- Введение. В настоящей заметке мы ставим своей целью геометризовать преподавание теории вероятностей на ее начальном этапе и тем самым облегчить понимание ее основных понятий. Для реализации этой цели нами построена модель пространства событий, которую мы описываем в следующем параграфе, и затем решена элементарная задача из курса теории вероятностей для иллюстрации действия данной модели на практике.
- Сферическая модель пространства событий. Рассмотрим пространство событий, где каждое событие Р имеет n исходов с вероятностями р1, р2, …, рn , причем 0≤ рk ≤1 для всех k = 1, …, n. Тогда по основной аксиоме теории вероятностей имеем
. Если положить 
для всех k = 1, …, n, то предыдущее равенство можно представить в виде уравнения 
, задающего в (n + 1)-мерном арифметическом пространстве Rn + 1 гиперсферу Sn единичного радиуса с центром в начале координат О(0, … , 0). В результате этого предположения каждое событие 
может быть отождествлено с соответствующей точкой 
гиперсферы Sn пространства Rn + 1.
События, которые имеют число исходов меньшее n, можно также включить в нашу модель, отождествляя их с точками на все той же гиперсфере Sn. Для чего, например, событие с n - 1 исходами 
следует рассматривать как точку 
, которая лежит на сфере Sn—1 Ì Sn , служащей аналогом окружности S1 большого радиуса сферы S2 Ì R3.
Для того чтобы «вернуться назад» от точек гиперсферы Sn к событиям вероятностного пространства необходимо потребовать, чтобы xk ≥ 0 для всех k = 1, …, n. В противном случае, нескольким точкам гиперсферы Sn будет соответствовать одно событие. Например, двум точкам, и будет соответствовать одно и то же событие . При таком ограничении, в рассмотрение будет введена не вся сфера Sn, а только ее часть, включенная в «n-мерный сектор».
В результате, построенная модель позволит нам отождествить пространства событий с k ≤ n исходами с частью гиперсферы Sn единичного радиуса с центром в начале координат О(0, … , 0) из арифметического пространства Rn + 1, которая включена в «n-мерный сектор», определяемый условиями для всех k = 1, …, n.
- Задача. Для иллюстрации возможности применения построенной модели решим следующую элементарную задачу. Турагентство работает на три направления: внутреннее (Сочи), внешнее престижное (Испания, Греция) и внешнее бюджетное (Египет, Турция). Путевки по этим направлениям считаются товарами-субститутами. Следовательно, вероятность того, что их раскупят в начальный момент времени t=0 (лето 2015) равна соответственно p1=1/3, p2=1/3, p3=1/3. Зимой ввиду террористической угрозы Россия закрыла сообщение с Египтом и рекомендовала туркомпаниям прекратить продажу путевок в Турцию. Получается, в момент времени t=1 (зима2015) распределение вероятности имеет вид: p1=2/3, p2=1/3, p3=0(так как зимой же 2015 курс рубля упал, и граждане скорее купят путевки в Сочи, чем в Испанию).
Требуется вывести закон равномерного изменения спроса на путевки и на его основе определить распределение путевок в середине периода t=1/2.
Решим поставленную задачу, воспользовавшись построенной моделью, а для этого рассмотрим сферу S2 единичного радиуса в арифметическом пространстве R3.
Геодезическая на сфере S2 в R3, это кратчайшая из линий, которые соединяют две данные точки сферы; она задается дугой окружности большого радиуса, проходящей через эти точки. Именно геодезическая в нашей модели будет описывать закон равномерного изменения численности жуков в популяции. Такая геодезическая находится как линия пересечения плоскости, проходящей через две данные по условию точки 
и 
и центр сферы точку О (0, 0, 0).
Сфера S2 единичного радиуса задается в R3 уравнением 
для 
, а плоскость R2, проходящая через три точки О, Х и Х′ находится из уравнения
Вследствие этого уравнения искомой геодезической на сфере примут вид
Искомая точка, соответствующая значению t= 1/2, лежит на дуге È Х Х′ и делит ее пополам, т.е. является линией пересечения прямой 
с дугой È Х Х′.Решая систему уравнений, состоящую из уравнений геодезической и прямой
ВРАЖЕНИЕ ПРИЗНАТЕЛЬНОСТИ
Я хочу поблагодарить профессора Степанова С.Е. за помощь построения задачи и оказанную поддержку в написании работы.
ЛИТЕРАТУРА
- Ченцов Н.Н., Статистические решающие правила и оптимальные выводы, М.: Наука, 1972.[schema type=»book» name=»СФЕРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОСТРАНСТВА СОБЫТИЙ» description=»В настоящей заметке мы ставим своей целью геометризовать преподавание теории вероятностей на ее начальном этапе и тем самым облегчить понимание ее основных понятий. Для реализации этой цели нами построена модель пространства событий, а затем решена элементарная задача из курса теории вероятностей для иллюстрации действия данной модели на практике.» author=»Уварова Полина Ильинична» publisher=»БАСАРАНОВИЧ ЕКАТЕРИНА» pubdate=»2016-12-19″ edition=»euroasia-science_28.04.2016_4(25)» ebook=»yes» ]