Номер части:
Журнал
ISSN: 2411-6467 (Print)
ISSN: 2413-9335 (Online)
Статьи, опубликованные в журнале, представляется читателям на условиях свободной лицензии CC BY-ND

К ЗАДАЧЕ О НЕЛИНЕЙНОМ РАСПРОСТРАНЕНИИ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В СТРУНЕ



Науки и перечень статей вошедших в журнал:
DOI:
Дата публикации статьи в журнале:
Название журнала: Евразийский Союз Ученых, Выпуск: , Том: , Страницы в выпуске: -
Автор:
, ,
Автор:
, ,
Автор:
, ,
Анотация:
Ключевые слова:                              
Данные для цитирования: . К ЗАДАЧЕ О НЕЛИНЕЙНОМ РАСПРОСТРАНЕНИИ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В СТРУНЕ // Евразийский Союз Ученых. Физико-математические науки. ; ():-.

  • ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

При получении соотношений на скачке напряжений, распространяющемся по возмущённой струне, приведём сначала общую постановку задачи, а затем по мере надобности внесём в неё некоторые добавления.

Рассмотрим скачок напряжений, распространяющийся по возмущённой струне, не уточняя природы возникновения этого скачка. Приведём вначале некоторые элементы постановки задач и результаты, полученные в [1], [2], которые нам потребуются ниже. При исследовании нелинейного распространения волн в струне в [2] была предложена нелинейная форма закона Гуку:

К ЗАДАЧЕ О НЕЛИНЕЙНОМ РАСПРОСТРАНЕНИИ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В СТРУНЕ

К ЗАДАЧЕ О НЕЛИНЕЙНОМ РАСПРОСТРАНЕНИИ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В СТРУНЕ

К ЗАДАЧЕ О НЕЛИНЕЙНОМ РАСПРОСТРАНЕНИИ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В СТРУНЕ

  • СООТНОШЕНИЕ НА СКАЧКЕ, РАСПРОСТРАНЯЮЩЕМСЯ ПО ВОЗМУЩЁННОЙ СТРУНЕ.

Для получения условий на скачке запишем законы сохранения массы и изменения кинетической энергии некоторого малого участка струны в движущейся системе координат, связанной со скачком распространяющемся по струне со скоростью  (см. рис 1). Пусть в произвольный момент t > 0 скачок находится в точке A.

Запишем упомянутые выше законы на бесконечно малом промежутке времени . Отметим, что каждая точка струны участвует в двух движениях: первое – горизонтальное со скоростью — N, второе  вертикальное параллельно оси Ou, причём точки струны, лежащие справа от скачка A, движутся с заданной скоростью , а точки струны, лежащие слева от скачка A, движутся с неизвестными нам скоростями . Обозначим через C1 точку, лежащую справа от скачка , которая в момент  пересечёт скачок, в этот момент времени участок струны AC1 перейдёт с правой стороны скачка на левую и, деформируясь, займёт положение участка струны AC. Очевидно, что массы обоих участков должны быть равны. Найдём векторное перемещение  точки C1: .

К ЗАДАЧЕ О НЕЛИНЕЙНОМ РАСПРОСТРАНЕНИИ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В СТРУНЕ

К ЗАДАЧЕ О НЕЛИНЕЙНОМ РАСПРОСТРАНЕНИИ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В СТРУНЕ

К ЗАДАЧЕ О НЕЛИНЕЙНОМ РАСПРОСТРАНЕНИИ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В СТРУНЕ

К ЗАДАЧЕ О НЕЛИНЕЙНОМ РАСПРОСТРАНЕНИИ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В СТРУНЕ

К ЗАДАЧЕ О НЕЛИНЕЙНОМ РАСПРОСТРАНЕНИИ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В СТРУНЕ

Очевидно, что (2.4) и (2.6) имеют одну и ту же структуру.

Используя соотношения: (1.2), (1.3) и геометрический смысл частной производной , можно показать, что

К ЗАДАЧЕ О НЕЛИНЕЙНОМ РАСПРОСТРАНЕНИИ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В СТРУНЕ

  • ОТРАЖЕНИЕ СКАЧКА ПОСТОЯННОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ ОТ ЗАКРЕПЛЁННОГО КОНЦА СТРУНЫ.

Рассмотрим задачу о возмущённом движении закреплённой струны, когда средняя её точка F в момент t = 0 совпадающая с началом координат O движущаяся вертикально вверх с заданной постоянной скоростью .

К ЗАДАЧЕ О НЕЛИНЕЙНОМ РАСПРОСТРАНЕНИИ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В СТРУНЕ

Это соотношение выполняется также во всей возмущённой области.

Очевидно, что в рассматриваемом случае, когда скорость движения точки F постоянна, все точки возмущённой струны в каждый момент времени t ≥ 0 будут иметь одну и ту же скорость v1, что ниже будет подтверждено формулой явного решения рассматриваемой задачи для .

К ЗАДАЧЕ О НЕЛИНЕЙНОМ РАСПРОСТРАНЕНИИ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В СТРУНЕ

где N1 даётся соотношением (3.4). Решение (3.5) удовлетворяет граничному условию (3.1), при этом каждая точка струны в этом решении движется с постоянной скоростью v1, а правый конец области возмущённого движения струны, где u = 0 совпадает со скачком, абсцисса которого  на основании (3.5) равна N1.

К ЗАДАЧЕ О НЕЛИНЕЙНОМ РАСПРОСТРАНЕНИИ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В СТРУНЕ

К ЗАДАЧЕ О НЕЛИНЕЙНОМ РАСПРОСТРАНЕНИИ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В СТРУНЕ

К ЗАДАЧЕ О НЕЛИНЕЙНОМ РАСПРОСТРАНЕНИИ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В СТРУНЕ

Запишем закон сохранения массы струны на отраженном скачке для участка струны AC1, который на интервале времени  перейдёт на правую сторону скачка и займёт положение AC. Очевидно, что формула закона сохранения массы для этих участков имеет вид:

К ЗАДАЧЕ О НЕЛИНЕЙНОМ РАСПРОСТРАНЕНИИ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В СТРУНЕ

К ЗАДАЧЕ О НЕЛИНЕЙНОМ РАСПРОСТРАНЕНИИ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В СТРУНЕ

Учитывая (3.12) и (3.4), из (3.13) окончательно имеем: К ЗАДАЧЕ О НЕЛИНЕЙНОМ РАСПРОСТРАНЕНИИ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В СТРУНЕ.

Как следует из вышесказанного, в отличие от газовой динамики, где давление на отраженной от стенки слабой ударной волне увеличивается в два раза по сравнение с падающей, в случае отражения скачка напряжений в струне от закреплённого конца (при малых деформациях) увеличивается в четыре раза. Это объясняется тем, что при малых деформациях напряжения в струне пропорциональны деформациям струны, которые в свою очередь пропорциональны квадратам углов участков струны с невозмущённой струной. В нашем случае в точке закрепления струны угол отраженного участка в два раза больше соответствующего угла участка струны до отражения, что и приводит к четырёхкратному увеличению напряжения на отраженном участке.

Список литературы:

  1. Мансаре Б., Себельдин А.М., Шарый В.А. «Асимптотика распространения скачка нормальных напряжений в струне» Евразийский союз учёных (ЕСУ); 2015 №3(12) Часть7 147-149
  2. Шарый В.А., Себельдин А.М. «Исследование нелинейного распространения волн в струне асимптотическими методами» Евразийский союз учёных (ЕСУ); 2014 №9 Часть3 11-13
  3. Станюкович К.П. «Неустановившиеся движения сплошной среды» Наука, 1971, 854 стр.[schema type=»book» name=»К ЗАДАЧЕ О НЕЛИНЕЙНОМ РАСПРОСТРАНЕНИИ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В СТРУНЕ» description=»В работе рассматривается нелинейное распространение скачка нормальных напряжений по возмущённой струне. Заметим, что случай, когда скачок распространяется по покоящейся струне, был исследован в [1]. В работе так же исследуется случай отражения скачка постоянной интенсивности от закреплённого конца струны, когда одна из точек струны движется вертикально с постоянной малой скоростью.» author=»Шарый Владимир Александрович, Пайков Владимир Иванович» publisher=»БАСАРАНОВИЧ ЕКАТЕРИНА» pubdate=»2017-01-11″ edition=»ЕВРАЗИЙСКИЙ СОЮЗ УЧЕНЫХ_28.11.15_11(20)» ebook=»yes» ]
Список литературы:


Записи созданы 6780

Похожие записи

Начните вводить, то что вы ищите выше и нажмите кнопку Enter для поиска. Нажмите кнопку ESC для отмены.

Вернуться наверх