СРАВНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ОЦЕНКИ УСТОЙЧИВОСТИ АВТОКОЛЕБАНИЙ В РЕЛЕЙНЫХ ЦЕПЯХ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ГИСТЕРЕЗИСОМ

Разработка аналитического метода расчета автоколебаний (АК) в релейных системах (РС) привело к необходимости разработки новых также аналитических методов оценки устойчивости АК. Один из методов (Μτ ) предназначен для анализа устойчивости АК [2] симметричных при сдвиге на половину периода, в другом методе (ΜΤ) анализируется устойчивость через период , что позволило расширить исследования и изучить несимметричные АК.

Критерием проверки второго метода служило исследование этим методом симметричных АК и сравнение результатов с полученными по методу , который разработан авторами достаточно полно и описан в [5] и в монографии [2]. Для симметричных автоколебаний результаты проверки показали правильность метода . Приведем оценку соответствия методов в случае РС с «отрицательным» гистерезисом [3], где возможны и устойчивые, и неустойчивые варианты АК.

Предполагаем, что сигнал  на входе релейного элемента (РЭ), имеет прямоугольную форму с нормированными высотой и шириной. Условно считаем, что при  координата , увеличиваясь (т. е. скорость ), достигла значения . Происходит переключение РЭ с уровня  к уровню . Считаем, что после этого координата  в режиме АК продолжает увеличиваться, достигая максимума . Затем при уменьшении  происходит обратное переключение РЭ при .

Передаточная функция (ПФ) линейной части (ЛЧ) системы, охватывающей РЭ, имеет вид

                                                                    (1)

причем в (1) Χ(s)÷χ(t), Υ(s)÷γ(t),  – изображения по Лапласу входного и выходного сигналов соответственно; для примера принято  – статический коэффициент, а полюсы ПФ 

АК считаем устойчивыми по Ляпунову [4], если выполняется условие

                                                                                               (2)

т. е. в (2) при начальной вариации , меньшей бесконечно малой ε, получим конечную вариацию, не выходящую за пределы бесконечно малой β, зависящей от ε (при этом  – возмущенное значение координаты χ, рассматриваемое в [2] при анализе устойчивости).

Расчет АК детально описан в [5, 2], причем при различных значениях полупериода АК в рассматриваемом примере получаются устойчивые и неустойчивые АК.

Аналитический метод анализа устойчивости основан на применении теории дискретных цепей. В соответствии с [1], предполагаем, что на РС воздействует «возмущение»

                                                                                                                (3)

причем в (3) δ(t) – единичная импульсная функция [1], а ε – бесконечно малая величина.

В результате происходит преждевременное срабатывание на Δt исходного переключения РЭ в момент t=0, из-за изменения χ(t) происходят преждевременные срабатывания РЭ в моменты времени t=nτ на бесконечно малые интервалы

                                                                                                        (4)

причем в (4)  – вариация координаты χ;  – скорость изменения координаты  в момент, непосредственно предшествующий переключению РЭ при t=0.

Из-за преждевременных срабатываний РЭ появляется вариация сигнала на выходе РЭ ,  здесь  – «возмущенная» координата [4] на выходе РЭ, представляющая собой смещение на  знакопеременных прямоугольных импульсов. В результате вариация  – это короткие прямоугольные импульсы бесконечно малой площади, которые для симметричных АК в методе Μτ можно описать периодической знакопеременной последовательностью дельта-функций [1]

                                                                                               (5)

причем в (5) коэффициент «2» обусловлен переключение РЭ с уровня «–1» к уровню «+1».

Таким образом с учетом (3) – (5) вариации переменных в РС можно приближенно описать уравнениями, которые представляют собой уравнения некоторой дискретной цепи (ДЦ), описывающие значения переменных в дискретные моменты времени t=nτ, т. е. дискретные последовательности сигналов [1]:

                                                

Учитывая дискретные последовательности и z-преобразование сигналов

                                                                            (6)

причем в (6)  – это дискретная дельта-функция [1], а  – ПФ эквивалентной ДЦ, описывающая ЛЧ.

Окончательно уравнения (6) с использованием z-преобразования [1] записываем в виде

                                 ;                        (7)

Решая (7), находим ПФ замкнутой ДЦ:

Корни  знаменателя ПФ определяют устойчивость ДЦ. Условие устойчивости ДЦ , что соответствует условию устойчивости по Ляпунову.

Найдя начальное значение скорости , импульсную характеристику в дискретные моменты времени и ПФ ДЦ , получим знаменатель ПФ .

Первый корень здесь будет , что соответствует «физической картине» установившихся симметричных АК через половину периода τ. Остальные корни с учетом данных численного примера для полупериода  ; , что соответствует условию устойчивости и совпадает с данными полученными значительно сложнее.

Для полупериода  получим корни полинома ; , что соответствует неустойчивым АК и совпадает с данными полученными значительно сложнее.

В более общем методе  необходимо вместо полупериода использовать период, в результате чего ПФ ДЦ будет

А знаменатель ПФ

 

Первый корень , что также полностью соответствует «физической картине» повторяемости АК через период Τ. Остальные корни, например, в случае Τ=2τ в том же примере для  и периода  получим ; , также соответствует условию устойчивости и по модулю незначительно отличаются от корней в методе Μτ,

Для полупериода  и периода  получим корни ; , что, как и в методе Μτ, полностью соответствует неустойчивому варианту АК.

Таким образом, в целом данные обоих предложенных методов оценки устойчивости АК, рассмотренные для одинаковых условий симметричных АК, соответствуют друг другу, т. е. в одном случае свидетельствуют, что АК устойчивы, а в другом – неустойчивы. В то же время численные значения остальных корней, описывающих АК, в обоих методах несколько различаются, что свидетельствует о меньшей скорости сходимости метода анализа АК через период Τ. Очевидно, это объясняется тем, что в методе Μτ анализа АК через половину периода τ=Τ/2 действует «большая» отрицательная обратная связь, так как коррекция проходит в два раза чаще, чем в методе ΜΤ.

Преимущество метода ΜΤ в его универсальности, так как он позволяет анализировать несимметричные АК в РС, что методу Μτ недоступно. Оба разработанных метода являются аналитическими и аналогов фактически не имеют, поскольку известные классические методы расчета АК (только через период Τ) являются приближенными и могут быть использованы для ограниченного числа ПФ.

Список литературы:

1. Бычков Ю.А., Золотницкий В.М., Чернышев Э.П. Основы теории электрических цепей. СПб.: Издательство «Лань», 2005.

2. Морозов Д. А., Соклакова М. В., Чернышев Э. П. Аналитический расчет релейных цепей и систем / Монография. СПб., Изд. СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2012.

3. Ружников В. А., Чернышев Э. П. Расчет автоколебаний в цепях, содержащих элементы с отрицательной гистерезисной релейной характеристикой. / «Электричество», 1992, №10, с. 51 – 53.

4. Цыпкин Я. З. Релейные автоматические системы. М.: Наука, 1974.

5. Чернышев Э. П., Мясоедов Г. Б., Ружников В. А., Метод точного расчета автоколебаний в электрических цепях, содержащих нелинейные элементы с релейной гистерезисной характеристикой / Известия вузов «Электромеханика», 1987, №11, с. 125-128.[schema type=»book» name=»СРАВНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ОЦЕНКИ УСТОЙЧИВОСТИ АВТОКОЛЕБАНИЙ В РЕЛЕЙНЫХ ЦЕПЯХ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ГИСТЕРЕЗИСОМ» description=»Оценка устойчивости автоколебаний, описание которых возможно в аналитическом виде также должна проводиться аналитическим методом. В работе распространяется разработанный ранее авторами метод оценки устойчивости на релейные цепи с отрицательным гистерезисом.» author=»Дерипаска Алина Геннадьевна, Соклакова Марина Вячеславовна, Чернышев Эдуард Павлович» publisher=»Басаранович Екатерина» pubdate=»2016-12-07″ edition=»euroasia-science_30_22.09.2016″ ebook=»yes» ]