Математическая модель
В качестве математической модели широкоапертурного лазера использовалась полная полуклассическая система уравнений Максвелла-Блоха в частных производных. Она описывает динамику оптического поля во времени в поперечном сечении выходного пучка с учётом отстройки частоты генерации от центра линии усиления для лазера, работающего на одной продольной моде плоскопараллельного резонатора и имеющего однородно уширенную линию:
Мы рассматривали процессы в области нулевой отстройки в одномерном приближении. Для численного моделирования системы (1) использовался псевдоспектральный Фурье-метод расщепления по физическим факторам. Для анализа получаемых режимов мы строили фазовые траектории в трехмерном фазовом пространстве: |E|, |P| и dI, где dI – это производная интенсивности по времени. Вместо dI также можно использовать любую другую квадратичную величину, например, EP* + E*P. Кроме того, мы анализировали сечения Пуанкаре, спектр мощности, пространственный спектр интенсивности и временные ряды в произвольной локальной точке, поскольку динамика в различных точках одинакова.
С точки зрения нелинейной динамики рассматриваемой системы особый интерес представляет спектр ЛХП. Однако поскольку расчет всего спектра в случае распределенной системы является весьма трудоемкой задачей [7, с. 93-112], в данной работе мы ограничились вычислением старшего Ляпуновского показателя. Для этого была получена линеаризованная система уравнений для вариаций:
Второго лазерного порога стационарное решение теряет устойчивость по отношению к малым возмущениям с некоторым ненулевым волновым числом.
В таком случае система переходит в режим периодических одночастотных колебаний. Происходит бифуркация Андронова-Хопфа, в фазовом пространстве рождается инвариантная кривая. В дальнем поле можно увидеть два максимума, один из них располагается на оптической оси, а другой – вне её. В пространственном профиле интенсивности наблюдается модуляция с некоторым конечным волновым числом. С помощью линейного анализа можно показать, что это волновое число равно тому, для которого инкремент нарастания возмущения был максимальным при рассмотрении устойчивости однородного решения. Сечение Пуанкаре для аттрактора при данных параметрах, очевидно, представляет собой точку. Спектр колебаний состоит из одной независимой гармоники.
Приблизительно при значении накачки r=168.9 в системе происходит бифуркация Неймарка-Сакера, и аттрактор обретает форму двумерного тора (рис. 1, a). Колебания интенсивности в локальных точках становятся двухчастотными. В сечениях Пуанкаре можно увидеть замкнутые кривые, напоминающие деформированные окружности (рис. 1, б). В спектре колебаний появляется вторая несоизмеримая частота, а также множество комбинационных.
Рисунок 1. Двухчастотный тор (а) и его сечение Пуанкаре (б)
При дальнейшем увеличении накачки в области значений r=172.1 в системе происходит квазипериодическая бифуркация Хопфа, рождается трехчастотный тор. На сечениях Пуанкаре наблюдаются изображения в виде двумерных проекций трехмерного тора (рис. 2). На графике зависимости интенсивности от времени появляются трехчастотные колебания. В спектре колебаний появляется третья несоизмеримая частота.
Рисунок 2. Сечение Пуанкаре трехчастотного тора
В области накачек r=177.5 происходит седло-узловая бифуркация, и размерность тора понижается. На сечениях Пуанкаре наблюдаются кривые достаточно сложной формы (рис. 3), соответствующие резонансным двухчастотным торам аналогично [3, с. 387-405]. Спектр колебаний при этом меняет структуру и имеет две несоизмеримых частоты. Кроме того, в резонансной области происходят бифуркации удвоения. При больших накачках торы разрушаются с возникновением хаоса.
Рисунок 3. Сечение Пуанкаре при дальнейшем увеличении параметра накачки
Заключение
Был рассмотрен сценарий развития динамики в распределенной модели широкоапертурного лазера на основе уравнений Максвелла-Блоха в одномерном приближении. В качестве управляющего параметра был выбран параметр накачки. Показано, что при увеличении накачки выше первого лазерного порога в системе реализуется устойчивое решение в виде однородной по пространству стационарной генерации. Однако при дальнейшем увеличении накачки в результате бифуркации Хопфа однородное решение теряет устойчивость, и аттрактором в системе становится предельный цикл. Далее повышение накачки приводит к бифуркации Неймарка-Сакера рождения двухчастотного инвариантного тора. Далее происходит квазипериодическая бифуркация Хопфа, когда из двухчастотного тора мягким образом возникает трехчастотный тор. И, наконец, в результате седло-узловой бифуркации, размерность тора понижается. Дальнейшее увеличение накачки в резонансной области, аналогично тому, как было описано в работе [3, с. 387-405], сопровождается бифуркациями удвоения периода.
Несмотря на то, что такие режимы трудно достижимы экспериментально, полученный результат является важным вкладом в развитие нелинейной динамики распределённых систем. Предложена простая модель, в рамках которой можно исследовать бифуркацию с рождением многочастотных торов в распределенных автономных моделях.
Работа частично поддержана Минобрнауки РФ в рамках Программы повышения конкурентоспособности СГАУ на 2013–2020 гг. и Государственного задания вузам и научным организациям в сфере научной деятельности, проект 1451, НИР №ГР 114091840046, грантом РФФИ 14-02-31419 мол_a.
Список литературы:
- Кузнецов А.П., Станкевич Н.В. Синхронизация генераторов квазипериодических колебаний // Нелинейная динамика. 2013. Т. 9. № 3. С. 409–419.
- Кузнецов А.П., Тюрюкина Л.В., Сатаев И.Р., Чернышов Н.Ю. Синхронизация и многочастотные колебания в низкоразмерных ансамблях осцилляторов // Известия вузов «Прикладная нелинейная динамика», т. 22, № 1, 2014. С. 27-54.
- Кузнецов А.П., Мигунова Н.А., Сатаев И.Р., Седова Ю.В., Тюрюкина Л.В. Динамика связанных хаотических осцилляторов: от хаоса к квазипериодичности // Нелинейная динамика. 2014. Т. 10. № 4. С. 387–405.
- Кренц А.А., Молевич Н.Е. Каскад бифуркаций удвоения тора в лазере с отстройкой частоты // Квантовая электроника, 2009, т. 39, 751-756.
- Кузнецов С.П. Динамический хаос // М.: Физматлит, 2006. 355 с.
- Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. Механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах // М.: Изд. группа URSS, 2009. С. 320.
- Купцов П.В. Вычисление показателей Ляпунова для распределенных систем: преимущества и недостатки различных численных методов // Известия вузов «Прикладная нелинейная динамика», т. 18, № 5, 2010. С. 93–112.[schema type=»book» name=»РОЖДЕНИЕ МНОГОЧАСТОТНЫХ ТОРОВ В МОДЕЛИ ШИРОКОАПЕРТУРНОГО ЛАЗЕРА» description=»Одним из интересных направлений теории нелинейных динамических систем является исследование сценариев эволюции поведения в сложных системах, таких как лазеры. Ранее не сообщалось о бифуркациях квазипериодических режимов в лазерах. В данной работе рассматривается распределенная модель широкоапертурного лазера на основе уравнений Максвелла-Блоха в одномерном приближении. С помощью численного моделирования показано, что при увеличении накачки в системе происходит серия бифуркаций периодического и квазипериодического динамических режимов, в результате которых возможно наблюдение аттракторов в виде трехчастотных торов.» author=»Кренц Антон Анатольевич, Анчиков Дмитрий Александрович, Шакиров Антон Рафитович» publisher=»БАСАРАНОВИЧ ЕКАТЕРИНА» pubdate=»2017-02-01″ edition=»ЕВРАЗИЙСКИЙ СОЮЗ УЧЕНЫХ_26.09.15_10(18)» ebook=»yes» ]