Номер части:
Журнал
ISSN: 2411-6467 (Print)
ISSN: 2413-9335 (Online)
Статьи, опубликованные в журнале, представляется читателям на условиях свободной лицензии CC BY-ND

К ЗАДАЧЕ О РЕАКЦИИ ПРИЕМНОГО КОНТУРА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ЗЕМЛИ



Науки и перечень статей вошедших в журнал:
DOI:
Дата публикации статьи в журнале:
Название журнала: Евразийский Союз Ученых — публикация научных статей в ежемесячном научном журнале, Выпуск: , Том: , Страницы в выпуске: -
Данные для цитирования: . К ЗАДАЧЕ О РЕАКЦИИ ПРИЕМНОГО КОНТУРА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ЗЕМЛИ // Евразийский Союз Ученых — публикация научных статей в ежемесячном научном журнале. Физико-математические науки. ; ():-.

Введение. Одним из важных вопросов в теории свободной ядерной индукции в магнитном поле Земли является исследование реакции контура, т.е. обратное воздействие на ядерную прецессию наведенных вращающейся намагниченностью электромагнитных колебаний в контуре.

Количественное исследование реакции приемного контура можно осущест-вить на основе классического подхода, поскольку совокупность спинов в коге-рентном состоянии можно трактовать в терминах макроскопической намагниченности.

Общая теория явления может быть построена на основе дифференциальных уравнений для связанной системы, которая с одной стороны содержит феноменологические уравнения Блоха для образца с прецессирующей намагниченностью, а с другой включает в себя также уравнение приемного контура.

М.Паккард и Р.Вариан [1, 2] разработали метод наблюдения сигналов свободной ядерной индукции в слабых магнитных полях, характерной особеннос-тью которого является предварительная поляризация ядер в образце вспомогательным сильным полем Н*, ориентированным перпендикулярно слабому полю Н0. Свободная  прецессия вектора ядерного намагничивания М вокруг направления Н0 возникает в результате достаточно быстрого (неадиабатического) выключения поля Н* и наводит сигнал соответствующей частоты  в приемной катушке. Предложенный метод широко используется в геомагнитных исследованиях, а также в некоторых разделах радиоспектроскопии высокого разрешения.

В дальнейшем Н.Бломберген и Р.Паунд [3] разработали общую теорию явления, которая строится на основе решения связанной системы дифференциаль-ных уравнений, состоящей из образца с прецессирующей намагниченностью и колебательных контуров (в общем случае двух). Токи в контурах подчиняются обычным уравнениям с добавлениям членов, описывающих наводимую образцом ЭДС, а движение вектора М описывается феноменологическими уравнениями Блоха. Поперечные компоненты действующего на М магнитного поля зависят от токов в контурах, в конечном счете также и от движения вектора М. В общем случае система уравнений получается нелинейной и ее решение довольно проблематично [4].

В последствии К.В.Владимирский [5] рассмотрел процесс неустойчивости вектора ядерной намагниченности, направленного антипараллельно внешнему полю и взаимодействующего с колебательным контуром достаточно высокой добротности. Самовозбуждение прецессии вектора М имеет место в случаях, когда τR<<Т2. С.Блум [6] провел расчеты реакции контура для частного случая Т1 = ∞, при этом Т2 конечно. В работе Ф.И.Скрипова и Э.Л.Альтмана [7] исследовалось влияние реакции приемного контура на огибающую и на частоту сигнала свободной ядерной индукции в слабом магнитном поле. Исследовался случай одинакового продольного (Т1) и поперечного (Т2) времени релаксации. Для исследования общего случая использовались численные методы, в частности, метод Рунге-Кутта четвертого порядка [4]. Рассматривался также вопрос о реакции приемного контура при наличии мультиплетной структуры сигналов ЯМР.

Формулировка  задачи. При формулировке исходной задачи будем считать, что образец взаимодействует лишь с одним колебательным контуром, при этом постоянная времени последнего ТК << Т1, Т2, τ.

Примем, что поле Н0 и ось приемной катушки направлены соответственно вдоль осей 0z и 0x прямоугольной системы координат. Тогда выражения для Мx и Мy запишутся в виде:
К ЗАДАЧЕ О РЕАКЦИИ  ПРИЕМНОГО КОНТУРА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ЗЕМЛИК ЗАДАЧЕ О РЕАКЦИИ  ПРИЕМНОГО КОНТУРА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ЗЕМЛИ

Система (6)-(8) представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, аналитической решение которой весьма проблематично [4].

Реакция приемного контура в случае мультиплетной структуры сигналов ЯМР.          Следует отметить, что метод свободной ядерной индукции в магнитном поле Земли используется для исследования мультиплетной структуры сигналов ЯМР, например, обусловленной косвенными спин-спиновыми взаимодействиями ядер в молекуле [9]. Подчеркнем, что сложный характер линии поглощения вызывает модуляцию огибающей сигнала свободной индукции, возникающую в результате биений между отдельными компонентами мультиплета. В этих случаях образец характеризуется несколькими векторами Мi, прецессирующими с различными угловыми скоростями и явление реакции приемного контура значительно усложняется. Так, в частности, кроме обратного воздействия каждой компоненты на себя, возникают перекрестные влияния, при которых частота воздействующего сигнала будет отличаться от частоты прецессии.

Рассмотрим случай двух компонент одинаковой интенсивности. Примем, что ωK совпадает с центром дублета ω0. В этом случае величины А и Мz для одной компоненты во все моменты времени остаются равными соответствующим величинам для другой, а фазовые сдвиги φ будут иметь противоположные знаки.

В этом случае выражение (1) представляется следующим образом:

К ЗАДАЧЕ О РЕАКЦИИ  ПРИЕМНОГО КОНТУРА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ЗЕМЛИ
Следует отметить, что при выводе уравнений предполагалось, что Ω много меньше ширины полосы пропускания приемного контура, так что для каждой компоненты дублета будут справедливыми приближенные выражения в (3) и (4).

В полученной системы уравнений (10)-(12) предпоследние члены будут описывать воздействие каждой компоненты на себя, а последние члены будут описывать перекрестные влияния. Подчеркнем, что перекрестные влияния будут существенными лишь для малых значений Ω, поскольку в противном случае соответствующие члены будут быстро осциллировать и их среднее воздействие близко к нулю.

Аналитическое решение задачи о реакции приемного контура в магнитном поле Земли. Как уже указывалось ранее общее решение задачи осуществляется, как правило, численными методами [4], поскольку исходная система (6)-(8) или (10)-(12) представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

В настоящей работе излагается аналитический подход к решению линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами на основе модифицированного метода последовательных приближений, разработанного профессором В.А.Пухлий, и опубликованным им в изданиях Академии наук [10, 11]. Разработанный аналитический подход использовался в работе В.А.Пухлий и Н.И.Ковалева [12] при решении задачи спинового эха Хана. Полученные результаты сравнивались с известными теоретическими и экспериментальными значениями. Отмечается хорошее совпадение.

Следует особо отметить, что для ускорения сходимости предложенного решения разработан вариант модифицированного метода последовательных приближений в смещенных полиномах Чебышева [13, 14]. Известно, что одна и та же функция может быть представлена целым спектром различных степенных рядов. Представляя по существу одну и ту же функцию, все они обладают весьма различной скоростью сходимости. Если мы преследуем цель – абсолютную точность, те все эти представления равнозначны. Но если наша цель – ограниченная точность, то эти представления будут совершенно различны. Самой слабой сходимостью обладают ряды Тейлора, с другой стороны самая сильная сходимость характерна для полиномов Чебышева.

Здесь для ускорения сходимости решения используется метод телескопического сдвига степенного ряда Ланцоша [15]. Идея метода заключается в том, что имеющейся в нашем распоряжении ряд Мак-Лорена телескопически сдвигается в гораздо более короткий ряд, не теряя в точности. Для этого используется возможность представления любого степенного ряда через смещенные полиномы Чебышева на интервале [0, 1].

К решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами вида (6)-(8), либо вида (10)-(12) применим аналитический подход, основанный на использовании модифицированного метода последовательных приближений в смещенных полиномах Чебышева [13, 14].

В соответствии с методом запишем системы обыкновенных дифференциаль-ных уравнений первого порядка с переменными коэффициентами в нормальной форме Коши:
К ЗАДАЧЕ О РЕАКЦИИ  ПРИЕМНОГО КОНТУРА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ЗЕМЛИК ЗАДАЧЕ О РЕАКЦИИ  ПРИЕМНОГО КОНТУРА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ЗЕМЛИК ЗАДАЧЕ О РЕАКЦИИ  ПРИЕМНОГО КОНТУРА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ЗЕМЛИ

В дальнейшем, удовлетворяя начальным условиям, получим систему однородных алгебраических уравнений относительно произвольных постоянных , решение которой и определяет спектр значений безразмерных частот .

Анализ полученных результатов. Предварительно отметим, что при численной реализации разработанного аналитического решения задачи Коши для системы уравнений (6)-(8), либо системы (10)-(12), уравнения должны быть представлены в безразмерной форме.

При переходе к безразмерным величинам в теории ЯМР, как правило, все магнитные моменты выражаются через равновесную намагниченность М = γ1Η, все времена через Т2, а магнитные моменты через ΔΗ2:

К ЗАДАЧЕ О РЕАКЦИИ  ПРИЕМНОГО КОНТУРА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ЗЕМЛИ

Тогда вместо исходной системы уравнений (6)-(8) получим новую систему уравнений в безразмерной форме вида (13), к решению которой в дальнейшем применяется разработанный алгоритм.

Следует отметить, что решение задачи о реакции приемного контура можно легко получить для предельного случая бесконечно больших времен релаксации Т1 и Т2 [3]. Для этого случая величина  остается неизменной, а единственной причиной затухания прецессии является уменьшение угла θ между  и . Выражение для когерентной компоненты намагниченности , определяющей амплитуду наводимого сигнала прецессии для данного случая имеет следующий вид:

К ЗАДАЧЕ О РЕАКЦИИ  ПРИЕМНОГО КОНТУРА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ЗЕМЛИ

Полученные формулы (22) и (23) пригодны также и для конечного времени Т1 и Т2, если Т1 >> τR и Т2 >>τR. Для случая конечного времени Т2 и Т1 = ∞ решение получено в [6].

Следует подчеркнуть, что наибольший практический интерес представляет случай конечных времен релаксации Т1 = Т2 = Т, который впервые был исследован Ф.И.Скриповым и Э.Л.Альтманом [7] на основании аналогии со связанными контрами, при этом пренебрегалось влиянием переходных процессов в приемном контуре, поскольку его постоянная времени в сотни раз короче времени Т2.

Основной характеристикой, определяющей реакцию контура на движение вектора М, является величина Т/τ. Заметим, что в обычных условиях эксперимента ηQH* не превышает значения 2·104 гс, что, например, для обескислороженного бензола (Т = 16 сек) дает:

                              (24)

Здесь Р – безразмерный коэффициент, равный отношению фактической амплитуды сигнала свободной ядерной индукции к ее расчетному значению, в оптимальных случаях он приближается к единице, однако нередко имеет и значительно меньшую величину.

При использовании регенерированного контура с добротностью порядка нескольких сотен, возможны и значительно большие значения .

В результате численные расчеты выполнялись для пяти значений , образующих геометрическую прогрессию 1; 2; 4; 8; 16. При расчетах принималось, что θ(0) = π/2.

На рис.1 приведены результаты расчета авторов (сплошные линии). Представлена зависимость  от безразмерной координаты времени t/T при различных реакциях контура и Т1 = Т2 = Т.

К ЗАДАЧЕ О РЕАКЦИИ  ПРИЕМНОГО КОНТУРА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ЗЕМЛИ

Рисунок 1. Зависимость  от времени при различных реакциях приемного контура: –––– – результаты авторов; –○– – результаты [7].

 

На рис.1 приведены также результаты вычислений, полученные Ф.И.Скриповым и Э.Л.Альтманом [7]. Как следует из рис.1 совпадение результатов расчетов довольно хорошее.

Результаты расчетов зависимости  от безразмерной координаты времени t/T при различных реакциях контура и Т1 = Т2 = Т представлены на рис.2.

Из результатов расчетов следует, что при малых значениях  реакция контура влияет на затухание сигнала значительно слабее, чем следует из выражения для эффективного времени затухания прецессии с учетом реакции контура [16]:

К ЗАДАЧЕ О РЕАКЦИИ  ПРИЕМНОГО КОНТУРА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ЗЕМЛИ

Рисунок 2. Зависимость  от времени при различных реакциях приемного контура: –––– – результаты авторов; –○– – результаты [7].

На основе проведенного анализа следует подчеркнуть весьма важный факт: требование большой величины отношения сигнала свободной ядерной индукции к шуму и незначительного влияния реакции контура являются противоречивыми.

Выводы

  1. Предложен аналитический подход к решению задачи о реакции контура в магнитном поле Земли.
  2. Для решения начальных задач Коши, описываемых системами дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, применяется модифицированный метод последовательных приближений [10, 11].
  3. Полученные результаты авторов сравниваются с известными теоретическими результатами других авторов. Отмечается хорошее совпадение.

 

Список литературы

  1. Packard M., Varian R. Свободная ядерная индукция в магнитном поле Земли. – Bull. Amer. Phys. Soc., vol.28, №7, 1957, p.7.
  2. Packard M., Varian R. Свободная ядерная индукция в магнитном поле Земли. – Phys. , vol.93, 1954, p.941.
  3. Bloembergen N., Pound R.V. Затухание излучения в опытах по магнитному резонансу. – Phys. , vol.95, 1954, p.8.
  4. Пухлий В.А. Численные методы. Теория и практикум в среде MATLAB: в 2- томах. Том 1.– Севастополь, 2007.– 412 с. Том 2 – Севастополь, 2008.– 742 с.
  5. Владимирский К.В. О радиационной неустойчивости в экспериментах по ядерному магнитному резонансу. – ЖЭТФ, том 33, 1957, с.532.
  6. Bloom S. Эффекты радиационного затухания в динамике спинов. – J. Appl. , vol.28, 1957, p.800.
  7. Скрипов Ф.И., Альтман Э.Л. Реакция приемного контура в опытах по свободной ядерной индукции в слабых магнитных полях. – Известия ВУЗов. Радиофизика, том V, №1, 1962, с.104-115.
  8. Bloch F. Nuclear induction. – Phys. Rev., vol.70, 1946, p.460. (Блох Ф. Ядерная индукция. – Научно-реферативный сборник по некоторым вопросам современной физики. сер.2, вып.8, 1950, с.13).
  9. Морозов А.А,, Мельников А.В., Скрипов Ф.И. Методика свободной ядерной индукции в слабых магнитных полях в применении к некоторым задачам радиоспектроскопии высокой разрешающей силы. – Известия АН СССР, том 22, 1958, с.1141.
  10. Пухлий В.А. Метод аналитического решения двумерных краевых задач для систем эллиптических уравнений. – Журн. вычисл. матем. и матем. физики, 1978, том 18, №5, с.1275-1282.
  11. Пухлий В.А. Об одном подходе к решению краевых задач математической физики. – Дифференциальные уравнения, 1979, том 15, №11, с.2039-2043.
  12. Пухлий В.А., Ковалев Н.И. К задаче спинового эха в теории ядерного магнитного резонанса. – В сб.: Современные концепции научных исследований. – Москва, Евразийский Союз Ученых, №2(19), 2015, с.
  13. Пухлий В.А. Аналитический метод решения краевых задач теории оболочек. – Труды XIII Всес. Конф. по теории пластин и оболочек. – Таллин, 1983.
  14. Пухлий В.А. Решение задачи об изгибе косоугольной в плане цилиндрической трехслойной панели модифицированным методом последовательных приближений. – Прикладная механика. – Киев: АН УССР, 1986, №10, с.62-67.
  15. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. – М.: Физматгиз, 1961. – 524.
  16. Рыжков В.М., Скроцкий Г.В. Некоторые особенности явления свободной прецессии атомных ядер. – Труды УПИ, сб.III, 1961, с.45-62.[schema type=»book» name=»К ЗАДАЧЕ О РЕАКЦИИ ПРИЕМНОГО КОНТУРА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ЗЕМЛИ» description=»Исследуется реакция приемного контура в теории свободной ядерной индукции в магнитном поле Земли. Для решения начальной задачи Коши, состоящей из уравнения Блоха для образца и уравнения приемного контура, предлагается аналитический подход, основанный на модифицированном методе последовательных приближений. Полученные результаты сравниваются с известными теоретическими и экспериментальными значениями. Отмечается хорошее совпадение.» author=»Пухлий Владимир Александрович, Ковалев Николай Ильич» publisher=»БАСАРАНОВИЧ ЕКАТЕРИНА» pubdate=»2017-02-07″ edition=»ЕВРАЗИЙСКИЙ СОЮЗ УЧЕНЫХ_29.08.15_08(17)» ebook=»yes» ]

 

Список литературы:


Записи созданы 9819

Похожие записи

Начните вводить, то что вы ищите выше и нажмите кнопку Enter для поиска. Нажмите кнопку ESC для отмены.

Вернуться наверх
slot thailand slot gacor 2023 slot dana jendralsmaya slot terbaik slot dana slot server luar demo slot slot deposit pulsa slot gacor
404: Not Found