К ЗАДАЧЕ О НЕЛИНЕЙНОМ РАСПРОСТРАНЕНИИ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В СТРУНЕ

• ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

При получении соотношений на скачке напряжений, распространяющемся по возмущённой струне, приведём сначала общую постановку задачи, а затем по мере надобности внесём в неё некоторые добавления.

Рассмотрим скачок напряжений, распространяющийся по возмущённой струне, не уточняя природы возникновения этого скачка. Приведём вначале некоторые элементы постановки задач и результаты, полученные в [1], [2], которые нам потребуются ниже. При исследовании нелинейного распространения волн в струне в [2] была предложена нелинейная форма закона Гуку:

• СООТНОШЕНИЕ НА СКАЧКЕ, РАСПРОСТРАНЯЮЩЕМСЯ ПО ВОЗМУЩЁННОЙ СТРУНЕ.

Для получения условий на скачке запишем законы сохранения массы и изменения кинетической энергии некоторого малого участка струны в движущейся системе координат, связанной со скачком распространяющемся по струне со скоростью  (см. рис 1). Пусть в произвольный момент t > 0 скачок находится в точке A.

Запишем упомянутые выше законы на бесконечно малом промежутке времени . Отметим, что каждая точка струны участвует в двух движениях: первое – горизонтальное со скоростью — N, второе  вертикальное параллельно оси Ou, причём точки струны, лежащие справа от скачка A, движутся с заданной скоростью , а точки струны, лежащие слева от скачка A, движутся с неизвестными нам скоростями . Обозначим через C1 точку, лежащую справа от скачка , которая в момент  пересечёт скачок, в этот момент времени участок струны AC1 перейдёт с правой стороны скачка на левую и, деформируясь, займёт положение участка струны AC. Очевидно, что массы обоих участков должны быть равны. Найдём векторное перемещение  точки C1: .

Очевидно, что (2.4) и (2.6) имеют одну и ту же структуру.

Используя соотношения: (1.2), (1.3) и геометрический смысл частной производной , можно показать, что

• ОТРАЖЕНИЕ СКАЧКА ПОСТОЯННОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ ОТ ЗАКРЕПЛЁННОГО КОНЦА СТРУНЫ.

Рассмотрим задачу о возмущённом движении закреплённой струны, когда средняя её точка F в момент t = 0 совпадающая с началом координат O движущаяся вертикально вверх с заданной постоянной скоростью .

Это соотношение выполняется также во всей возмущённой области.

Очевидно, что в рассматриваемом случае, когда скорость движения точки F постоянна, все точки возмущённой струны в каждый момент времени t ≥ 0 будут иметь одну и ту же скорость v1, что ниже будет подтверждено формулой явного решения рассматриваемой задачи для .

где N1 даётся соотношением (3.4). Решение (3.5) удовлетворяет граничному условию (3.1), при этом каждая точка струны в этом решении движется с постоянной скоростью v1, а правый конец области возмущённого движения струны, где u = 0 совпадает со скачком, абсцисса которого  на основании (3.5) равна N1.

Запишем закон сохранения массы струны на отраженном скачке для участка струны AC1, который на интервале времени  перейдёт на правую сторону скачка и займёт положение AC. Очевидно, что формула закона сохранения массы для этих участков имеет вид:

Учитывая (3.12) и (3.4), из (3.13) окончательно имеем: .

Как следует из вышесказанного, в отличие от газовой динамики, где давление на отраженной от стенки слабой ударной волне увеличивается в два раза по сравнение с падающей, в случае отражения скачка напряжений в струне от закреплённого конца (при малых деформациях) увеличивается в четыре раза. Это объясняется тем, что при малых деформациях напряжения в струне пропорциональны деформациям струны, которые в свою очередь пропорциональны квадратам углов участков струны с невозмущённой струной. В нашем случае в точке закрепления струны угол отраженного участка в два раза больше соответствующего угла участка струны до отражения, что и приводит к четырёхкратному увеличению напряжения на отраженном участке.

Список литературы:

1. Мансаре Б., Себельдин А.М., Шарый В.А. «Асимптотика распространения скачка нормальных напряжений в струне» Евразийский союз учёных (ЕСУ); 2015 №3(12) Часть7 147-149
2. Шарый В.А., Себельдин А.М. «Исследование нелинейного распространения волн в струне асимптотическими методами» Евразийский союз учёных (ЕСУ); 2014 №9 Часть3 11-13
3. Станюкович К.П. «Неустановившиеся движения сплошной среды» Наука, 1971, 854 стр.[schema type=»book» name=»К ЗАДАЧЕ О НЕЛИНЕЙНОМ РАСПРОСТРАНЕНИИ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В СТРУНЕ» description=»В работе рассматривается нелинейное распространение скачка нормальных напряжений по возмущённой струне. Заметим, что случай, когда скачок распространяется по покоящейся струне, был исследован в [1]. В работе так же исследуется случай отражения скачка постоянной интенсивности от закреплённого конца струны, когда одна из точек струны движется вертикально с постоянной малой скоростью.» author=»Шарый Владимир Александрович, Пайков Владимир Иванович» publisher=»БАСАРАНОВИЧ ЕКАТЕРИНА» pubdate=»2017-01-11″ edition=»ЕВРАЗИЙСКИЙ СОЮЗ УЧЕНЫХ_28.11.15_11(20)» ebook=»yes» ]