Link slot gacor adalah pilihan unggulan untuk menikmatislot gacordengan fitur modern, RTP tinggi, dan kesempatan meraih maxwin setiap hari. Temukan keseruan bermainslot onlineserver Thailand yang terkenal stabil dan gacor di tahun 2025. Proses deposit instan memudahkan kamu menjajalslot qrisdengan RTP menguntungkan di IJP88. Saksikan juga serunyastreaming boladalam kualitas tinggi dan koneksi anti-lag di setiap pertandingan. Jangan lewatkan jugaslot gacor terbaruuntuk update game dan promo terkini dari situs terpercaya. Kamu juga bisa cobasitus slot gacordengan koleksi game lengkap dan RTP tinggi. Jangan lupa nikmati juga slot gacor maxwin yang bisa jadi pilihan utama di antara banyak situs populer. Untuk kemudahan transaksi, gunakan layananSlot Danasebagai metode deposit yang cepat dan aman. Coba juga berbagai slot demo gratis untuk latihan dan hiburan tanpa risiko.
К ЗАДАЧЕ О НЕЛИНЕЙНОМ РАСПРОСТРАНЕНИИ ВОЛН В УПРУГОМ СТЕРЖНЕ. | Евразийский Союз Ученых - публикация научных статей в ежемесячном научном журнале
Номер части:
Журнал
ISSN: 2411-6467 (Print)
ISSN: 2413-9335 (Online)
Статьи, опубликованные в журнале, представляется читателям на условиях свободной лицензии CC BY-ND

К ЗАДАЧЕ О НЕЛИНЕЙНОМ РАСПРОСТРАНЕНИИ ВОЛН В УПРУГОМ СТЕРЖНЕ.



Науки и перечень статей вошедших в журнал:
DOI:
Дата публикации статьи в журнале:
Название журнала: Евразийский Союз Ученых — публикация научных статей в ежемесячном научном журнале, Выпуск: , Том: , Страницы в выпуске: -
Данные для цитирования: . К ЗАДАЧЕ О НЕЛИНЕЙНОМ РАСПРОСТРАНЕНИИ ВОЛН В УПРУГОМ СТЕРЖНЕ. // Евразийский Союз Ученых — публикация научных статей в ежемесячном научном журнале. Физико-математические науки. ; ():-.

ВВЕДЕНИЕ:

В работе предлагается нелинейная форма зависимости напряжений в однородном прямолинейном стержне от относительных деформаций, аналогично тому, как это было сделано в [1]. На основании этой зависимости выводится волновое нелинейное уравнение распространения продольных волн в упругом стержне. Получена схема распространения скачка напряжений в стержне. Исследуются случаи распространения волн разгрузки и нагрузки в стержне.

1 — НЕЛИНЕЙНОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ.

При выводе нелинейного волнового уравнения будет использована нелинейная форма зависимости напряжения в стержне от относительных деформаций. Эту зависимость можно получить на основании уравнения состояния воды в форме Тета [2]:

,                                                                        (1.1),

где p, ρ соответственно давление и плотность воды,  начальная плотность и давление воды, соответственно, постоянная  атм; . Вводя переменную  уравнение может быть приведено к виду:

,                                                                        (1.2).

Ниже будет получена нелинейная форма зависимости напряжений в стержне от относительных деформаций, аналогичная формуле (1.2). При получении этой зависимости нам потребуется соотношение для величины относительных деформаций в стержне e(x,t), в зависимости от величины перемещения  u(x,t) точек стержня от некоторого исходного положения смотри рисунок.

Рис 1.

Для линейного закона Гука абсолютная величина напряжений для деформаций растяжения и сжатия одна и таже для равных абсолютных величин относительных деформаций растяжения и сжатия. Распространим это свойство на случай нелинейной зависимости напряжений от деформаций, вводя абсолютную величину относительных деформаций e(x,t) по формуле

                                                              (1.3).

Переходя к пределу в (1.3) при Δx стремящемся к нулю получим e′(x,t величину модуля скорости деформации :

                                                                                      (1.4).

Очевидно, что для малых значений Δx с точностью до малых  имеем:

                                                                                      (1.5).

Очевидно что для деформаций растяжения , а для деформаций сжатия  .

По аналогии с соотношением (1.2) введём нелинейную форму зависимости напряжений  в стержне от величины относительных деформаций :

                                                                                        (1.6),

Здесь  при отсутствии деформаций (e=0).

Очевидно что для малых относительных деформаций e(x,t) из (1.6) получаем линейный закон Гука:

                                                                                                       (1.7),

здесь ρ — плотность стержня,  — модуль Юнга для стержня. Из двух постоянны B и n, произведение которых равно модулю Юнга E, одну можно выбрать таким образом, что бы соотношение (1.7) соответствовало экспериментальным данным. Из соотношения (1.6) получим формулу для квадрата скорости a(x,t) распространений малых возмущений в стержне

                                                                              (1.8).

Для вывода волнового уравнения нелинейного распространения волн в стержне запишем формулу второго закона Ньютона для массы участка струны , рис 1. :

                                                                            (1.9),

Здесь σ площадь поперечного сечения стержня,  и  напряжения на правом и левом конце рассматриваемого участка, соответственно. Запишем формулу Лагранжа конечных приращений для разности ¯ в некоторой точке ξ,  при этом частную производную  вычислим с использованием соотношений (1.6) и (1.5). После проведения элементарных вычислений, с учётом того что e(x,t) =‾  для деформаций сжатия устремляя Δx к нулю из (1.9) получим нелинейное волновое уравнение распространения волн в стержне:

                                                                                 (1.10),

здесь e=. Очевидно, что для случая линейного закона Гука (n=1) из (1.10) получаем известное линейное волновое уравнение.

2-РАСПОСТРАНЕНИЕ ВОЛНЫ РАЗГРУЗКИ В СТЕРНЕ.

Рассмотрим задачу о мгновенном снятии данной нагрузки растяжения с левого конца стержня AA′, который совпадает с началом Ο оси ΟX а правый конец BB′ неподвижно закреплён в вертикальной стенке смотри рис 2.

Рис 2.

 Предполагается, что длина нагруженного стержня равна l, а длина стержня в ненагруженном состоянии равна l0. Очевидно, что:

                                                                    (2.1),

где  площадь поперечного сечения стержня в ненагруженном и нагруженном состоянии соответственно. При мгновенном снятии нагрузки от левого конца стержня к правому побежит волна разгрузки с некоторой постоянной скоростью N>0, на которой испытывают скачок площади поперечных сечений и скорости. Ясно, что скорости частиц стержня перед волной CC′ равны нулю, а слева от неё некоторому постоянному значению ν. Для определения N и ν запишем законы сохранения массы и изменения количества движения на волне CC′ для некоторого интервала времени . Очевидно, что эти законы запишутся в виде соотношений:

                                                                       (2.2),

                                                                                (2.3).

 Из соотношения (2.2) находим  и, подставляя затем это значение  в уравнение (2.3) получим:

                                                                                            (2.4),

Полученное соотношение (2.4) аналогично известному соотношению в газовой динамике для скорости распространения ударной волны  [3]. Примем далее во внимание, что рассматривается случай малых деформаций стержня т.е.

3-РАСПОСТРАНЕНИЕ РАСТЯГИВАЮЩЕЙ ВОЛНЫ НАЗГРУЗКИ В СТЕРНЕ.

Рассмотрим задачу о распространении растягивающей волны нагрузки CC′ под действием приложенного в момент t=0 усилия T к левому концу стержня AA′ начальная длина которого равна  а площадь поперечного сечения . Очевидно, что по заданному значению   определяется по (1.6) можно найти σ,e и конечную длину l растянутого стержня. В рассматриваемом случае справа от волны CC′ распространяющейся по стержню со скоростью N величина скорости частиц, площади поперечного сечения, напряжения скачком меняется от 0, , 0 — соответственно до значений ν, σ, p(σ) слева от волны CC′. Также как и в предыдущем пункте запишем законы сохранения массы и изменения количества движения на волне CC′ на бесконечно малом интервале времени :

Выберем в качестве параметра ε малую деформацию e, тогда

 Вычислим конечную длину растянутого стержня

 Учитывая полученные значения , находим значение   .

Список литературы:

  1. Шарый В.А ,Себельдин А.М., Мансаре В. Европейский союз ученых Москва 27-30 декабря 2014 часть3 стр.11-13.
  1. Гриб А.А., Шарый В.А. «Распространение ударной волны в водоёме с наклонным дном» Вестник ленинградского университета; 1974, №3, 74-81.
  2. Станюкович К.П. «Неустановившиеся движения сплошной среды» Наука, 1971, 854 стр.[schema type=»book» name=»К ЗАДАЧЕ О НЕЛИНЕЙНОМ РАСПРОСТРАНЕНИИ ВОЛН В УПРУГОМ СТЕРЖНЕ.» description=»Предлагается нелинейная форма зависимости напряжений в упругом теле от деформаций. Получено нелинейное волновое уравнение распространения упругих волн в однородном стержне. Рассматриваются задачи о распространении волн разгрузки и нагрузки в стержне.» author=»Шарый Владимир Александрович, Пайков Владимир Иванович» publisher=»Басаранович Екатерина» pubdate=»2016-12-14″ edition=»euroasia-science_6(27)_23.06.2016″ ebook=»yes» ]
Список литературы:


Записи созданы 9819

Похожие записи

Начните вводить, то что вы ищите выше и нажмите кнопку Enter для поиска. Нажмите кнопку ESC для отмены.

Вернуться наверх
404: Not Found404: Not Found
slot gacor slot gacor slot gacorslot gacor slot gacor slot gacor slot gacor slot gacor slot gacor slot gacor streaming bola slot gacor slot demo slot gacor slot gacor slot gacor slot gacor