О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

Уравнение (1) относится к уравнению параболического типа [1, с. 72]. В работе [2] методами теории потенциалов и интегрального преобразования Лапласа была изучена краевая задача для уравнения (1) в случае, когда коэффициент . Исследованная в работе [2] в настоящее время называется задачей Каттабрига. С помощью фундаментальных решений уравнения (1), полученных в [2], в монографии [3, с. 132] была построена функция Грина задачи Каттабрига для уравнения (1) и получены оценки фундаментальных решений и их производных различных порядков. Также с помощью функции Грина в [3, с. 135] построено решение задачи Каттабрига для уравнения (1) в замкнутом виде. Локальная, нелокальная и общие краевые задачи для уравнения (1) в случае, когда коэффициент  были исследованы в работах [4]-[5]. Различные краевые задачи для уравнения вида (1) при  как в ограниченной так и в неограниченной областях изучались в работах [6-13].

Регулярным в области D решением уравнения (1) назовем любую функцию  из класса , подстановка которой обращает уравнение (1) в тождество.

В данной работе исследуется следующая

Справедлива следующая

Тогда однородная задача А имеет только тривиальное решение.

по вспомогательной области , а затем применяя к полученному равенству формулу Грина, будем иметь

Перейдем в равенстве (8) к пределу при ε → 0. Легко заметить, что при этом область  переходит в D. Тогда с учетом однородных граничных условий (2), (3)  (, k — 1, 2, 3), получим

Если выполнены условия (5)-(7) теоремы 1, то последнее равенство (9) может иметь место только в том случае, когда  в , что и требовалось доказать.

Из доказанной теоремы следует единственность регулярного решения задачи А.

Литература

1. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа. 301 с.
2. Cattabriga L. Annali della seuola normole Superici di pisa e mat., 1959, vol. 13, № 2, p. 163.
3. Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: ФАН. 1979. 238 с.
4. Иргашев М. Некоторые краевые задачи для уравнений третьего порядка с кратными характеристиками // Сборник научных трудов «Краевые задачи для дифференциальных уравнений и их приложения». Ташкент: ФАН. 1976. С. 17-31.
5. Абдиназаров С. Общие краевые задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками // Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17, №1. С.3-12.
6. Block H. Sur les equations lineaires aux derivies partielles a caracteristiques mulptiples // Arkiv for Mat. Astr. och Fysik. 1912.  7.  Р. 3–20.
7. Cattabriga L. Potenziale di linea e di dominio per equazioni non paraboliche in due variabili a caratteristiche multiple // Rendiconti del seminario Matem. della univ. di Padava. 1961. Vol. 31.
8. Джураев Т.Д., Апаков Ю.П. Об автомодельном решении одного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физико-математические науки. 2007. №2(15). С. 18-26.
9. Апаков Ю.П. Об одной краевой задаче для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками // Материалы III Международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики». Нальчик. 2006. С. 37-39.
10. Иргашев Ю, Апаков Ю.П. Первая краевая для уравнения третьего порядка псевдоэллиптического типа // Узбекский математический журнал. 2006. №2. С. 44-51.
11. Апаков Ю.П. К решению краевых задач для уравнения  в неограниченных областях // Ташкент: ФАН. 2006. №3. С. 17-20.
12. Апаков Ю.П. О решении краевой задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками // Украинский математический журнал. Т.64, №1. 2012. С. 3-13.
13. Балкизов Ж.А., Кодзоков А.Х. О представлении решения краевой задачи для неоднородного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2010. №4. С. 64-69.[schema type=»book» name=»О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ» description=» Методом интегралов энергии в работе получено достаточное условие однозначной разрешимости краевой задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками в конечной прямоугольной области. » author=»Балкизов Жираслан Анатольевич» publisher=»БАСАРАНОВИЧ ЕКАТЕРИНА» pubdate=»2017-01-11″ edition=»ЕВРАЗИЙСКИЙ СОЮЗ УЧЕНЫХ_28.11.15_11(20)» ebook=»yes» ]