ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КЛАССИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ В ШЕСТИМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ

Одна из причин разработки основ классической теории электромагнетизма на базе шестимерного пространства-времени связана с попыткой построения единой геометрической теории гравитации и электромагнетизма на базе шестимерного пространства-времени сигнатуры (—+++).  Структура такого пространства частично отражает некоторые свойства структур пространств Вейля[1] и Финслера [2], [3]. Такое пространство c метрикой  — произвольное векторное поле, в дальнейшем называемое векторным потенциалом,  — метрический тензор Римана, впервые было введено в работе [4] и названо RVF пространством. Там же было показано, что содержательную единую геометрическую теорию гравитации и электромагнетизма можно построить на основе RVF пространств размерности не менее шести.   В рамках шестимерной модели электродинамики с двумя дополнительными измерениями удается объяснить геометрический механизм образования электрического заряда. Показывается, что плотность электрического заряда определяется как дивергенция от пятой и шестой компоненты вектора плотности напряженности электрического поля. Само понятие электрического поля обязано своим происхождением виду метрики RVF пространства. Таким образом,  два фундаментальных понятия четырехмерной электродинамики, а именно, электрический заряд и электромагнитное поле, имеющие различную физическую природу и представляющие собой основные объекты исследования теории электромагнетизма, появляются естественным образом в рамках шестимерного RVF пространства и, следовательно, имеют чисто геометрическое происхождение.   Выводится система уравнений электродинамики для случая неподвижного заряда, включающая в себя классические уравнения Максвелла, а также дополнительные соотношения, дающие новую информацию о свойствах электрических зарядов.

1. Уравнения электродинамики в шестимерном RVF пространстве-времени

Используя ковекторное поле Aк(x), входящее в определение RVF-метрики, выводятся основные уравнения шестимерной электродинамики, вводятся понятия плотности заряда и тока, имеющие чисто геометрическую природу.

По вещественному ковекторному полю Aк(x), входящему в определение RVF- метрики, всегда можно построить поле двухвалентного кососимметричного тензора , представляющего собой ротор ковекторного поля Aк. Операция взятия градиента кососимметрического тензора F дает тождественный нуль, в силу тождества Бианки.

                                                               (1)

Тождество (1) справедливо для пространства  произвольной размерности и сигнатуры. Оно никак не связано с видом метрики пространства и остается ковариантным относительно любых невырожденных преобразований координат. Отметим также, что ковекторное поле Aк, порождающее тождество (1), может быть выбрано совершенно произвольно.

Еще одно ковариантное соотношение, которое может быть построено, используя кососимметрический тензор , имеет вид

                             ,                                                                  (2)

где Di ‑ ковариантная производная по параметру .

Ясно, что если соотношение (2) имеет место в какой-либо системе координат, то оно сохраняется и в любой другой системе. Однако, в отличие от тождества (1), система уравнений (2) зависит от метрики пространства-времени.

Разобьем систему уравнений (2) на две подсистемы

Система (3) остается ковариантной относительно любых преобразований координат из группы GL(4, R) в то время как система (4) ковариантна относительно преобразований из группы GL(2, R).  Введем следующие обозначения

                                                              (5)

Из определения J следует, что этот объект представляет собой четырехкомпонентное контрвариантное векторное поле в четырехмерном подмногообразии шестимерного RVF пространства.

Эти определения представляют собой дань сложившейся традиции, так как, введенные выше, плотность тока  и плотность заряда самым тесным образом связаны с известными феноменологическими понятиями плотности электрического тока и плотности электрического заряда в классической электродинамике Максвелла. В дальнейшем будем пользоваться именно этими понятиями, хотя более последовательно было бы оперировать только с компонентами шестимерного тензора . Итак, соотношение (3), согласно определению1, можно представить в виде

                                            .                                                   (6)

В силу ковариантности уравнения (6) относительно любых преобразований из группы GL(4, R), уравнение (6) справедливо для любых непрерывных токов. Уравнение (6) является обобщённым уравнением Максвелла четырехмерной электродинамики в пространстве Минковского.

                                           

Прежде чем переходить к анализу свойств уравнений шестимерной электродинамики, необходимо убедиться в их тесной связи с уравнениями электродинамики Максвелла.

2. Модель покоящегося электрического заряда в шестимерной электродинамике и ее связь с аналогичной моделью электродинамики Максвелла

В шестимерном RVF пространстве-времени на компоненты векторного поля Aк = 5,6, в трехмерном временном подпространстве накладываются некоторые условия, позволяющие вывести систему трехмерных уравнений Максвелла. Дается геометрическая интерпретация понятию плотности распределения электрического заряда.

   В шестимерной электродинамике имеются две системы общековариантных уравнений (1) и (2), причем система уравнений (1) состоит из двадцати, а система (2) из шести соотношений. Классическая электродинамика Максвелла в трехмерном евклидовом пространстве традиционно представляется в виде двух пар уравнений

          ,                                           (7)

                                         ,                   (8)

Эти соотношения представляют собой вторую пару уравнений Максвелла (8). Кроме уравнений Максвелла (8) система (1) содержит еще  дополнительных соотношений, которые тождественно обращаются в нуль. Действительно, покажем это на примере одного из шестнадцати уравнений . В силу определения тензора  формулой (11), компоненты  тожественно равны нулю, а  не зависит, по определению, от , следовательно, левая часть уравнения тождественно обращается в нуль. То же самое можно показать в случае оставшихся пятнадцати уравнений.  Итак, можно сделать следующий вывод:  система уравнений (1) в шестимерном пространстве-времени, в рамках модели электромагнитного поля, с циркулирующей вдоль окружности во временном подпространстве, двумерной компонентой векторного поля A(x), эквивалентна второй паре уравнений Максвелла.

Для того, чтобы вывести первую пару уравнений Максвелла из системы уравнений (2), нужно исключить эффекты, связанные с присутствием гравитационного поля и внешних зарядов. Это достигается в случае, если псевдориманова метрика, входящая в качестве компоненты в метрику RVF пространства, вырождается в плоскую метрику шестимерного псевдоевклидова пространства сигнатуры .  В этом случае антисимметричный тензор  принимает вид

где правая часть соотношения (15) представляет собой плотность, точечного электрического заряда, помещенного в начале координат. Уравнение (15) есть ни что иное, как первое уравнение Максвелла из системы (7). Однако, уравнение (15) более информативно, чем соответствующее ему уравнение Максвелла, так как оно дает геометрическую интерпретацию плотности точечного электрического заряда.

Перейдем теперь к рассмотрению последних двух уравнений системы (14), которые не входят в систему уравнений Максвелла (7) и (8). Эти уравнения содержат информацию о взаимосвязи компонент электромагнитного тензора  во временном подпространстве. В силу определения  имеем

Отсюда следует, что последние два уравнения системы (14) эквивалентны между собой и сводятся к простому алгебраическому соотношению

                                                         .                                                            (16)

Из соотношения (16) следует, что линейная скорость циркуляции векторного поля A в двумерном временном подпространстве равна скорости света. Это утверждение представляет собой основу для понимания почему носители электромагнитного поля – фотоны двигаются в пространстве со скоростью света.

Итак, в рамках шестимерной модели электродинамики в псевдоримановом пространстве сигнатуры  удалось вывести уравнения электродинамики Максвелла, в случае отсутствия токов, и понять геометрический механизм образования точечного электрического заряда. Согласно проведенному анализу, в шестимерной электродинамике правильнее было бы, вообще, отказаться от понятия электрического заряда и оперировать только с компонентами электромагнитного тензора  в шестимерном пространстве-времени. Традиционная интерпретация уравнений Максвелла в четырехмерной теории электромагнетизма как уравнений, устанавливающих зависимость между пространственным распределением плотности зарядов и плотностью распределения электромагнитных полей, т.е. между феноменологическими объектами не имеющими четкого математического определения, в шестимерной электродинамике меняется на более глубокую и последовательную интерпретацию уравнений электромагнетизма как уравнений, устанавливающих связь между различными компонентами электромагнитного тензора в шестимерном пространстве. Само понятие плотности электрического заряда, с точки зрения шестимерной электродинамики, оказывается всего лишь удобным феноменологическим понятием для решения задач в рамках четырехмерной электродинамики.

3. Заключение

Предложенная модель шестимерной электродинамики, как было показано в работе [4], достаточно естественно интегрируется в объединенную геометрическую теорию электромагнитных и гравитационных взаимодействий на базе RVF пространства.

  В рамках этой модели предложена чисто геометрическая интерпретация понятия электромагнитного поля и точечного электрического заряда. Первое понятие обязано своим возникновением виду метрики RVF пространства. Появление точечного электрического заряда связано с циркуляцией векторного потенциала вокруг выделенной временной оси в трехмерном временном подпространстве. Таким образом, образование электрического заряда происходит в ненаблюдаемой трехмерной временной области шестимерного пространства-времени, а его существование проявляется в тех эффектах, которые наблюдаются в реальном трехмерном физическом подпространстве.  Отметим, что дополнительные временные измерения в рассматриваемой модели оказываются компактифицированными.

В перспективе предлагаемая шестимерная модель классической электродинамики, по-видимому, поможет по-новому взглянуть на проблему перенормировки в квантовой электродинамике. Как известно [5], перестановочные функции и функции Грина имеют сингулярные особенности только на световом конусе четырехмерного пространства времени. В случае шестимерной электродинамики, из-за учета механизма образования электрического заряда, световой конус заменяется на однополостный  гиперболоид, что должно привести к радикальному пересмотру техники расчетов. Возможно, возникновение бессмысленных выражений при расчетах в рамках традиционной четырехмерной квантовой электродинамики связано именно с неправильным выбором размерности и структуры реального физического пространства-времени.

        Список литературы:

1. Г.Вейль. Гравитация электричество. Сборник « Альберт Эйнштейн и теория гравитации» Мир, М., 1979, с. 513-527.
2. Х. Рунд. Дифференциальная геометрия финслеровых пространств. М., Наука, 1981, 504 с.
3. Г.И. Герасько. Начала финслеровой геометрии для физиков. М., ТЕТРУ, 2009, 268 с.
4. Н.Н. Попов. Геометрическая модель гравитации и электромагнетизма в шестимерном пространстве-времени. ХХIII Международная конференция. Актуальные проблемы в современной науке. Россия, Москва, 26-27 февраля, 2016. ISSN 2413-9335.
5. Н.Н. Боголюбов, Д.В. Ширков. Введение в теорию квантованных полей. М., Наука, 1976, 480 с.[schema type=»book» name=»ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КЛАССИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ В ШЕСТИМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ» description=»В рамках шестимерного псевдоевклидова пространства сигнатуры (—+++) вводятся две системы ковариантных уравнений электродинамики. Строится геометрическая модель точечного электрического заряда. » author=»Попов Николай Николаевич» publisher=»Басаранович Екатерина» pubdate=»2016-12-17″ edition=»euroasia-science_28.04.2016_4(25)» ebook=»yes» ]