В области Ω евклидова пространства Σ,, задано семейство гладких линий так, что через каждую точку Χ∈Ω проходит одна линия заданного семейства. Подвижной ортонормированный репер в области Ω выбран так, чтобы он был репером Френе [1], [2] для линии ω¹ заданного семейства. Деривационные формулы репера ℜ имеют вид:
(1)
Формы удовлетворяют структурным уравнениям евклидова пространства:
(2)
Интегральные линии векторных полей образуют сеть Френе для линии ω¹ заданного семейства. Поскольку репер ℜ построен на касательных к линиям сети , формы становятся главными, т.е.
(3)
В силу последнего равенства формулы (2) имеем:
(4)
Дифференцируя внешним образом равенство (3) получим:
Применяя формул (2) отсюда имеем:
В силу равенства (3) последнее равенство имеет вид:
или
Отсюда найдем:
или
Применяя лемму Картана [3] отсюда имеем:
или
(5)
Система величин образуют геометрический объект второго порядка.
Формулы Френе для линии ω¹ заданного семейства имеют вид:
и (6)
(7)
Здесь , , , — первая, вторая, третья и четвертая кривизны линии ω¹ соответственно (где — символ дифференцирования вдоль линии ω¹).
Псевдофокус [4] касательной к линии ω¹ сети Σ определяется следующим радиус-вектором:
(8)
На каждой касательной существуют по четыре псевдофокуса. На прямой существуют псевдофокусы , на прямой – , на прямой –, на прямой – 
, на прямой –
Сеть в Ω⊂ называется циклической сетью Френе [5], если реперы , , , , являются соответственно реперами Френе для линий сети одновременно.
Пусть сеть является циклической сетью Френе. Ее обозначим через . Псевдофокус определяется радиус-вектором:
(9)
Когда точка χ смещается в области Ω⊂Σ, псевдофокус описывает свою область . Определяется частичное отображение такое, что
Продифференцируем равенство (9) и применяя формулы (1), (2), (3) имеем:
или
где
Отсюда получим:
Введем обозначения:
(10)
К области присоединим подвижной ортонормированный репер где векторы имеют вид (10) . В общем случае эти векторы линейно независимы.
Линии называют двойными линиями отображения , если касательные к ним, взятые в соответствующих точках Χ и (Χ) пересекаются, либо параллельны [6].
Линия l называется двойной линией пары , если она является двойной линией отображения и принадлежит распределению [6].
Рассмотрим линию α, принадлежащую двумерному распределению 
Ее касательный вектор α имеет вид:
Найдем касательный вектор линии Учитывая формулы (10) получим:
Отсюда имеем:
Следовательно, тогда и только тогда, когда
В силу формул (10) отсюда получим:
или
(11)
где первая кривизна линии ω² сети , — вторая кривизна линии ω¹ сети .
Таким образом, линия α, принадлежащая распределению , является двойной линией пары тогда и только тогда, когда координаты α¹, α² ее касательного вектора удовлетворяют условию (11).
Рассмотрим линию m, принадлежащую распределению , и отличную от линий ω¹, ω².
Ее касательный вектор имеет вид: линии .
В силу формул (10) отсюда получим:
Векторы не могут быть компланарными, следовательно, линия m не может быть двойной линией пары .
Аналогичным образом выяснено, что линия γ, принадлежащая распределению и отличная от линий ω¹, ω², не может быть двойной линией пары ; линия β, принадлежащая распределению и отличная от линий ω¹, ω², является двойной линией пары тогда и только тогда, когда выполнены условия:
(12)
где — вторая кривизна линии сети ,
(13)
где — первая кривизна линии ω² сети , — третья кривизна линии сети .
Таким образом доказана
Теорема. Линия α, принадлежащая распределению и отличная от линий ω¹, ω², является двойной линией пары тогда и только тогда, когда выполнены условие (11);
линия γ, принадлежащая распределению и отличная от линий ω², , является двойной линией пары тогда и только тогда, когда выполнены условия (12), (13).
Список использованной литературы:
- Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ [Текст]/ П.К.Рашевский// Москва. Наука.1967.-С.481-482.
- Схоутен И.А. Введение в новые методы дифференциальной геометрии [Текст]/ И.А.Схоутен,Д.Дж.Стройк. // Москва. ИЛ.1948.Т.II-348.
- Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии [Текст]/ С.П. Фиников // М-Л.: Госттехиздат,.1948.- 432.
- Базылев В.Т. О многомерных сетях в евклидовом пространстве [Текст]/ В.Т Базылев // Литовский математический сборник,1966.VI.№4.-С.475-491.
- Матиева Г. Геометрия частичных отображений, сетей и распределений евклидова пространства [Текст]/ Г.Матиева // Монография. Ош,2003.-С.212-219.[schema type=»book» name=»К геометрии двойных линий частичного отображения пространства E5″ description=»В области Ω⊂E5 задано семейство гладких линий так, что через каждую точку проходит одна линия заданного семейства. Подвижной ортонормированный репер , в области Ω выбран так, чтобы он был репером Френе для линии ω¹ заданного семейства. Интегральные линии ω¹векторных полей образуют сеть Френе E5. На касательной к линии ω¹ сети E5 инвариантным образом определяется точка . Когда точка X смещается в области Ω, точка описывает свою область в E5. Получается частичное отображение такое, что . » author=»Чолпонай Абдуллаева » publisher=»Басаранович Екатерина» pubdate=»2016-12-10″ edition=»euroasia-science.ru_#29_25.08.2016″ ebook=»yes» ]