Система образования с экономической точки зрения рассматривается как система производства специалистов, обладающих вполне конкретным набором знаний, умений и навыков (в новом варианте – компетенций), востребованным в современных профессиональных сообществах. Это относится как к системе среднего специального, так и высшего профессионального образования. Требования к специалистам меняются вместе с развитием общества и производственных технологий. Особенно это касается наукоемких отраслей. В этом отношении система образования является наиболее инерционной.
Например, современная математика в настоящее время оперирует новыми числовыми и топологическими структурами, такими как аттракторы, вейвлеты, кватернионы, фракталы, но эти и другие новые понятия достаточно медленно проникают в вузовский, а тем более в школьный курс математики. Основная часть вузовской программы по математике состоит из изучения теорий времен Евклида, Декарта, Лейбница, Лагранжа. Не умаляя важности геометрических построений, дифференциального и интегрального исчисления, хочется отметить, что это всего лишь инструмент для дальнейшей работы математика. Причем этот «инструмент» сейчас сильно модернизирован за счет возможностей математических пакетов прикладных программ. Практически любой из пакетов Maple, MathCad, Scilab и т. д. позволяет вычислить определитель матрицы, решить систему уравнений, найти производную и интеграл, а также построить график исследуемой функции.
Таким образом, применение в базовом курсе математики современных информационных и коммуникационных технологий экономит достаточно много времени, освобождая его для изучения нового материала.
Что же предлагается взамен. Действительно, на возникающий вопрос, чем заменить? получаем два варианта ответа (бифуркация учебного процесса):
1) Необходимо увеличить практическое наполнение математических теорий. Здесь имеется ввиду не увеличение числа задач на нахождение корней уравнений или исследование функций с целью построения графиков, а решение качественных задач. Примером такого подхода могут служить задачи из учебника «Алгебра и начала анализа 10-11» под редакцией А. Н. Колмогорова [1, с.345].
2) Изучение новых математических теорий, таких как фрактальная геометрия, математика нечетких множеств, нелинейная динамика, теория хаоса, математические основы синергетики.
Но эти два пути могут быть и объединены под видом решения математических задач методами новых теорий. Тем более что современные технологии помогут ускорить и визуализировать проведение математических экспериментов.
Концепция визуализации или наглядного моделирования в обучении математики разработана Е. И. Смирновым и изложена в работе [9]. Здесь же представлены некоторые идеи внедрения в учебный процесс изучения самоподобных множеств, аттракторов, фракталов и др., как аргументированных фактов демонстрации эффективности наглядного моделирования.
Действительно, одним из наиболее ярких примеров возможностей проведения математического эксперимента и его визуального представления является фрактальное моделирование: построение фрактальных моделей реальных процессов. Как писал Б. Мандельброт, «Моим ключевым вкладом стало открытие новой области математики, которая позволяет обнаружить порядок в кажущемся беспорядке, план – в неплановом, правильную структуру – в хаосе природы. Эта область математики, названная фрактальной геометрией, может многое объяснить в естественных науках. Ее уже использовали для моделирования погоды, изучения течения рек, анализа мозговых процессов и сейсмических толчков, для понимания распределения галактик. В 1980-х годах фрактальная геометрия стала одним из главных математических инструментов «теории хаоса». К ней прибегали для изучения порядка в кажущемся хаосе водоворотов и ураганов. Сегодня фрактальную геометрию уже привычно используют в исследованиях рукотворных структур, для измерения Интернет-трафика, сжатия компьютерных файлов и создания художественных фильмов. Например, она была математическим аппаратом компьютерной анимации в ленте «Звездный путь II: Гнев Хана» [4, с.36].
Фрактальная геометрия применима и в финансовой схеме. Волновая теория Ральфа Эллиота, основанная на теории фракталов, позволила выполнить более точные прогнозы движения индекса Доу-Джонса. Элиот обнаружил 5 типов волн на ценовом графике акция на бирже. Причем волны просматриваются при различных масштабах графика, т.е. проявляется самоподобие частей графика цен. Элиот применил теорию фракталов для разложения ценового тренда на более мелкие и понятные части. Зная, в какой части находится ситуация финансового рынка, трейдеры могут уверенно продавать или покупать валюту [2, с.50].
Идея фракталов проникает и в физику. «Мир по своей структуре (форме) является фрактальным», – заявляет академик Шабетник. «Наблюдаемая цикличность движения бесконечного мира вызывает ритмичность естественных процессов, что обусловлено как проявлением свойств самоподобия фрактальных форм, так и закона всеобщего взаимодействия» [10, с.10]. «Фрактальная природа материальных объектов является универсальным свойством и вызывается их энергетической сущностью… и изучение мира следует выполнять методами фрактальной геометрии» [Там же, с.26]. Группа итальянских ученых, изучающих строение галактик в рамках проекта Sloan Digital Sky Survey также считают, что материя во Вселенной распределена в виде фракталов.
Одним из первых шагов изучения современной математики в вузе с помощью новых технологий является курс В. С. Секованова «Элементы фрактальной геометрии и теории хаоса», проводимый для студентов 4-5-х курсов специальности «Прикладная математика и информатика» Костромского госуниверситета. Методическое обоснование курса подробно разработано в монографии [5], а о его содержании можно судить по учебному пособию [6]. «Современное информационное общество и компетентностный подход в образовании ставят перед преподавателем и студентом многоаспектные задачи, решение которых связано с применением новейших математических методов и компьютерных технологий. Одним из эффективных способов решения математических задач на современном этапе является проблемное обучение, нацеленное на развитие исследовательских, профессиональных компетенций студентов и развитие их креативности.» [8, с.137].
На современном этапе развития отечественной системы образования происходит интеграция ее в мировое (европейское) образовательное пространство. Послешкольное образование становится двухуровневым. На смену специалитета приходят бакалавриат и магистратура. Но изучение современной математики возможно на любом уровне. Здесь хочется отметить курс фрактальной графики, включенный в программу подготовки бакалавра физико-математического образования Ростовского государственного педагогического университета [3]. В рамках курса изучаются не только фрактальные графическое редакторы (Fractal Design Painter), но и алгоритмы построения фракталов с помощью объектно-ориентированных языков. Предполагается, что подготовленные таким образом учителя информатики могут в будущем проводить в школе факультативные занятия по фрактальной графике.
В качестве продолжения темы отметим курс «Фракталы и хаос в динамических системах», входящий в магистерскую программу направления «Прикладная математика и информатика» в Костромском государственном университете. Здесь студентам при изучении нелинейной динамики предлагается формирование траектории обучения в виде выполнения многоэтапных математико-информационных заданий. Рассматриваемые задания являются некоторым лабораторным экспериментом, в рамках которого происходит «творческая математическая деятельность, проводится компьютерный эксперимент, позволяющий формировать креативные качества и компетенции студентов» [7].
Рисунок 1. Схема многоэтапного математико-информационного задания
«Нелинейные отображения»
На рис.1 показана схема 8-этапного математико-информационного задания по изучению темы «Нелинейные отображения». Предполагается, что на каждом этапе студенты изучают аналитическое представление соответствующего преобразования, определяют его периодические точки, исследуют его на хаотичность, т.е. зависимость от начальных условий и плотность. Следующим шагом задания является построение аттракторов преобразований, т.е. графическая реализация преобразования с помощью сред программирования и исследование поведения случайно-выбранных точек при итерации преобразования. Такой подход приносит свои плоды. Так, для преобразования «Кот Арнольда» была найдена итерация (<300), при которой начальное изображение на единичном квадрате повторилось. Кроме того, данное отображение получило новое применение – в кодировании графической информации.
Таким образом, идеи современной математики нужно и можно рассматривать на разных уровнях образования. Этому во многом способствуют информационные и коммуникационные технологии, позволяющие сделать аппарат математического исследования более действенным и результативным.
Список литературы:
- Алгебра и начала анализа: Учеб. для 9-11 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова. – 12-е изд. – М. : Просвещение, 2002. – 384 с.
- Алмазов А. А. Фрактальная теория. Как поменять взгляд на финансовые рынки [Текст]. – М. : Admiral Markets, 2009. – 209 с.
- Кузнецова Т. К., Синюшина О. И. Фрактальная графика в курсе школьной информатики [Текст] // Новые технологии в образовании. – Воронеж, 2005. – №3. – С. 9–11.
- Мандельброт Б., Хадсон Р. Л. (Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах [Текст]; пер.с англ. – М. : Издательский дом «Вильямс», 2006. – 400 с.
- Секованов В. С. Методическая система формирования креативности студента университета в процессе обучения фрактальной геометрии [Текст]. – Кострома: КГУ им. Н. А. Некрасова, 2006. – 279 с.
- Секованов В. С. Элементы теории фрактальных множеств. Учебное пособие. – 5-е издание, переработанное и дополненное [Текст]. – М. : Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2013. – 248 с.
- Секованов В. С., Ивков В. А. Многоэтапное математико-информационное задание «Странные аттракторы» [Текст] // Вестник Костромского государственного университета имени Н. А. Некрасова. –2013. – №5. – С. 155–157.
- Секованов В. С., Ивков В. А. Проблемная лекция по теме «Хаотичные изображения» // Труды XI международных Колмогоровских чтений: сборник статей. – Ярославль, Изд-во ЯГПУ, 2013. – С.137-139.
- Смирнов Е. И., Осташков В. Н., Богун В. В. Наглядное моделирование в обучении математике: Теория и практика. Учебное пособие. – Ярославль: Канцлер, 2010. – 498 с.
- Шабетник В. Д. Фрактальная физика. Наука о мироздании [Текст]. – М.: Профиздат, 2000. – 404 с.[schema type=»book» name=»СОВРЕМЕННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ» author=»Ивков Владимир Анатольевич» publisher=»БАСАРАНОВИЧ ЕКАТЕРИНА» pubdate=»2017-06-08″ edition=»ЕВРАЗИЙСКИЙ СОЮЗ УЧЕНЫХ_ 30.12.2014_12(09)» ebook=»yes» ]