Введение
Важнейшая составляющая проблемы принятия обоснованных решений –проблема оптимизации взаимоотношений между сложными системами и их частями. “As a discipline, complex systems – пишетУ. Ваr-Уам — is a new field of science studying how parts of system and their relationships give rise to the collective behaviors of the system, and how the system interrelates with its environment” [1,с. 1]. Этаобластьнаукиещевсерединесемидесятыхгодовпрошлогостолетиябыланазванасинергетикой [2]. Слово «синергетика» означает «совместное действие». Оно введено, чтобы подчеркнуть, чточастикаждой системы функционируют вполне согласованно. Эта согласованность находит отражение в поведении системы как целого[3].
Тот факт, что решения принимаются всюду, как живой, так и неживой природе, вобщем – то в настоящее времяпризнается научным сообществом.
Говорят,например, о целенаправленном поведении животных [4], о принятии решения компьютером [5c.15] и т.д. Однако когда речь идет о принятии решений, как правило, имеют в виду принятие решения человеком. Этоосновное и самое успешно развиваемое направление современной теории принятия решений [5, 6, 7, 8, 9].
Общий вид современных оптимизационных моделей принятия решений таков [8, с. 28]:
F(X) ® max; X Î A,
где
F(X) – целевая функция;
X – управляющий параметр;
A – область допустимых значений X
Управляющий параметр может иметь различную природу; он может быть числом, вектором, множеством и т.д.
В настоящее время особенно важные результаты получены в области решения многокритериальной задачи линейного программирования. Это задача часто встречается, например, в экономических расчетах для минимизации издержек, финансовых рисков, максимизации прибыли и т.д. [10, с. 214].
Ставится задача линейного программирования так [5, с. 71].
Даны:
1.Область D допустимых значений переменных, определяемая совокупностью линейных равенств и неравенств;
2.Величины Ci; i = 1..N, которые служат критериями оценки качества решения,
где
N –число частных критериев: N ≥ 2
Каждый из критериев линейно связан с переменными:
Ci = ,
где
n –число переменных (j = 1..n);
Cij – весовые коэффициенты
Требуется: найти решение X в области D, при котором достигаются наиболее приемлемые значения по всем критериям.
В настоящее время эту задачу решаютс применениемчеловеко–машинных процедур(ЧМП) [6, 7], которыевыполняют в следующей последовательности.
Этап 1. Производят нормирование частных критериев и определяют диапазон их изменения от 0 до 1 по формуле:
ci = ; i = 1..N,
где
Cimin – минимально возможное значение Ci;
Cimax — – максимально возможное значение Ci
Этап 2.Вводят так называемые весовые коэффициенты важности критериев и устанавливают один глобальный критерий по формуле:
C = ,
где
wi — вес критерия ci
Этап 3. С помощью компьютера обрабатывается вся совокупность данных.
Этап 4. По полученным результатам расчета делают выводы и предъявляют их лицу, принимающему решения (ЛПР).
Если ЛПР одобряет все эти выводы, то считают, что задача решена. В противном случае делаются уточнения критериев в соответствии с замечанями ЛПР. И задача решается на компьютере заново.
Как видно, ЧМП – важнейщая составляющая современных методов многокритериальной оптимизации! Ввиду этого полученные решениявсегда являются субьективными. Тем не менее, многие из этих решений очень часто являются успешными! Точнее, они являются успешными с точки зрения достижения определенных — корпоративных и других — частных целей, т.е. целей, стоящих перед некоторыми частями целостной системы. Но они далеко не всегда являются успешными с точки зрения достижения цели, которая стоит перед самой целостной системой.Отсюда проблемы с экологией, противостояние между различными группами людей, войны между странами и т.д.
С помощью компютерной программы [11], разработанной нами, можно найти решение X0 , которое будет приемлемое с точки зрения достижения общей цели, стоящей перед всеми частьями целого и самого целого.
Математическое обоснование решения X0 изложено в [12]. Новое обоснование, приведенное ниже, отличается простотою и наглядностью.
- Естественная задача многокритериалной оптимизации
Пусть
s = 1..N; 2 ≤ N<∝ (1)
— изучаемое множество объектов управления, а
Y(s) = {yj(s); j = 1..n(s)}; s = 1..N, (2)
— множество скалярных величин, количественно измеряемых у
объектов управления (1),
где
n(s) — объемY(s):
1 ≤ n(s) <¥: s = 1..N (3)
Обозначим
Y =
Вообще
n(s) = nприY(s)=Yиn(s) <nприY(s)ÌY,
где
n – объемY.
Отсюда и из (2) при Y(s) = Yполучаем
Y ={yj; j = 1..n},
где
yj– скалярная величина, такая что
yjÎY(s) Ûyj = yj(s); s = 1..N
Согласно (1), (2) и (3) имеют место:
2 ≤ n<¥
и (4)
2 ≤ <¥,
где
= 1, еслиyjÎY(s)
и j = 1..n; s = 1..N
k(s) = 0, если yjÏY(s),
Пусть
Bj(s) = {bjl(s); l = 1..Nj(s)}; j = 1..n(s); s = 1..N
— результаты измерения величин (2) у обектов управления (1),
где
Nj(s) – объем Bj(s):
1≤ Nj(s) <¥(5)
Обозначим
Mj(s) =
иj = 1..n(s); s = 1..N
Sj(s) =
Положим, что
P* ≥ P0* ≥ 0.95,
где
P* -вероятность достоверности совокупности данных
Mj(s), Sj(s) и Nj(s): j = 1..n(s); s = 1..N (6)
P0* –заданное значение P*
Пусть, множество объектов управления (1) такое, что выполняются следующие условия.
1.Имеют место
0 <Mj(s) <¥ и 0 <Sj(s) <¥: j = 1..n(s); s = 1..N (7)
2.Существуют величины
Mj0; j = 1..n (8)
такие, что
0 <Mj0<¥; j = 1..n (9)
- Справедлива зависимость
Mj(s) = Mj0ÛMi(s) = Mi0длявсехj,i = 1..n(s) иs = 1..N (10)
В том случае, когда выполняется условие (10), цели
Mj(s) ® Mj0; j = 1..n(s) и s = 1..N
могут быть достигнутьсовместно и только совместно.
В итоге, перед всеми объектами управления, которые связаны между собой зависимостью (10), будет стоять общая цель
Mj(s) ®Mj0 для всех j = 1..n(s) и s = 1..N (11)
Это та цель, ради достижения которой все объекты управления (1) вынуждены действовать согласованно.
Определение 1.
Пусть, совокупность величин (8) существует и, следовательно, зависимость (10) является справедливой.
Тогда и только тогда с вероятностью P* ≥ P0* можно утверждать, что существует целостная система S такая, что выполняются следующие условия.
1.Величины
yj; j = 1..n (12)
служат функциональными элементами системы S, а объекты
управления (1) являются ее анатомическими элементами.
- Величины
yj(s); j = 1..n(s); s = 1..N (13)
являются первичными показателями качества функционирования анатомических элементовсистемы S.
3.Совокупность данных (6) служит статистической характеристикой фактического состояния системы S.
Совокупность функциональных элементов (12) представляет собой функциональное назначение системы S. А совокупности (13) представляют собой функциональные назначения анатомических элементов системы S.
О величинах (8) говорят, что они являются естественнымиобщими глобальными оптимумами первичных показателей качества фунционирования анатомических элементов целостной системы S и пишут:
X0 = {Mj0; j = 1..n}
Задача определения X0 непременно стоит перед каждой целостной системой, как живой, так и неживой природы. Ее называютестественной задачей многокритериальной оптимизации.
2.Решение естественной задачи многокритериальной оптимизации
Обозначим
Mj = ; j = 1..n
и (14)
Sj = ; j = 1..n,
где
Nj = ; j = 1..n
Согласно (4), (5), (6) и (14) имеет место
0 <Sj<¥; 0 <Mj<¥ и 2 ≤ Nj<¥, j = 1..n (15)
Пусть
Sj0; j = 1..n (16)
–значения
Sj; j = 1..n (17)
такие, что
Sj = Sj0 при Mj = Mj0
и j = 1..n (18)
Sj ≥ Sj0 при Mj Mj0
т.е. вообще, согласно (15) и (18), имеет место
Sj ≥ Sj0> 0; j = 1..n Можно показать, что если имеет место
= 1 – h для всехj = 1..n, (19)
то внутренная среда существования системы S является здоровой [12 с. 96],
где
h – мера внутренней гармонии системы S.
А если при этом
Mj = Mj0 для всех j = 1..n
и, следовательно, согласно (19), имеет место
= 1 – h0; j = 1..n, (20)
то система S находится в нормальное состояние,где
h0 –значение hтакое, что
h = h0ÛMj = Mj0 для всех j = 1..n
Вообще
0.325 ≤ h ≤ h0< 1 (21)
Обозначим
hj(s) = ; j = 1..n(s); s = 1..N (22)
Из (18), (19), (21) и (22) имеем
hj(s) ≤h ≤h0; j = 1..n(s); s = 1..N (23)
Обозначим
hmin = min(hj(s); j = 1..n(s); s = 1..N) =
= min{( ; j = 1..n; s = 1..N} = min{(hjmin; j = 1..n} (24)
и
hmax = max(hj(s); j = 1..n(s); s = 1..N) =
=max(kj(s) hj(s); j = 1..n; s = 1..N} = max{hjmax; j = 1..n}, (25)
где
hjmin = min{ ; s = 1..N}; j = 1..n (26)
и
hjmax = max{kj(s) hj(s); s = 1..N}; j = 1..n (27)
Можно доказать, что условие (10) будет выполняться, если
положим, что
Mj0 = Sj0; j = 1..n(28)
В самом деле, согласно (23), (26) и (27), вообще
hjmin ≤ hjmax ≤ h0; j = 1..n, (29)
А согласно (20) и (28) имеет место
hjmin = h0; j = 1..n (30)
Отсюда и из (29) получаем
hjmin = hjmax = h0; j = 1..n (31)
Следовательно, вообще
{hjmin; j = 1..n} = {hjmax; j = 1..n}
С учетом этого из (24), (25), (26), (27) и (31)находим
min(hj(s); j = 1..n(s); s = 1..N) = max(hj(s); j = 1..n(s); s = 1..N) = h0,
т.е. вообще
hj(s) = hi(s) = h0длявсехj,i = 1..n(s); s = 1..N
или
hj(s) = h0Ûhi(s) = h0длявсехj,i = 1..n(s); s = 1..N(32)
Из (20), (22) и (32) имеем
Mj(s) = Mj0ÛMi(s) = Mi0длявсехj,i = 1..n(s) иs = 1..N,
т.е. получаем (10), что и требовалось доказать.
В заключение отметим, что компютерная программа [11], впервую очередь, нужна врачам — практикам и руководителям государств.
Литература
- Y. Bar–Yam. General features of complex systems.Knowledge management, organizational intelligence and learning, and complexity. – Vol. 1. – 2002, — P. 1- 9
- ХакенГ. Синергетика. – М., — Мир.- 1980. – 404 с.
- ДаниловЮ.А., Кадемцев Б. Б.Чтотакоесинергетика?URL: https://www.synergetic.ru/science/chto-takoe-synergetica.html(Дата обращения: 19.04.2015)
- Тимбердиев Н. Социальное поведение животных. – М.:, — Мир, — 1993
- 5. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений: Учебник. – М.: — Логос, – 2000. – 296 с.
6.Дайер Дж. Многоцелевое программирование с использованием человеко-машинных процедур. // Вопросы анализа и процедуры принятия решений. – М.: — Мир, — 1976
- Ларичев О.И. Объективные модели и субъективные решения. – М.: — Наука, — 1987
- Орлов А.И. Принятие решений. Теория и методы разработки управленческих решений: Учебное пособие. – М.: — МарТ, – 2005. – 496 с. — ISBN 5-241-00629-X
- Петровский А. Б. Методы групповой классификации многопризнаковых объектов. Часть 2. — // Исскуственный интеллект и принятие решений. – 2010. — № 4, -с. 3 -14
- Кирьянов Д.В. Mathcad 13 – СПБ: БХВ – Петербург, –2006. – 608 с.
11.Хускивадзе А.П. Системный анализ качества функционирования объектов управления в реальном режиме времени и принятие наилучшего решения (Искусственный мудрец). – М.: — ФИПС РФ, – Прогр. для ЭВМ, — № 2013 660037
- Хускивадзе А.П. Теория целостности. Приниятие решения в больших – сложных – системах. – Saarbruken,- Deutschland,–LambertAcademic[schema type=»book» name=»ЕСТЕСТВЕННАЯ ЗАДАЧА МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ И ЕЕ РЕШЕНИЕ: ЕСТЕСТВЕННЫЙ ГЛОБАЛЬНЫЙ ОПТИМУМ» description=»В статье приведеноматематическое обоснование способа определения взаимно выгодных отношений между частями целогопо результатам системного анализакачества функционирования этих частьей. С применением современных средств вычислительной техники и коммуникации эти отношения могут быть установлены в реальном режиме времени.» author=»Хускивадзе Амиран Пименович» publisher=»БАСАРАНОВИЧ ЕКАТЕРИНА» pubdate=»2017-04-18″ edition=»ЕВРАЗИЙСКИЙ СОЮЗ УЧЕНЫХ_ 30.04.2015_04(13)» ebook=»yes» ]