О ВОЗНИКНОВЕНИИ ГИДРАВЛИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ В УСЛОВИЯХ МЕЛКОВОДЬЯ.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ:

В некоторый момент времени, который мы примем за начальный, в результате внезапного движения тектонических плит с малой скоростью  (в соответствии с газодинамической аналогией) в жидкости появляется гидравлический прыжок представляющий бесконечно тонкую поверхность, на фронте которой испытывают разрыв скорости частиц жидкости и уровней воды до и после скачка. Обозначим через высоту скачка над невозмущённой поверхностью жидкости . В задаче присутствует малый параметр  ε(), выбор которого будет уточнён ниже. Для определения значения h1 будем использовать соотношение на фронте скачка, полученные в [1]

В качестве малого параметра  выберем . Очевидно, как это следует из (1.1) на фронте скачка имеем: . В качестве источника возникновения описываемого гидравлического скачка может выступать например твёрдая вертикальная плоская поверхность бесконечной ширины, высота которой несколько больше h1. За ось OX примем прямую перпендикулярную рассматриваемой поверхности, начала отсчёта, которой O лежит на линии пересечения рассматриваемой поверхности со дном океана.

Рис1

Будем предполагать, что введённая таким образом поверхность вдвигается в жидкость на некотором интервале времени t0, причём в момент  поверхность внезапно останавливается. Очевидно, что в этот момент времени в жидкости на поверхности возникает центрированная волна разряжения, распространяющаяся в сторону положительных значений X. Фронт этой волны в некоторый момент времени t1 > t0 догонит фронт гидравлического скачка, распространяющийся со скорость N, определяемой по (1.2), где η1 = 1. Для завершения математической постановки задачи заметим, прежде всего, что течение воды в гидравлической волне в рамках теории мелкой воды описывается системой уравнений нестационарного адиабатического движения сжимаемой жидкости с показателем адиабаты k = 2 (смотри [2]):

В задаче будем строить решение системы уравнений (1.4), (1.5) в области  ограниченной

Рис2

( смотри рис 2) на плоскости  траекторией тектонической плиты , прямолинейным участком траектории фронта гидравлического скачка , искривлённым участком фронта гидравлического скачка , прямолинейной характеристикой . На участках границы области зададим следующие условия:

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕЧЕНИЯ В ОБЛАСТИ ЦЕНТРИРОВАННОЙ ВОЛНЫ РАЗРЕЖЕНИЯ.

При получении этой формулы использовали что в (1.6) будет:

                     (2.4).

Используя (1.6), (2.4), из (2.1), (2.2) получаем значение для безразмерной скорости частиц  в области волны разрежения, следующие выражения:

      (2.5).

Из (2.3), (2.5) получаем выражение для профиля волны разрежения:

     (2.6).

Очевидно, что в каждый фиксированный момент времени  гидравлическая волна имеет линейный профиль высот h(x,t). Заметим, что из соотношения (2.2) с использованием (1.6) (2.4) получаем соотношение идентичное соотношению (1.1) т.е. . Это позволяет найти недостающее значение a на AD в условии 4 первого параграфа. Так как на  AD  M1 = 0, то очевидно, что на этой характеристике будет .

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИСКРИВЛЁННОЙ ТРАЕКТОРИИ ФРОНТА СКАЧКА.

Отметим что, так как всюду в волне разряжения выполняется то же самое соотношение (1.1) как и на фронте скачка и в дополнение к этому имеем скачёк слабой интенсивности, то, учитывая газодинамическую аналогию, с точностью до малых O(ε²), энтропия на скачке остаётся постоянной. Это позволяет распространить, описанную выше волну разряжения вплоть до фронта гидравлического скачка. Для построения траектории фронта искривлённого скачка из соотношения (1.2), с использованием соотношения (2.5), получаем дифференциальное уравнение фронта:

здесь C1 — постоянная интегрирования, которую можно определить после нахождения координат точки . Легко показать, что константа C1 > 0. Так как  то последнее слагаемое в (3.2) всегда больше нуля. Благодаря этому искривлённый скачок BC никогда не пересечет характеристику AD на которой . Очевидно, что в точке B головная характеристика волны разрежения AB догонит прямолинейный скачек OB. Соответствующий этому момент времени t1 находится из уравнения:

Постоянную интегрирования C1 в (3.2) можно определить на основании начального условия даваемого соотношениями (3.4), (3.5). Исследуем законы изменения силы давления на фронте скачка P (x,t). Прежде всего заметим что из (2.5) и (3.2) легко получить законы изменения величины ε • M1 вдоль искривлённого скачка BC:

Соотношение (3.7) представляет собой закон затухания гидравлического скачка на мелководье в условиях плоского дна, аналогичное закону затухания Ландау плоских ударных волн в газах. Заметим что в условиях криволинейного дна закон затухания обобщающий (3.7) был получен в работе[1].

В заключение работы, сформулируем некоторые рекомендации для постановки начальных условий для изучения эволюции, рассмотренного гидравлического скачка, который в некоторый момент времени t2 ≥ t1  достигнет точки E, начиная с которой морское дно плавно поднимается, достигая береговой линии (случай работы [1]). Очевидно, что по заданной абсциссе  точки E из уравнения (3.2) можно определить значение  — момента прибытия фронта волны в точку E. Тогда для задания начального профиля волны, для исследования её эволюции в условиях поднимающегося дна (смотри [1]), остаётся в соотношении (2.6) положить .

Список литературы:

1. Шарый В.А., Себельдин А.М. «АСИМПТОТИКА ГИДРАВЛИЧЕСКОГО СКАЧКА НА МЕЛКОВОДЬЕ» Евразийский союз учёных (ЕСУ); 2015 №4 Часть12 123-125.
2. Станюкович К.П. «Неустановившиеся движения сплошной среды» Наука, 1971, 854 стр.

Ce document examine la situation qui conduit à l’émergence d’un saut hydraulique d’intensité constante. Les paramètres de mouvement du choc. La réflexion de ce saut d’un mur vertical solide définit les paramètres reflètent choc.[schema type=»book» name=»О ВОЗНИКНОВЕНИИ ГИДРАВЛИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ В УСЛОВИЯХ МЕЛКОВОДЬЯ.» description=»В работе рассматривается задача о возникновении гидравлического скачка, появляющегося в результате тектонических процессов на дне океана, которое предполагающееся плоским. Исследуется движение гидравлической волны в условиях мелководья и в частности показана линейность профиля образовавшейся волны. Работа в некотором смысле дополняет постановку начальных условий, задачи рассмотренной в [1]. » author=»Шарый Владимир Александрович, Пайков Владимир Иванович» publisher=»БАСАРАНОВИЧ ЕКАТЕРИНА» pubdate=»2017-01-05″ edition=»ЕВРАЗИЙСКИЙ СОЮЗ УЧЕНЫХ_30.11.16_31″ ebook=»yes» ]