Рассмотрим движение спутника, принимаемого за материальную точку, в поле движения осесимметричной планеты. Если φ и r – планетоцентрическая широта и модуль радиус-вектора, определяющие положение спутника, то в стандартных обозначениях гравитационный потенциал осесимметричной планеты будет иметь вид
, (1)
где f – гравитационная постоянная, т и r0 – масса и средний экваториальный радиус планеты соответственно, Jn – безразмерные коэффициенты, Рn – полином Лежандра п-го порядка.
Гравитационный потенциал планеты может быть представлен в виде суммы аппроксимирующего потенциала W и пертурбационной функции R;
U=W+R. (2)
В качестве аппроксимирующего потенциала W выберем потенциал обобщённой задачи двух неподвижных центров [1,2]. Этот потенциал (его ещё называют потенциалом эйлеровой задачи) W включает в себя вторую и третью полностью, а остальные зональные гармоники гравитационного потенциала частично. Члены потенциала (1), не вошедшие в W, составят пертурбационную функцию.
, (3)
где jn – часть коэффициента Jn, не учтённая аппроксимирующим потенциалом.
Уравнения движения невозмущённой эйлеровой задачи интегрируются в квадратурах [2]. Канонические переменные действие-угол введены в [1] и выражены через эллиптические квадратуры. Дифференциальные уравнения возмущённой эйлеровой задачи принимают наиболее простую форму, если ввести канонические переменные L, G, H, l, g, h, подобные элементам Делоне [1]. Уравнения возмущённого движения в канонических оскулирующих элементах L, G, H, l, g, h будут иметь вид
Ясно, что в формуле (5) 
— невозмущённый гамильтониан эйлеровой задачи, R — пертурбационная функция.
Пертурбационная функция может быть записана как кратный ряд Фурье с использованием функций наклона [1]
и коэффициентов Ганзена 
:
, (6)
где a, e, i, ω0, M – элементы эйлеровой орбиты, являющиеся аналогами большой полуоси, эксцентриситета, наклона, аргумента перицентра и средней аномалии кеплеровской орбиты.
Используя формулы связи элементов эйлеровой орбиты с каноническими оскулирующими элементами L, G, H, l, g, h работы [1], запишем пертурбационную функцию следующим образом:
. (7)
Здесь k и j – любые целые числа.
Выбрав в качестве малого параметра величину μ=r0c—110-8, где c – аппликата шаровой точки инерции планеты, представим пертурбационную функцию рядом
, (8)
где каждая функция выражена через переменные L, G, H, l, g и является периодической по угловым переменным , l и g с периодом 2π:
. (9)
Угловая переменная h – циклическая, поэтому уравнения Гамильтона (4) допускают первый интеграл
H=Λ=сonst, (10)
что даёт возможность понизить порядок первоначальной системы уравнений и получить приведённую систему
(11)
с гамильтонианом
(12)
В [3] у Пуанкаре доказана теорема, которая в нашей задаче может быть переформулирована следующим образом.
Пусть движение спутника описывается приведённой системой (11), причём гамильтониан имеет вид (12), тогда если функция H0 не зависит от угловых переменных l и g, гессиан функции H0 по переменным L и G не равен тождественно нулю, функции Hi – периодические от , l и g с периодом 2π, то приведённая система не допускает никаких других независимых аналитических первых интегралов, кроме интеграла энергии H=сonst при достаточной малости параметра μ.
Нетрудно проверить, что все условия сформулированной теоремы выполняются. Доказательство основывается на том факте, что если бы в задаче существовал однозначный интеграл, то в разложении пертурбационной функции в кратный ряд Фурье по угловым переменным все коэффициенты должны были бы обращаться в нуль. Изучение разложения R показывает, что это не так. Следовательно, мы должны сделать вывод о том, что приведённая система (11) не может иметь других однозначных аналитических интегралов, не являющихся следствием интеграла энергии. При этом задача о движении спутника сфероидальной планеты не будет иметь дополнительных аналитических первых интегралов, отличных от интеграла энергии и циклического интеграла (10).
Литература.
- Аксёнов Е.П. Теория движения искусственных спутников Земли. М.: Наука. 1977. 360 с.
- Дёмин В.Г. Движение искусственного спутника Земли в нецентральном поле тяготения. М.: Наука, 1968. 352 с.
- Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Т, 1//Пуанкаре А. Избр. Труды Т. 1. М.: Наука, С 8-326.[schema type=»book» name=»НЕСУЩЕСТВОВАНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ПЕРВЫХ ИНТЕГРАЛОВ В ЗАДАЧЕ О ДВИЖЕНИИ СПУТНИКА СФЕРОИДАЛЬНОЙ ПЛАНЕТЫ» description=»Рассматривается задача о дополнительных аналитических первых интегралах одной известной задачи о возмущённом движении спутника в поле сфероидальной планеты. Показано отсутствие дополнительных (отличных от известных) первых интегралов задачи.» author=»Севрюков Павел Фёдорович» publisher=»БАСАРАНОВИЧ ЕКАТЕРИНА» pubdate=»2017-01-03″ edition=»euroasia-science.ru_29-30.12.2015_12(21)» ebook=»yes» ]