ЦЕПНЫЕ ДРОБИ ГАУССОВЫХ ЧИСЕЛ

Для построения цепных дробей рациональных чисел используется алгоритм Евклида. В [4] рассматриваются существование и свойства алгоритма Евклида в произвольных евклидовых кольцах. Поэтому можно рассматривать вопрос о цепных дробях в любом из них. В [1] описана возможность построения конечных цепных дробей в кольце целых чисел, в кольце многочленов над полем и в кольце целых гауссовых чисел. Основным её результатом являются критерии существования разложения в обобщенную цепную дробь фиксированной длины элемента поля частных евклидовых колец, удовлетворяющих некоторым условиям. Кольцо целых гауссовых чисел входит в их число. Вообще, гауссовы числа достаточно интересный объект для изучения.

В данной работе рассматриваются цепные дроби целых гауссовых чисел и свойства таких дробей. Описаны возможные случаи уменьшения (увеличения) порядка конечной цепной дроби целых гауссовых чисел.

Область целостности  с нормой    образует евклидово кольцо. Для произвольных комплексных чисел

Заметим, что частное произвольных целых гауссовых чисел есть комплексное число с рациональными коэффициентами:

С другой стороны комплексное число с рациональными коэффициентами представляется в виде частного целых гауссовых чисел:

Поэтому полем частных  будет поле . Числа этого поля будем называть гауссовыми дробями или рациональными гауссовыми числами.

В определении цепной гауссовой дроби  не требуется условие . Но в доказательстве представления такой цепной гауссовой дроби в виде рациональной гауссовой дроби используется условие . Рассмотренные ниже свойства цепной гауссовой дроби позволяют устранить это противоречие.

Логично предположить, что любое комплексное число можно представить в виде цепной гауссовой дроби, если последовательно выделять целые и дробные части данного числа и чисел, обратных к дробной части предыдущего. При таком подходе, так как , коэффициенты  будут удовлетворять условию

Гауссовы цепные дроби от классических цепных дробей отличает неоднозначность представления одного и того же комплексного числа. Например,

Таким образом представления отличаются не только коэффициентами, но и длиной цепной дроби.

В данной статье выделяются ограничения на коэффициенты  с целью получения цепной гауссовой дроби минимальной длины для каждой гауссовой дроби.

Далее рассмотрим некоторые свойства, которые выполняются как для конечных, так и для бесконечных цепных гауссовых дробей. Отметим, что любая цепная дробь  может быть записана в виде , где . Будем цепную дробь  называть отрезком цепной дроби  (закрытым или открытым соответственно).

Видим, что последовательность коэффициентов  длины 3 заменяется последовательностью  длины 1 и цепная гауссова дробь избавляется от нулевого коэффициента. Заметим, что все сказанное касается тройки коэффициентов, где 0 стоит в её середине. Поэтому мы не можем избавиться от tο = 0 в цепной гауссовой дроби  хотя в случае .

3. Из предыдущего свойства следует  Т.е., пара нулевых коэффициентов в любом случае (то ли в начале, то ли в середине t1=0) опускается. Возможные изменения записи цепной гауссовой дроби при наличии трех и больше нулей подряд могут быть описаны с помощью предыдущих свойств.
4. Пусть x = ±i. Тогда x² = -1. Пусть . Тогда воспользуемся свойством 1, умножим цепную гауссову дробь на x−¹ = -x, получим:

но оно не упрощает и не укорачивает цепную гауссову дробь. Оно лишь позволяет первый коэффициент ±i заменить на 1, и то с изменением оставшегося отрезка.

В результате получаем замену тройки коэффициентов  на последовательность двух , а цепная гауссова дробь a избавляется от коэффициента ±i.

7. Пусть . Тогда, используя предыдущее свойство 6, получим . Заметим также, что из свойства 6 можно получить .

Это свойство можно сформулировать следующим образом: в любой ц.г.д. тройка (x, x, x) опускается. На тройки (x, x, x)  есть единственное ограничение по месту расположения: они не могут находиться в конце цепной гауссовой дроби, так как цепная гауссова дробь не заканчивается двумя коэффициентами x. Все другие случаи qj=x могут быть описаны с помощью предыдущих.

Здесь четверка коэффициентов  заменяется последовательностью одного коэффициента  и цепная гауссова дробь a избавляется от коэффициентов ±1.

10. Пусть . Тогда, по свойству 9, получаем , то, опять же из предыдущего случая, . Т.е. получаем, что тройка коэффициентов (y, -y, y) (или -y, y, -y) опускается, а все коэффициенты, следующие за ними, меняют знак на противоположный. Все другие случаи qj = ±1 уже могут быть преобразованы с помощью случаев 8, 9, 10.

Данный анализ даёт возможность получить следующее утверждение.

Утверждение. Любая цепная гауссова дробь может быть представлена с помощью такой цепной гауссовой дроби, которая содержит коэффициенты .

Следствие. Любая цепная гауссова дробь может быть представлена с помощью такой цепной гауссовой дроби , норма всех коэффициентов которой, кроме qο, не меньше 2 ( ).

Выделим возможные случаи преобразования отрезка β цепной гауссовой дроби и укажем величину уменьшения её в конечном случае. Не типичное преобразование отрезка, совпадающего со всей цепной гауссовой дробью a, выделено особо. Пусть, как и раньше. Тогда имеют место следующие преобразования.

Полученные результаты могут стать полезными при анализе свойств подходящих дробей цепной гауссовой дроби, представляющих любое комплексное число.

Список литературы:

1. Васьковский М.М. Конечные обобщенные цепные дроби в евклидовых кольцах. / М.М. Васьковский, Н.В. Кондратёнок // Математика и информатика.– Вестник БГУ. – Сер. 1. – 2013. – № 3. – С.117-123.
2. Богданов П.С. О представлении целых гауссовых чисел в системе счисления Питти / П.С. Богданов П.С. – Компьютерная оптика. – 2010. – том 34, №4. – С.561-565.
3. Пащенко З.Д. Решето Ератосфена для гаусових чисел. / З.Д.Пащенко, О.В. Плахотя // Збірник наукових праць фізико-математичного факультету СДПУ − Слов’янськ: СДПУ, 2012. − №2. − С. 82-86.
4. Родосский К.А. Алгоритм Евклида. – М.: Наука, 1988. – 240 с.[schema type=»book» name=»ЦЕПНЫЕ ДРОБИ ГАУССОВЫХ ЧИСЕЛ» description=»В данной статье рассматриваются цепные дроби в кольце гауссовых чисел, а также свойства таких дробей. Описаны возможные случаи уменьшения (увеличения) порядка конечной цепной дроби целых гауссовых чисел.» author=»Пащенко Зоя Дмитриевна, Рябухо Елена Николаевна» publisher=»Басаранович Екатерина» pubdate=»2016-12-18″ edition=»euroasia-science_28.04.2016_4(25)» ebook=»yes» ]