f1,f2…fM},
p – точка, задаваемая пространственными координатами,
V – множество вершин поверхности,
f – грань поверхности, задаваемая тремя вершинами
F – множество всех граней поверхности.
Для результирующей развёрнутой поверхности все точки изначальной поверхности расположены на одной плоскости и могут быть заданы в виде pn=p(x,y).
Геометрическую постановку и метод решения прямой задачи квазиразвёртки поверхности впервые дал П.Л. Чебышев в 1878 году. Он предложил рассматривать специальные сети координатных линий на поверхности, чебышевские сети, характеризующиеся следующим свойством: в криволинейном четырёхугольнике, образованном отрезками координатных линий, противоположные стороны имеют равные длины [3].
Существует большое число работ [2,4], использующих метод энергетических функций для решения прямой задачи квазиразвёртки поверхностей. Например, эти методы использовались в совместной работе американских и китайских учёных Вонга, Смита и Йена (1999). В ней используется модель масс-пружин в треугольной сетке для получения развёртки поверхности. В этой работе вначале происходит последовательный перевод треугольников поверхности на плоскость, затем энергетическое моделирование на плоскости для минимизации внутренней энергии модели [4].
В своей работе Чжонг и Сюй (Zhong, Xu) применили физический метод создания развёртки триангулированной поверхности. В рамках этого метода поверхность так же представляется в виде модели масс-пружин. В отличие от предыдущей рассмотренной работы, создание развёртки здесь производится полностью в рамках физического моделирования в трёхмерном пространстве [5]. Алгоритм создания развёртки выполняется в несколько этапов: применение разворачивающего воздействия, перераспределение скоростей и столкновение с плоскостью.
В данной работе используется расширенный и модифицированный метод физический метод, рассмотренный выше. Оригинальный метод предполагает разворачивание некой абстрактной поверхности. Однако, в реальных задачах связанных с деформацией материала, необходимо учитывать свойства этого материала. Для этих целей существует, например, система экспериментальных измерений Kawabata, по ней собираются данные о деформационных свойствах различных видов ткани.
Таким образом, процесс создания квазиразвёртки поверхности состоит из следующих этапов:
- Развёртывание. Приложение к каждой смежной паре треугольников силы, направленной на развёртывание этой пары, приведение треугольников в одну плоскость.
- Перераспределение скоростей. К поверхности прилагается сила, толкающая её к плоскости столкновения. При этом для каждой точки поверхности на каждом шаге корректируется скорость движения, таким образом, чтобы для всех точек поверхности расстояние от точки до плоскости столкновения было примерно равно.
- Столкновение. Поверхность, близкая к плоской конфигурации, приводится к плоскому виду посредством столкновения со специальной плоскостью.
- Во время всей процедуры поверхность может быть деформирована нежелательным образом. Чтобы избежать этого, необходимо на каждом шаге вводить поправки, нейтрализующие неприемлемые деформации. Границы допустимых деформаций зависят от моделируемого материала.
Рисунок 1. Пара смежных треугольников в процессе развёртывания
Для каждой пары смежных треугольников (рис. 1) обозначим позиции, скорости и развёртывающие силы частиц, соответственно, x, v и F. n1 и n2 – это нормальные вектора к плоскостям двух треугольников, e – единичный вектор из точки 3, направленный в точку 4. Тогда развёртывающая сила будет иметь вид (1) соответственно для каждой из 4-х точек (i = 1, 2, 3, 4).
На следующем этапе система частиц движется в сторону плоскости столкновения. Соответственно, к каждой частице прикладывается сила как Fdx = 0, Fdy = 0, Fdz = C, где C – константа. Перераспределение скоростей позволяет уменьшить количество изгибов поверхности путём выравнивания расстояний между частицами и плоскостью столкновения. Для этого на каждом шаге интеграции скорость i-той частицы изменяется по формуле (2).
На рисунке 2 можно увидеть результаты процесса развёртки для сегмента сферы. Развёртка выполняется в реальном времени на процессоре Intel Core i5.
В ходе данной работы были рассмотрены методы решения прямой задачи квазиразвёртки сложной поверхности. Для реализации был выбран метод, основанный на физическом моделировании, дополненный моделью свойств и ограничений выбранного материала. Метод позволяет быстро получить развёртку сложных поверхностей с учётом характеристик целевых материалов.
Список литературы:
- Фроловский В. Д., Избранные задачи геометрического проектирования. Параметризация сложных поверхностей : учеб. пособие. Новосибирск: НГТУ, 2005. – 165 с.
- Фроловский В.Д. Метод энергетических функций построения квазиразверток поверхностей. Сибирский журнал индустриальной математики, январь-июнь 2000, том III, № 1(5). С. 195-204.
- Чебышев П. Л. О кройке одежды. Успехи математических наук. Москва, РАН, 1946. Т.1.-№ 2. С.38-42.
- Charlie C.L.Wang, Surface Flattening Based on Energy Model. Hong Kong: The Hong Kong University of Science and Technology, USA: Iowa State University, 1999. – 16с.
- Yueqi Zhong, A physically based method for triangulated surface flattening. USA: The University of Texas at Austin, 2006. – 12с.[schema type=»book» name=»МОДЕЛИ, МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ ПОСТРОЕНИЯ КВАЗИРАЗВЁРТОК ПОВЕРХНОСТЕЙ» description=»В работе рассматриваются алгоритмы построения квазиразвёрток поверхностей с ненулевой гауссовой кривизной. Используется методика физического моделирования и модель частиц для построения развёртки триангулированной поверхности. В результате разработана программа, обеспечивающая приемлемую производительность в решении задачи.» author=»Сусликов Павел Иванович, Фроловский Владимир Дмитриевич» publisher=»БАСАРАНОВИЧ ЕКАТЕРИНА» pubdate=»2017-03-29″ edition=»ЕВРАЗИЙСКИЙ СОЮЗ УЧЕНЫХ_30.04.2015_04(13)» ebook=»yes» ]