- Предпосылки к выполнению работы
Теория оптимального управления включает в себя методы, при помощи которых можно достичь максимального значения критерия качества посредством определенной организации управления, воздействующего на управляемый процесс.
Следует подчеркнуть, что совокупность методов теории оптимального управления является очень гибким инструментом в плане охвата областей, в которых ее можно применить, так как задачи управления возникают в экономике, в физике и в других науках.
Примером задачи оптимального управления в физике может являться поиск оптимальной траектории полета, которой будет придерживаться искусственный спутник, а в экономике – поиск оптимального плана производства.
Подобные задачи можно решать методами теории оптимального управления с использованием пакетов прикладных программных продуктов, но, к сожалению, во все программные пакеты для научной работы входят стандартные методы, позволяющие решить данные задачи численно, а, как известно, у численного решения есть ряд недостатков, которых нет у аналитического решения. Такими недостатками являются: наличие погрешности и трудоемкость получения решения как для человека, так и для ЭВМ, выраженная пересчетом критерия качества в каждой точке на какой-либо области с заданной величиной шага.
Данная работа направлена на создание программного кода на языке пакета прикладной программы MATLAB для получения аналитического решения ряда задач теории оптимального управления.
- Достаточные условия оптимальности для непрерывных процессов
Объектами применения теории оптимального управления являются управляемые системы, описываемые дифференциальными или конечно-разностными уравнениями соответственно для непрерывных или дискретных процессов. Ниже будем рассматривать только случай непрерывных процессов.
В общем случае задача оптимального управления для непрерывных процессов состоит в отыскании минимума функционала при заданном законе уравнения процесса и начальным условии Коши, то есть:
- Алгоритм решения ряда задач теории оптимального управления, основанный на достаточных условиях оптимальности
Сформулируем пошаговый алгоритм получения аналитического решения задач теории оптимального управления с линейными по управлению и непрерывными процессами:
- Результаты разработки алгоритма решения задач теории оптимального управления на языке MATLAB
Как известно, MATLAB – программная среда для научной работы, имеющая свой встроенный язык программирования. Именно на этом языке программирования в ходе данной работы была написана программа, позволяющая реализовать выше указанный алгоритм. [3],[4]
Так как программный код довольно объемный, ниже приведем только результаты работы программы на примере следующей задачи:
Ввод исходных данных в программу производится путем редактора скрипта программы в виде:
F(x,t,u)=8*(t+1)*x^2+8*t*u*x^2;
PrEq(x,t,u)=x+2+x*u;
t1=0;
t2=4;
x1=3;
x2=8;
umin=-5;
umax=5;
xmax=10;
xmin=2;
Далее после запуска скрипта получим список переменных, содержащих в себе информацию, как о промежуточных действиях, так и о результате решения задачи (рис. 1).
Рис. 1. Результаты работы программы
Далее, чтобы получить , следует вызвать в рабочую область программы переменные xOptim, uOptim, t (рис. 2).
Рис. 2. Получение оптимальных значений x(t), u(t).
Из полученных результатов работы программы следует, что:
- Заключение
В результате проделанной работы был получен программный код для среды MATLAB, позволяющий получать аналитические решения задач теории оптимального управления с непрерывными и линейными по управлению процессами. Отметим также, что его можно использовать не только к данному классу задач, а еще к классу задач, сводимых к данному, путем различных замен.
Таким образом, полученный код можно использовать для оптимизации различного рода процессов как экономических, так и технических, что позволит получить максимум эффективности при различных ограничениях на управление и состояние системы.
Список литературы
- Лагоша Б.А., Апалькова Т. Г. Оптимальное управление в экономике: теория и приложения. М.: Финансы и статистика, 2008. 224 с.
- Кротов В. Ф., Лагоша Б. А., Лобанов С. М., Данилина Н. И., Сергеев С. И. Основы теории оптимального управления, М.: Высшая школа, 1990. 430 с.
- Дьяконов В., Круглов В. MATLAB. Анализ, идентификация и моделирование систем. С.Пб.: Питер, 2001. — 448 c.
- Мулкиджанян М. В., Романников А. Н. Моделирование нерегулируемого перекрестка и оптимизация его работы // 21 век: фундаментальная наука и технологии. Материалы V международной научно-практической конференции. North Charleston, USA: 2014. Т. 3. С. 195-197.[schema type=»book» name=»РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ В СРЕДЕ MATLAB» description=»В работе решена задача оптимального управления с использованием пакета прикладной программы MATLAB. Рассматриваются непрерывные и линейные по управлению процессы. Получены аналитические выражения оптимальных значений функций состояния и управления процессами, приводящих к оптимальному значению функционала.» author=»Мулкиджанян Михаил Вартанович, Геворкян Эдуард Аршавирович» publisher=»БАСАРАНОВИЧ ЕКАТЕРИНА» pubdate=»2017-01-24″ edition=»ЕВРАЗИЙСКИЙ СОЮЗ УЧЕНЫХ_31.10.15_10(19)» ebook=»yes» ]