Введение. Основной и покрывающий диски центробежных турбомашин (компрессоров, насосов, нагнетателей, вентиляторов) являются одними из самых напряженных и ответственных элементов и в ряде случаев определяют прочность рабочих колес в целом.
Е.Мейсснером [1] для конических дисков линейно-переменной толщины были получены два дифференциальных уравнения второго порядка, каждое относительно функции, одна из которых является углом поворота, а вторая пропорциональна перерезывающему усилию. Точное решение для конических дисков линейно-переменной толщины было получено Е.Хонеггером Е [2] в функциях Бесселя.
А.Д.Коваленко [3] получил уравнения для конических дисков переменной толщины, при этом в качестве основных неизвестных при рассмотрении осесимметричной деформации выбраны меридиональное усилие и угол поворота нормали к срединной поверхности. Я.М.Григоренко [4] для конических дисков переменной толщины получил уравнения равновесия при этом в качестве неизвестных выбраны меридиональное и окружное усилия и изменения кривизны срединной поверхности. Для интегрирования разрешающих уравнений использовался аппарат теории гипергеометрических функций.
В.А.Пухлий [5] получил нелинейные уравнения для конических дисков переменной жесткости. Разрешающая система 6-ти нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка записывается относительно деформационных приращений радиальной и осевой координат срединной поверхности, при этом в уравнениях равновесия использованы радиальные и осевые усилия. При таком подходе упрощается вид интеграла уравнений равновесия, следующего из уравнений равновесия конечной отсеченной части оболочки. Уравнения равновесия получены в самом общем случае при произвольном законе изменения толщины конического диска и произвольном нагружении.
В настоящей работе изложен метод расчета температурных полей и напряжений в дисках произвольного профиля, обусловленных действием центробежных сил инерции собственной массы, нагрузки, приложенной на границах диска и неравномерным нагревом. В дисках осевых турбомашин и нагнетателей нагрузка на наружном контуре вызывается действующими силами инерции собственных масс лопаток, а на внутреннем – давлением вала при прессованной посадке. Большое влияние на величину температурных напряжений оказывает закон изменения температуры по радиусу диска. Известно, что замена линейного закона изменения температуры по радиусу квадратичным законом может привести к существенному возрастанию окружных напряжений. Поэтому достаточная точность определения температурного поля в расчетах на прочность имеет принципиальное значение.
Если в расчетах температурных полей и напряжений учитывать изменение толщины диска по радиусу, а также зависимость физико-механических характеристик материала от температуры, то задачу можно свести к интегрированию дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, точное решение которых в общем случае является проблематичным. Для решения поставленной задачи применяются приближенные методы расчета. Используются конечно-разностные схемы, аппроксимирующие исходные дифференциальные уравнения системой алгебраических уравнений. Разработаны методы, использующие интегральные уравнения задачи. Находят широкое применение в построении решений конкретных типов задач гипергеометрические ряды. Некоторые инженерные методы расчета базируются на замене действительного профиля диска рядом участков, удобных для вычисления профилей, и на использовании точных решений для этих участков.
- Решение температурной задачи. Рассмотрим тонкий диск переменной толщины (рис.1). Дифференциальное уравнение теплообмена для такого диска в предположении, что температура изменяется только по радиусу, имеет вид:
Рис.1. Профили дисков.
Введем безразмерные параметры:
Таким образом, задача термоупругости для диска произвольного профиля описывается уравнением (3) и граничными условиями (5). Заметим, что уравнение (3) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами.
- Напряженное состояние неравномерно нагретого вращающегося диска. Рассмотрим тонкий изотропный диск переменной толщины, находящейся в температурном поле, изменяющемся по радиусу и вращающийся с угловой скоростью ω (рис.1). Предположим, что модуль упругости Е и коэффициент линейного расширения α зависят от температуры. Запишем систему уравнений теории упругости для данной задачи:
Тогда уравнение (11) преобразуется следующим образом:
- Численная реализация. Полученные в предыдущих разделах разрешающие уравнения для дисков турбомашин произвольного профиля являются дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами. Как указывалось выше решение таких уравнений в общем случае весьма проблематично. В связи с этим для решения указанных уравнений (либо систем уравнений) используются численные методы [7, 8].
В силу линейности рассматриваемых краевых задач для их решения используется обычный метод сведения краевой задачи к ряду задач Коши [7, 8], каждая из которых решается одним из численных методов типа Рунге-Кутта, Адамса-Штермера и др. [7, 8].
Задача Коши для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений записывается в виде:
Такая форма записи задачи Коши является канонической для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. К ней могут быть приведены как любые другие формы представления систем дифференциальных уравнений, разрешенных относительно старших производных, так и дифференциальные уравнения высших порядков. Приведение дифференциальных уравнений высших порядков к нормальной системе дифференциальных уравнений осуществляется по следующей схеме. Рассмотрим задачу Коши следующего вида:
Для решения такой задачи Коши используются те же методы, что для обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Это обуславливается тем, что матричная форма записи задачи Коши для нормальной системы полностью совпадает с ее формулировкой для этих уравнений. Аналогична для нее теорема о существовании единственного решения. Единственным отличием здесь является то, что вместо функций 
используются вектор-функции y и f, состоящие из n функций 
и 
схемы методов оценки их погрешностей сохраняются.
Библиотека MATLAB включают несколько функций, реализующих различные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ode, ordinary differential equations). Синтаксически эти функции различаются лишь именами (точнее говоря, алфавитно-цифровыми добавками к символам ode), способ обращения к ним одинаков. Эти функции используют методы различного порядка. Так, в функции ode45 используют явный метод Рунге-Кутта 4-го и 5-го порядков в модификации Дорманда и Принца.
Изменение толщины диска по радиусу показано на рис.1. Коэффициенты (4) представляются интерполяционными полиномами Лагранжа.
На рис.2, приводятся результаты расчетов, показано распределение температуры и градиента температуры в диске.
Рис.2. Распределение температуры по радиусу диска.
Пример 2 расчета. Исследуем диск из органического стекла СТ-1 в ориентированном состоянии. Изменение толщины диска по радиусу изображено на рис.1, б. Изменение температуры, коэффициента линейного расширения и модуля упругости показано на рис.3.
Рис.3. Изменение температуры, модуля упругости материала и коэффициента теплового расширения по радиусу диска.
Коэффициенты (14) представляем степенными полиномами по методу наименьших квадратов. Рассмотрим два случая определения напряжений в диске: а) с учетом зависимости модуля упругости от температуры (рис.3); б) при постоянном значении модуля упругости, равном E0.
Рис.4. Радиальные и окружные напряжения: а) – расчет с учетом зависимости модуля упругости от температуры; б) – то же без учета зависимости.
На рис.4 приведены графики изменения соответственно радиальных и окружных напряжений для обоих случаев. Как следует из результатов расчета, величина погрешности в измерениях напряжений из-за неучета зависимости модуля упругости от температуры достигает для радиальных напряжений 25%, для окружных – 75%.
Литература
- Meissner E. Über Elastizität und Festigkeit dünner shalen. – Vierteeljahrschrift der Naturforschender Gesellschaft in Zürich, Bd.60, 1915, s.23-47.
- Honegger E. Festigkeits Berechnung von Keqelschalen mit linear veränderlich Wangstärke. – Lüzern, Promotionsarbeit, 1919.
- Коваленко А.Д. Пластины и оболочки в роторах турбомашин. – Киев: Изд-во АН УССР, 1955. – 303 с.
- Григоренко Я.М. Рекурентнi спiввiдношення для логарифмiчних розв’язкiв в задачi про згин круглих пластин. – Прикладна механiка, 1957, том 3, №4, с.407-408.
- Пухлий В.А. К расчету сопряженных оболочек переменной жесткости. — Прикладная механика, 1989, том 25, №11, с.31-37.
- Матковский К.А. Вентиляторы для электропечей. – В сб.: Повышение эффективности вентиляторных установок. – М.: Изд-во МДНТП, 1982, с.141-145.
- Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003. – 632 с.
- Мэтьюз Джон Финк Куртис. Численные методы. Использование MATLAB: Пер. с англ.: М.: Изд-во «Вильямс», 2001. – 720 с.[schema type=»book» name=»РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ НЕРАВНОМЕРНО НАГРЕТОГО ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ДИСКА ТУРБОМАШИН» description=»Приведено решение задачи термоупругости неравномерно нагретых вращающихся дисков осевых и центробежных турбомашин при переменных физико-механических ха-рактеристиках. Для решения задачи используются численные методы. Приводится резуль-таты расчетов.» author=»Лепеха Ольга Григорьевна» publisher=»БАСАРАНОВИЧ ЕКАТЕРИНА» pubdate=»2016-12-27″ edition=»euroasia-science.ru_26-27.02.2016_2(23)» ebook=»yes» ]