В данной работе предлагается рассмотреть динамику процесса построения квазикристаллического покрытия на примере мозаики Пенроуза [1, 2], которая является моделью пентасимметричного квазикристалла.
Анализируя паркет Пенроуза, можно ввести три типа алфавитов, которые образуют иерархическую систему (рис.1). Первый уровень составляет пара «золотых» треугольников Робинсона – это элементарный символьный уровень (рис.1а). Второй уровень составляет пара «золотых» ромбов – это бислоговый уровень алфавита (рис.1б). Третий, более высокий уровень алфавита – пара декагонов, звездчатый – S и дорзальный – D. Этот уровень естественно считать фразеологическим, поскольку он представляет блок из десяти слогов (рис.1в,г).
Рисунок 1. Три уровня алфавита (а-г), типы контактов на третьем уровне алфавита (д-ж) с выделенными дефектами
Как отмечает Пенроуз [1, 2], задача разбиения или замощения плоскости R2 парой «золотых» ромбов относится к нерекурсивной математике. Можно обратиться к работам [3, 4], которые достаточно подробно обсуждают проблему центрального дефекта при построении покрытия. Если работать на фразеологическом, блочном уровне алфавита, то задача разбиения плоскости R2 будет выглядеть проще и не приведет к вышеупомянутым проблемам. При этом допускается нетривиальная алгебра соединения S- и D-декагонов, в которой могут быть некоторые пересечения, или дефекты (рис.1д-ж).
Процедурой построения декагонального паркета Пенроуза является так называемый морфогенетический синтез на {S; D} алфавите. Наша трактовка понятия морфогенеза достаточно сильно коррелирует с понятиями и формализмом монографии [5]. В основе морфогенеза всегда лежит некоторый стартовый ген, в данном случае S-декагон. Механизм редупликации выглядит как система волновых фронтов, состоящая из символов {S; D} алфавита (рис.2).
Видна значительная вариабельность, которая, по нашему мнению, связана с высоким уровнем хаотичности, порождённой декагональной геометрией сопряжения. Последнему утверждению есть некоторое обоснование. Если бы первичный алфавит {S; D} использовался случайным способом, согласно его вероятностной структуре, то пришли к существенно ненулевой вероятности p(SS). Но это запрещено логикой формирования декагонального паркета (рис.1). С другой стороны, есть значительная вариабельность оценок периода нулей. Тогда остается признать существенно хаотический способ построения паркета Пенроуза [6, 7].
На каждом морфогенетическом фронте (исключая первый), наблюдаются тангенциальные «фразы» вида {SDi≤4}, которые можно назвать мотивами. Повторяющийся, самоподобный характер мотивов даёт возможность использовать теорию перечисления [8] (при этом перечисляющие структуры имеют две степени свободы – длину «фраз» и число повторений каждой «фразы» на данном уровне). А в дальнейшем перейти от перечисляющих структур к распределениям и сверткам энтропийного типа от них [9-14].
Интересный вывод состоит в том, что линейный морфогенетический фронт вовсе не является линейным. Несмотря на монолинейную конструкцию тьюринговского типа, он обладает фрактальной размерностью, превышающей его топологическую размерность, равную единице.
Для дальнейшего обсуждения фрактальности проведем исследование свойств хаотического аттрактора, если таковой существует. Исходя из концепции динамического хаоса [6, 7, 16], необходимо построить соответствующее фазовое пространство и провести анализ фазовой траектории с целью установления типа аттрактора. Далее оценивается фрактальная размерность аттрактивного множества [6, 7, 16]. По нашему мнению, здесь следует применить подход функции Радона [15], и образовать энтропии от соответствующих степеней свободы перечисляющих структур [8]. Данные энтропии и будут обобщенными координатами.
Рисунок 5. Фазовая траектория процесса в осях
Данное аттрактивное множество (рис.5) имеет два ядра. Причем верхнее правое ядро соответствует нестационарному режиму в начальной стадии морфогенеза. Затем с увеличением этажности иерархии появляется компактный левый нижний кластер, как и положено аттрактору. Обоим подмножествам соответствует одинаковое значение отношения , которое указывает на некоторый теоретико-информационный инвариант.
Данный сложный аттрактор можно отнести к категории «странных». Аттрактивное множество обладает некоторой тонкой структурой, состоящей из трех подкластеров. Любопытным является существование точки барицентра с координатами (ln2; 0,8).
Понятие барицентра существует не для всех аттракторов. При диагностике типа аттрактивности задача стоит в установлении характера стремления фазовой траектории в окрестности барицентра (рис.6).
Рисунок 6. Расстояния от точек Радоновой траектории до барицентра аттрактора в евклидовой топологии
На рис.6 четко видны три этапа поведения фазовой траектории относительно барицентра. Ветвь номеров «2-6» является восходящей в целом, имеет логарифмическую среднюю тенденцию.
На этапе «6-8» наблюдается резкое спонтанное снижение графика зависимости, что говорит о том, что на этих значениях фронтов морфогенеза наблюдается сильное флуктуационное притяжение к барицентру. Именно этот участок и этот эффект мы назвали «фазовым переходом». Поясним основания, которые имеет этот термин.
Если проанализировать рис.2, то ранние этапы морфогенеза обладают пентагональной топологией с 1 по 5 уровни включительно, а далее скачком, спонтанно меняется тип симметрии с 5 на 10. Нетрудно установить правила перехода:
а) Каждая вершина пентагона отображается в новое ребро декагона;
б) Каждое ребро пентагона индуцирует параллельное ребро декагональной симметрии.
Указанные признаки позволяют сделать вывод, что мы имеем дело со спонтанным нарушением симметрии 5®10. Это в чистом виде переход симметрийного типа в смысле Ландау.
Третий этап «9®19®¥» соответствует осцилляторно-волновому поведению траектории Радона в фазовом пространстве. Данный этап, соответствующий плотному кластеру (рис.5), характеризуется фокусным типом аттрактора. Однако, осцилляции «9-19» уровней не имеют тенденции к затуханию, и такая особенность может иметь цикловый характер.
Тогда данное осцилляторно-волновое поведение эквивалентно автоколебательному, автоволновому процессу, к которому по фокусному сценарию стремятся сильные осцилляции ранних этапов. Фактически, устанавливается авторежим, ритм. Именно в этом режиме и функционирует морфогенез.
В обычном координатном пространстве морфогенетические фронты распространяются от затравочного гена к бесконечности. С «аттрактивных» позиций распространение от центра к периферии происходит потому, что бесконечный горизонт как раз и является аттрактором, к которому стремятся все морфогенетические фронты. С точки зрения статистической термодинамики, морфогенез, несмотря на квазиволновой характер, также имеет специфические черты процессов тепловой релаксации.
ВЫВОДЫ
Фрактальность паркета Пенроуза связана со значением фрактальной размерности хаотического аттрактора, который описывает процедуру морфогенеза в фазовой плоскости в координатах 
. Таким образом, несмотря на кажущуюся линейность морфогенетических фронтов, они на самом деле является «сверхлинейными».
Это обстоятельство подтверждает структура хаотического аттрактора, состоящего из трех этапов. Первый этап соответствует нестационарному этапу процесса морфогенеза. На втором этапе имеют место сильные флуктуации, указывающие на изменение симметрии фронтов. На третьем этапе система переходит в установившийся режим, и на фазовой плоскости появляется циклический аттрактор, соответствующий авторежиму.
Работа выполнена при поддержке ДВФУ, проект № 14-08-03-37_и.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Penrose, Bull. Inst. Math. Applic. 10, 266 (1974).
- Penrose The Emperor’s New Mind (Oxford University Press, Oxford, 1989).
- Y. Onoda, P. J. Steinhardt, D. P. DiVincenzo, and J.E.S. Socolar, Phys. Rev. Lett. 60, 2653 (1988).
- -C. Jeong, Phys. Rev. Lett. 98, 135501 (2007).
- Ebeling, A. Engel, R. Feistel Physik der Evolutionsprozesse (Akademie-Verlag, Berlin, 1990).
- M. Zaslavsky, R. Z. Sagdeev, D. A. Usikov, Uspekhi Fizicheskikh Nauk 156, 193 (1988).
- S. Akhromeeva, S. P. Kurdyumov, G. G. Malinetskiy, A. A. Samarskiy Nonstationary Structures and Diffusional Chaos (Nauka, Moscow, 1992) (in Russian).
- Harari and E. M. Palmer Graphical Enumeration (Academic Press, New York, 1973).
- V. Yudin, T. A. Pisarenko, and E. A. Lyubchenko Informodynamics of Network Structures (Far-East Federal University, Vladivostok, 2003) (in Russian).
- V. Yudin, P. L. Titov, A. N. Mikhalyuk, Bulletin of the RAS 73, 1269 (2009).
- V. Yudin, P. L. Titov, A. N. Mikhalyuk, Theoretical and Mathematical Physics 164, 905 (2010).
- Mihalyuk, P. Titov, V. Yudin, Physica A 389, 4127 (2010).
- V. Yudin and Yu. A. Karygina, Crystallogr. Rep. 46, 922 (2001).
- V. Yudin, T. A. Pisarenko, E. A. Lyubchenko, O. A. Chudnova, and Yu. A. Karygina, Crystallogr. Rep. 47, 189 (2002).
- E. Edwards Functional Analysis. Theory and Applications (Holt, Rinehart and Winston, New York, 1965).
- M. Crownover Introduction to Fractals and Chaos (Jones and Bartlett Publishers, Boston, 1995).[schema type=»book» name=»ФРАКТАЛЬНОСТЬ ПРОЦЕДУРЫ РОСТА КВАЗИКРИСТАЛЛИЧЕСКОГО ПАРКЕТА ПЕНРОУЗА» author=»Титов Павел Леонидович, Щеголева Светлана Анатольевна, Овсянников Артур Сергеевич» publisher=»БАСАРАНОВИЧ ЕКАТЕРИНА» pubdate=»2017-06-13″ edition=»ЕВРАЗИЙСКИЙ СОЮЗ УЧЕНЫХ_ 30.12.2014_12(09)» ebook=»yes» ]