Введение
Одна из причин разработки основ классической теории электромагнетизма на базе шестимерного пространства-времени связана с попыткой построения единой геометрической теории гравитации и электромагнетизма на базе шестимерного пространства-времени сигнатуры (—+++). Структура такого пространства частично отражает некоторые свойства структур пространств Вейля[1] и Финслера [2], [3]. Такое пространство c метрикой — произвольное векторное поле, в дальнейшем называемое векторным потенциалом, — метрический тензор Римана, впервые было введено в работе [4] и названо RVF пространством. Там же было показано, что содержательную единую геометрическую теорию гравитации и электромагнетизма можно построить на основе RVF пространства размерности не менее шести. В работе [5], в рамках шестимерной модели электродинамики с двумя дополнительными измерениями, была построена геометрическая модель точечного электрического заряда. Было показано, что плотность электрического заряда определяется как дивергенция от пятой и шестой компоненты вектора плотности напряженности электрического поля. Само электрическое поле возникает в результате циркуляции компонент векторного потенциала A(x) во временном подпространстве вокруг временной оси со скоростью света. В рамках рассмотренной модели, все эти утверждения следуют из решения системы уравнений шестимерной электродинамики, включающими в себя уравнения Максвелла. Однако эти уравнения были выведены в работе[5] только для случая покоящегося электрического заряда. В предлагаемой работе уравнения шестимерной электродинамики выводятся для достаточно широкого класса токов. Показывается, что эти токи связаны с элементами локальных групп собственных движений метрики Минковского четырехмерного пространства и только для этого класса токов уравнения электродинамики адекватно описывают электромагнитные процессы.
- Вывод уравнений Максвелла в случае равномерно и прямолинейно текущих токов.
В работе [5], в рамках шестимерной электродинамики, были выведены уравнения Максвелла, не содержащие токов, относительно некоторой псевдоевклидовой системы координат. Для того чтобы получить уравнения Максвелла, содержащие токи, сначала рассмотрим один конкретный пример построения уравнений Максвелла с равномерно и прямолинейно текущим током.
Для получения этих уравнений достаточно перейти из системы координат , относительно которой заряд покоится, в некоторую другую систему путем псевдо ортогонального поворота, относительно которой заряд движется прямолинейно с постоянной скоростью. Физически это означает, что осуществляется переход в инерциальную систему отсчета, движущуюся равномерно и прямолинейно относительно исходной, например, вдоль оси . Преобразования Лоренца, осуществляющие такой переход, имеют вид
(2)
Как видно из формулы (2), преобразованный тензорсодержит две дополнительные компоненты отличные от нуля, по сравнению с тензором вида (1). Пусть
Так как при псевдоортогональном преобразовании псевдоевклидова метрика остается инвариантной, то для контравариантного тензора получаем следующее представление
Существуют еще два уравнения , которые дают важную дополнительную информацию о механизме образования электрического заряда [5], однако не представляющие непосредственного интереса для целей, заявленных в настоящей работе.
Рассмотренный пример показывает, что каждому собственному линейному преобразованию из группы Лоренца, являющейся линейной группой собственных движений метрики Минковского, ставится в соответствие некоторый линейный ток из класса всех прямолинейно и равномерно текущих токов. Этот класс токов инвариантен относительно преобразований из группы Лоренца.
Возникает вопрос, существуют ли какие-то другие группы преобразований координат, представляющие собой группы собственных движений псевдоевклидовой метрики, действующие не на всем пространстве в целом, как это имеет место в случае группы Лоренца, а только локально на определенных классах траекторий.
- Группы локальных собственных движений метрики Минковского и допустимые классы токов.
Пусть в некоторой окрестности фиксированной точки n-мерного псевдоевклидова пространства с координатами задано локальное преобразование дифференциалов координат тогда псевдоевклидова метрика в новой системе координат, в окрестности заданной точки, принимает вид .
Определение 1. Локальное преобразование дифференциалов координат в окрестности заданной точки, оставляющее инвариантной псевдоевклидову метрику, будем называть локальным собственным движением псевдоевклидовой метрики.
Всевозможные собственные локальные преобразования координат в окрестности заданной точки образуют группу локальных собственных движений псевдоевклидовой метрики. В силу нелинейного характера преобразований они, вообще говоря, могут оказаться неинтегрируемыми. Более того, возникает вопрос о существовании таких групп нелинейных локальных движений в принципе. Оставляя пока этот вопрос в стороне, перейдем к установлению связи между элементами групп локальных движений и допустимыми классами токов, удовлетворяющих уравнению Максвелла.
Пусть в окрестности некоторой точки шестимерного псевдоевклидова пространства задана псевдоевклидова система координат и некоторая локальная система , допускающая существование невырожденной матрицы Якоби и пусть в системе координат задан тензор вида (1). Задание такого тензора в рамках четырехмерной электродинамики Максвелла означает отсутствие токов в системе. Перейдем в локальную штрихованную систему координат. Компоненты электромагнитного тензора в штрихованной системе координат принимают следующий вид
(7)
Введем, как и выше, стандартные обозначения
.
Потребуем, чтобы локальное преобразование координат являлось локальным движением псевдоевклидовой метрики шестимерного пространства, точнее являлось бы элементом группы локальных собственных движений метрики четырехмерного подпространства Минковского. Такая группа совпадает с группой локальных собственных преобразований дифференциалов координат , т.е.
(8)
Перейдем теперь к выводу первой пары уравнений Максвелла (5),(6). Контравариантный тензор в локальной штрихованной системе координат будет иметь следующий вид
Последние два уравнения системы (10) эквивалентны следующим
Последние два уравнения, дают важную дополнительную информацию о связи между компонентами электромагнитного тензора , однако они не представляют непосредственного интереса для целей, заявленных в данной работе, и поэтому здесь рассматриваться не будут.
Итак, система уравнений (10) шестимерной электродинамики, в рамках рассматриваемой модели, инвариантна относительно любых локальных псевдоортогональных преобразований координат и эквивалентна первой паре уравнений Максвелла и дополнительной системе из двух уравнений (13).
Отметим, что трехмерный вектор тока J‘, входящий в первое уравнение Максвелла системы (10), полностью определяется видом локального псевдоортогонального преобразования, согласно формуле
(14)
Таким образом, каждый допустимый ток, входящий в первое уравнение Максвелла из системы (10), определяется некоторым элементом группы локальных собственных движений метрики Минковского, согласно формуле (14). Все сказанное выше можно сформулировать в виде следующего результата
Теорема. Уравнения Максвелла инвариантны относительно любых локальных собственных движений метрики Минковского. Класс допустимых токов, удовлетворяющих уравнениям Максвелла, полностью определяются группой локальных собственных движений метрики Минковского.
Из теоремы следует, что чем шире группа локальных собственных движений метрики Минковского, тем больше класс допустимых токов, удовлетворяющих уравнению Максвелла, и тем шире область применения электродинамики Максвелла. Действительно, если группа локальных собственных движений ограничивалась бы только преобразованиями Лоренца, то уравнения Максвелла были бы строго справедливыми только лишь в случае равномерно и прямолинейно текущих токов. На это обстоятельство в свое время указывал еще Паули [6]. Открытым остается вопрос о существовании групп локальных собственных движений метрики Минковского отличных от группы Лоренца.
3.Пример нелинейной группы локальных собственных движений метрики Минковского.
Произвольное собственное вращение трехмерного псевдоевклидова пространства , т.е. произвольное ортогональное или псевдоортогональное преобразование, оставляющее неподвижным начало координат, может быть разложено на три вращения в плоскостях , и одно вращение в самом пространстве , которое не сводится ни к одному из предыдущих. Первое вращение преобразует пространственные координаты x¹, x² и соответствует обычным пространственным вращениям. Второе и третье вращения действуют в псевдоевклидовых плоскостях и соответствуют собственным преобразованиям Лоренца. Перейдем к рассмотрению четвертого вращения в . Искомое вращение должно оставлять инвариантной дифференциальную квадратичную форму
(15)
или эквивалентную ей форму, записанную в полярных координатах
, (16)
где .
Пусть дифференциалы координат 
точки с координатами подвергаются преобразованию вида
(17)
где ω ‑ угловая скорость вращения окружности радиуса r в плоскости относительно начала координат, . Нетрудно видеть, что преобразование координат (17), оставляющее инвариантной форму (16), является элементом искомой группы локальных собственных движений метрики Минковского. Если вернуться в псевдоевклидову систему координат , то преобразования (17) будут эквивалентны следующим нелинейным преобразованиям
Преобразования (18) оставляют инвариантной дифференциальную квадратичную форму (15) и поэтому являются локальными собственными движениями метрики Минковского. Такая группа впервые была введена в [7].
- Заключение
В предложенной модели шестимерной электродинамики, как было показано в работе, достаточно естественно выводятся из геометрических соображений основные уравнения электродинамики, содержащие токи. Показано, что уравнения Максвелла оказываются инвариантны относительно группы локальных собственных движений метрики Минковского, которая шире чем группа Лоренца. Важно отметить, что между допустимыми токами, входящими в уравнения Максвелла и локальными собственными движениями метрики Минковского была установлена взаимно однозначная связь. Попытка распространения полученных результатов на произвольные токи приводит к изменению вида уравнений Максвелла. Это означает, что уравнения Максвелла оказываются справедливыми не для произвольных токов, как это принято считать в настоящее время, а только лишь для некоторого класса токов, определяемого максимальной локальной группой собственных движений метрики Минковского. Уравнения Максвелла оказываются инвариантными относительно этой группы преобразований. Важно отметить, что электрические заряды и токи сами по себе не являются фундаментальными объектами реального мира, а порождаются компонентами электромагнитного тензора, принадлежащими временному подпространству. Сам электромагнитный тензор индуцируется видом метрики RVF пространства, т.е. имеет чисто геометрическое происхождение.
Список литературы:
- Г.Вейль. Гравитация электричество. Сборник « Альберт Эйнштейн и теория гравитации» Мир, М., 1979, с. 513-527.
- Х. Рунд. Дифференциальная геометрия финслеровых пространств. М., Наука, 1981, 504 с.
- Г.И. Герасько. Начала финслеровой геометрии для физиков. М., ТЕТРУ, 2009, 268 с.
- Н.Н. Попов. Геометрическая модель гравитации и электромагнетизма в шестимерном пространстве-времени. ХХIII Международная конференция. Актуальные проблемы в современной науке. Россия, Москва, №23, 26-27 февраля, 2016. ISSN 2413-9335.
- Н.Н. Попов. Геометрическая модель электромагнетизма в шестимерном пространстве-времени. ХХV Международная конференция. Актуальные проблемы в современной науке. Россия, Москва, №25, 28-29 апреля, 2016. ISSN
- В. Паули. Теория относительности. Москва, Наука, 1983, 336 с.
- N.N. Popov. The complementary group of proper motions of the Minkowski metric. TWMS Journal of Pure and Applied Mathematics. Vol.3, No.1, 2012, p.103-110.[schema type=»book» name=»УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТИЗМА В ШЕСТИМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ (ЧАСТЬ II)» description=»В рамках шестимерного псевдоевклидова пространства сигнатуры (—+++) вводится система ковариантных уравнений электромагнетизма. Показывается, что между элементами группы локальных собственных движений метрики Минковского и допустимыми токами, входящими в уравнения Максвелла, существует однозначная связь.» author=»Попов Николай Николаевич» publisher=»Басаранович Екатерина» pubdate=»2016-12-14″ edition=»euroasia-science_6(27)_23.06.2016″ ebook=»yes» ]