- Введение.
Через C, R, Z будем обозначать множества комплексных, вещественных, целых чисел соответственно. Положим , . Обозначим L2(Г), W(Г²) — гильбертовы W(Г), W(Г²) пространства измеримых суммируемых с квадратом функций, через — стандартные банаховы алгебры функций, разлагающихся в абсолютно сходящтеся ряды Фурье на Г, Г² соответственно. Как известно, оператор сингулярного интегрирования S, ограничен и инволютивен в пространствах L2(Г), W(Г²). Это позволяет определить операторы проектирования: , действующие в пространствах L2(Г), W(Г²), а также операторы проектирования , действующие в пространствах L2(Г), W(Г). Образы введенных операторов проектирования будем помечать тем же набором + и -, который присутствует в обозначениях проекторов, оставляя при этом прежние обозначения для пространств. Например, ,… .
В работе рассматривается оператор Теплица , действующий по правилу , где a(ξ, η)∈W(Г²). Функцию a(ξ, η) называют символом оператора Ta.
До сих пор наиболее общим результатом для оператора является следующий критерий нетеровости, полученный И.Б. Симоненко [14-16] в качестве следствия к разработанному им локальному принципу исследования операторов локального типа [1-4].
Теорема 1: Оператор нетеров тогда и только тогда, когда его символ удовлетворяет условиям:
1)
При выполнении условий теоремы 1 индекс оператора Ta равен нулю.
Отметим, что при выполнении условий 1), 2) символ a(ξ, η)∈W(Г²) оператор Ta допускает факторизацию
(1)
где обратимы в соответствующих подалгебрах .
Из равенства (1) следует, что , и, хотя операторы обратимы, оператор , в отличие от одномерного случая не проще, чем исходный оператор Ta. В последующих исследованиях этот результат в серии работ В.С. Пилиди [11], Л.И. Сазонова [13], а также Р.Г. Дугласа [9], [7], был обобщен в различных направлениях. Работы И.Б. Симоненко и его последователей посвящены качественному исследованию и практически не содержат никаких конструкций, исключая конструкции регуляризаторов. Однако имеются и некоторые работы, посвященные конструктивному подходу при исследовании двумерного оператора Теплица. Укажем некоторые из этих работ. В.С. Рабиновича [12] заметил, что если в представлении 1 отсутствует , то оператор Ta обратим. Л.И. Сазонов обобщил этот результат на случай, когда . В работах С. Ошера [9], В.А. Малышева [8], автора [10], А. Беттхера [1], [2] рассмотрены двумерные операторы Теплица со специальными символами. В этих работах показано, что нетеровость рассматриваемых операторов равносильна их обратимости и предприняты попытки построения решений соответствующих уравнений. В работе Р.Г.Дугласа и Р.Хоува [8] приведен пример, показывающий, что нетеровость двумерных операторов Теплица не равносильна их обратимости.
В работе исследуется двумерный оператор Теплица с символов вида
(2)
где .
Для оператора с символом (2) проведена процедура равносильной регуляризации и редукции, сводящая уравнение Taφ = f к равносильному уравнению Фредгольма. При этом упомянутое уравнение Фредгольма одномерно и при его помощи описаны образ, ядро, даны условия разрешимости и конструкция исходного уравнения.
- Вспомогательные результаты.
Лемма 1. Пусть контур L ограничивает односвязную область D, а функция аналитична в области D и непрерывно дифференцируема на контуре L. Если функция a(ξ, η) имеет в точке единственный нуль кратности k, то справедливо равенство .
Пусть и функции не являются тождественными нулями. Нас будут интересовать корни уравнения в предположении, что переменная η ∈ Г фиксирована. Ясно, что имеется, две кривых корней: , определяемых по стандартным формулам. Однако, эти корни не обязаны обладать, вообще говоря, никакими свойствами непрерывности или гладкости по переменной η ∈ Г. Однако, оказывается, что при некотрых дополнительных условиях о кривых можно утверждать, что они обладают в некотором смысле такими свойствами. Например, имеет место следующее утверждение.
- Модельный оператор.
Рассмотрим связанный с символом (2) многочлен 
. Очевидно, и в силу свойств индекса . Согласно лемме 1 и замечанию к ней найдутся функции так, что , и при этом имеет место равенство. Отметим, что Хорошо известно [5, стр. 48], что при выполнении последних условий функция допускает каноническую факторизацию в а алгебре , Ясно, что функции ввиду вложений можно рассматривать как элементы алгебр соответственно. Принимая во внимание приведенные факты, представим символ (3) в следующем виде
(3)
В силу свойства частичной мультипликативности (лемма 3) из равенства (3) следует, что . Поскольку операторы обратимы и при этом , то поведение оператора Ta определяется поведением оператора . В связи с этим оператор и , будем называть модельным оператором, а функцию — модельным символом.
Пусть С другой стороны, из теоремы Симоненко следует, что . Таким, образом, для рассматриваемого нами оператора Теплица .
Лемма 5. Пусть B — банахово пространство и A: B → B — линейный ограниченный оператор. Если sprA<1, то оператор I — A обратим и при этом .
Следствие. Операторы Теплица обратимы и при этом .
- Основной результат.
В силу леммы 5 в уравнении (6) оператор вполне непрерывен, поэтому это уравнение есть уравнение Фредгольма второго рода в пространстве . Таким образом справедливо следующее утверждение.
Теорема 2. Уравнение (6), построенное по уравнению при помощи модельного оператора равносильно этому уравнению в том смысле, что:
1) если однородное уравнение (6) имеет только тривиальное решение, то оператор Ta обратим и единственное решение уравнения при любой правой части определяется формулой
2) если однородное уравнение (6) имеет конечное число линейно независимых решений, а правая часть такова, что неоднородное уравнение (6) разрешимо, то уравнение разрешимо и его общее решение имеет вид
где — общее решение уравнения (6).
Литература
- Беттхер А. Двумерные свертки в углах с ядрами, имеющими носитель в полуплоскости. — Матем. заметки,т.34,№2,1983,с.207-218.
- Беттхер А., Пасенчук А.Э. Об обратимости теплицевых операторов на квадранте, носители которых лежат в полуплоскости. — В сб. «Дифф. и интегр. уравнения и их прилож.»,Элиста,1982,с.9-19.
- Гахов Ф.Д. Краевые задачи. — М.,Наука,1977.
- Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки — М.,Наука,1978.
- Гохберг И.Ц.,Фельдман И.А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. — М.,Наука,1971.
- Гохберг И.Ц.,Крупник Н.Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. — Кишинев,Штиница,1973.
- Douglas R.G., Howe R. On the algebras of Toeplitz operators on the quater-plane. — Trans. Amer. Math. Soc.,1971,158,№1,p.203-217.
- Малышев В.А. О решении уравнений Винера-Хопфа в четверти плоскости. — Доклад АН СССР,1969,т.187,№6,с.1066-1069.
- Osher S.J. On certain Toeplitz operators in two variables. — Pacif.J.Math,1970,34,№1,p.123-129.
- Пасенчук А.Э. Оператор Теплица на торе и задача о следах для аналитических функций двух комплексных переменных. — Изв. ВУЗов Сев.-Кав. регион, Сер. естеств. науки,2006,№1,с.19-24.
- Пилиди В.С. О многомерных бисингулярных операторах. — Докл. АН СССР,1971,т.201,№2,с.787-789.
- Рабинович В.С. Многомерное уравнение Винера-Хопфа для конусов. — В сб.»’Теория функций, функц. анализ и их приложен.»’,1967,в.5,с.59-67.
- Сазонов. Л.И. -алгебра бисингулярных операторов с разрывными коэффициентами. — Изв. РАН,сер.мат.,1999,т.63,№2,с.167-200.
- Симоненко И.Б. Новый общий метод исследования линейных операторных интегральных уравнений. I. — Изв, АН СССР,сер.матем.,1965,т.,29,в.3,с.567-586.
- Симоненко И.Б. Новый общий метод исследования линейных операторных интегральных уравнений. II. — Изв, АН СССР,сер.матем.,1965,т.,29,в.4,с.775-782.
- Симоненко И.Б. О многомерных дискретных свертках. — В сб. «Матем. исследования»,Кишинев,Штиинца,1968,,в.1,с.298-313.[schema type=»book» name=»О регуляризации одного класса двумерных операторов Теплица» description=»Изучается специальный класс двумерных операторов Теплица в гильбертовом пространстве измеримых суммируемых с квадратом на торе функций. При помощи найденного свойства нестандартной частичной мультипликативности производится равносильная регуляризация упомянутого оператора Теплица.» author=»Пасенчук Александр Эдуардович» publisher=»Басаранович Екатерина» pubdate=»2016-12-14″ edition=»euroasia-science_6(27)_23.06.2016″ ebook=»yes» ]