РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ПРОЦЕДУРЫ УЛУЧШЕНИЯ ДОПУСТИМЫХ УПРАВЛЕНИЙ В КВАДРАТИЧНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Эффективными методами решения квадратичных задач оптимального управления являются метод приращений и его модификации [1,2]. Это методы последовательного нелокального улучшения допустимых  управлений, способные улучшать управления, удовлетворяющие принципу максимума, вследствие наличия в их процедурах разрывных систем. Работа с разрывными системами расширяет возможности улучшения, но вместе с тем порождает патологические ситуации отсутствия решения таких систем на заданном отрезке. Модификации метода, регуляризирующие такое положение теряют свойство улучшать любое управление, не удовлетворяющее принципу максимума.

Для преодоления указанных недостатков в предлагаемом ниже методе улучшения допустимых управлений в квадратичной задаче проводится регуляризация целевого функционала, которая носит комбинированный характер.  Вместо исходной задачи решается задача на минимум вспомогательного функционала, который получен в результате добавки к целевому функционалу  среднеквадратичного фазового отклонения  и отклонения по управлению.

1. Постановка задачи

Рассмотрим задачу минимизации квадратичного функционала

Внесем необходимые предположения. Пусть матричные  функции  A(u, t)  и  Q(u, t), вектор-функции a(u, t) и b(u, t) функция   непрерывны по совокупности  своих аргументов на прямом произведении   U×T. Множество  допустимых значений управления u(t) —  компакт в  , начальное состояние   и отрезок  времени T  заданы.

Определим необходимые конструкции:

функция Понтрягина

в котором x(t, u) и x(t, v) – фазовые траектории, соответствующие управлениям  u и v,  и Ψ(t, v) – удовлетворяют системам (4), (5) на управлении v(t), символ  означает частное приращение по управляющей переменной на паре  u(t) и v(t).

2.Процедура улучшения

Пусть ,  допустимая пара в задаче (1)-(3). Введем вспомогательный функционал

Отметим, что функционал  сохраняет свойство квадратичности исходного функционала, меняя при этом структуру задачи (при β≠0)  относительно управления .

Применительно  к aβ– функционалу функция  Понтрягина примет вид

Сопряженная Ψa(t, u) вектор-функция ( не зависит от β) является решением задачи Коши

Матричная сопряженная система

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где через f(x, u, t) обозначена правая часть фазовой системы (2).

Представление (10) является конструктивным и служит основой для построения aβ  -параметрической процедуры улучшения управления .

Сформируем экстремальное управление

Процедура улучшения управления заключается в следующем:

поэтому на основании формулы (10) при  имеет место улучшение  с оценкой уменьшения  (7) для функционала Φ(u).

Отметим особенности  рассмотренной процедуры. В зависимости от значений параметра β  изменяется структура функции Понтрягина и, как следствие, меняются свойства сопряженных систем. При β = 0 системы (9), (11) являются разрывными, что позволяет улучшать (при a ≠ 0) управления, удовлетворяющие принципу максимума. При β ≠ 0 процедура не связана с разрывными системами (и, как следствие, с ситуацией отсутствия их решения) и обладает свойством улучшать любое управление, не удовлетворяющее принципу максимума. Отметим, что при aβ = 0 мы получаем известный метод приращений.

Сформулируем необходимое условие оптимальности управления ,  связанные с данной процедурой. Обозначим через  множество управлений , на выходе процедуры  и  предположим, что выполнено условие:

Принцип максимума. Для оптимальности управления (t) в задаче (1) – (3) необходимо, чтобы   хотя бы для  одной пары α, β ≥ 0.

Список литературы

1. Захарченко В.С. , Срочко В.А. Метод приращений для решения квадратичных задач оптимального управления // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1995. №6. С.145-154.
2. Срочко В.А. Итерационные методы решения задач оптимального управления .- М.: Физматлит, 2000. — 160с.[schema type=»book» name=»РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ПРОЦЕДУРЫ УЛУЧШЕНИЯ ДОПУСТИМЫХ УПРАВЛЕНИЙ В КВАДРАТИЧНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ» description=»Эффективность методов решения квадратичных задач оптимального управления методом приращений и его модификациями обусловлена наличием в их процедурах разрывных систем. Но при этом порождаются патологические ситуации отсутствия решения таких систем на заданном отрезке. Для преодоления указанных недостатков предлагается методика решения, использующая регуляризацию задачи. В результате, вместо исходной задачи решается задача на минимум вспомогательного функционала, который получен добавлением к целевому функционалу среднеквадратичного фазового отклонения и отклонения по управлению.» author=»Захарченко Варвара Сергеевна» publisher=»Басаранович Екатерина» pubdate=»2016-12-17″ edition=»euroasia-science_28.04.2016_4(25)» ebook=»yes» ]