Введение. Для решения задач автоматизации технологических процессов дальней транспортировки природного газа характерна ситуация, когда используемая для управления или диагностики математическая модель процесса течения газа не является до конца параметрически определенной. Это касается ряда трудноопределимых констант, связанных с удельным сопротивлением трубопроводов, осреднением скорости потока по сечению, теплообменом их с окружающей средой, осреднением температуры по длине трубопровода при использовании изометрической модели и др. Поэтому аналитически построенную и, следовательно, структурно адекватную процессу математическую модель необходимо идентифицировать параметрически. Это особенно важно для описания динамики магистральных газопроводов (МГП), т.к. посредством исследований установлено, что структура связи переменных состояния этого распределенного объекта такова, что его модель очень чувствительна к некоторым параметрам и имеет физический смысл только в определенных и довольно узких диапазонах [1-3]. Исследования по определению этих диапазонов позволяют уточнить (параметрически идентифицировать) ряд трудноопределимых параметров, а также, опираясь на найденные диапазоны их возможных значений, решить задачу робастного выбора конструктивных и технологических параметров технологических участков МГП [3-6].
Формулировка задачи исследования. Для решения комплекса обозначенных здесь задач необходимо исследовать те аналитические возможности, которые предоставляют получаемые на стадии математического моделирования динамические характеристики распределенного объекта. При этом задачу целесообразно привязать к конкретному технологическому объекту – участку магистрального газопровода. Кроме того, ее достаточно локализовать на оценке установившихся значений переменных процесса транспортировки газа, а также на отдельных конструктивных параметрах трубопровода. Необходимо привлечь и исследовать те взаимозависимости переменных состояния и параметров объекта, которые позволяет выделить математическая модель его установившегося состояния, т.е. модель стационарного процесса течения газа по участку МГП [3-6].
Исходная математическая модель задачи исследования. Решение сформулированной выше задачи опирается на математическую модель, характеризующую изотермических процесс передачи потоком газа массы вещества и преобразования его механической энергии, описывается математической системой следующего вида:
где: – p(x, t) – давление в произвольном сечении потока в произвольный момент времени (Па); q(x, t) – удельный на единицу площади сечения трубопровода) массовый расход газа (кг/с*м2); R – универсальная газовая постоянная (Дж/моль∙К); Т – абсолютная его температура (К); µ — молярная масса газа (кг/ моль); D – диаметр трубопровода; λ – удельный (на единицу площади боковой поверхности трубопровода) коэффициент трения газа.
Константы модели заданы следующими значениями: D = 1,22 м; R = 8, 3144; µ = 0,01604 моль, а λ и Т подлежат идентификации.
В связи с поставленной выше задачей решения проблем идентификации в рамках стационарного состояния объекта исследования модель (1) необходимо представить структурно в несколько другом виде, обусловленном допущением о затухании всех переходных процессов. Оно связано с равенством нулю производных по времени всех переменных моделирующего процесса. Таким образом, необходима модель стационарного течения газа по трубопроводу. В базисе модели (1) – (p, q) она имеет следующий вид:
Интегрирование уравнения (2 b) выявляет свойство инвариантности массового расхода к пространственной координате, которое моделируется условием ∀ х ∈ [0, L]→ q (x) = q0 = const. Тогда, интегрируя (2 а) при q (х) = q0, можно получить систему алгебраических уравнений, эквивалентную системе дифференциальных уравнений (2)
Математическая модель решения задачи идентификации. Структура зависимости (3 b) позволяет получить явные выражения для температуры потока газа и коэффициента трения потока о стенки трубопровода. При необходимости их также можно преобразовывать, для того чтобы в расчетах основывается не на фиксированном базисе, а использовать в качестве базисных переменных те переменные состояния потока, значения которых известны и которые удобны для исследователя.
Для демонстрации возможности такого преобразования и корректности расчета, основанного на нем, приведем вариант преобразования базиса относительно скорости потока газа. В этом случае выражение (3 b) примет вид (4) и будет содержать только одну переменную состояния потока — скорость:
Полученная ММ УМГП, разрешенная относительно температуры потока газа, коэффициента трения потока стенки трубопровода, позволяет произвести идентификацию коэффициента трения потока газа о стенки трубопровода и средней температуры потока в ситуации, когда значения этих констант либо не замеряются на всем протяжении участка, либо количество замеров не позволяет корректно рассчитывать их усредненные оценки.
Хотя система (7) легко разрешима относительно неизвестных λ и Т, возникает проблема точности результата, поскольку погрешности в измерениях исходных величин могут привести к неточности итогового результата. Чтобы повысить точность идентификации, целесообразно использовать на два набора опытных данных, а, n, т.е. v0i и vi при . Построим всевозможные сочетания этих измерений из n по 2 без повторений, разрешим для каждого из сочетаний больших чисел, удастся получить искомый результат с высокой достоверностью.
Построение комбинаций опытных данных для решения системы (7) позволяет увеличить выборку без увеличения числа опытов. В табл.1 указаны соответствия числа измерений (n) числу возможных сочетаний по два ( ).
Таблица 1
Соответствие числа измерений числу сочетаний
| n | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 | 36 | 45 |
Пример решения задачи идентификации. Рассмотрим пример расчёта, произведённого согласно описанному методу. Исходные данные представлены в табл. 2.
Простейшим вариантом будет являться расчёт на основе лишь двух наборов опытных данных, необходимых и достаточных для однократного решения системы (7) и нахождения весьма приближённой оценки исследуемых констант. В более сложном варианте, т.е. при увеличении количества измерений, точность результатов возрастает. Поскольку этот случай представляет собой интерес, будем производить расчёты на основе 4 наборов опытных данных (измерений начальной и конечной скорости; табл. 3).
Таблица 2
Исходные данные для идентификации
|
L, м |
D, м | μ, |
| 137000 | 1,195 |
0,016 |
В рассматриваемом случае мы ограничились 4 измерениями. Как видно из табл. 1, эти измерения могут быть использованы в 6 сочетаниях.
Для каждой из комбинаций заданных измерений решим систему (7), найдём 6 пар значений температуры и коэффициента трения. Путём вычисления среднего арифметического соответствующих элементов этих пар найдём усреднённые оценки искомых величин. Результаты сведём в табл. 4.
Таблица 3
Начальная и конечная скорости
|
№ |
v0, м |
v, м |
| 1 | 13 | 81,0026 |
| 2 | 12 | 29,2682 |
| 3 | 11 | 20,066 |
| 4 | 10 | 15,39994 |
Таблица 4
Расчёт комбинаций и средних значений
| № | Изм. 1 | Изм. 2 | λ | T, м |
| 1 | 1 | 2 | 0,00096086 | 292,96 |
| 2 | 1 | 3 | 0,00096148 | 293,15 |
| 3 | 1 | 4 | 0,00096131 | 293,091 |
| 4 | 2 | 3 | 0,00096349 | 293,76 |
| 5 | 2 | 4 | 0,00096221 | 293,37 |
| 6 | 3 | 4 | 0,00096003 | 292,701 |
| Средн. | — | — | 0,00096156 | 293,17 |
Результаты исследований. Таким образом, коэффициент трения идентифицируется значением 0,00096156, температура – значением 293,17. Заметим, что реальное значение коэффициента трения при заданных параметрах 0,000961, а температуры – 293 К. Таким образом, точность идентификации констант при 4 наборах опытных данных оказалась достаточно высокой.
Исследуем полученные результаты с точки зрения математической статистики, чтобы доказать что использование комбинаций позволяет на основе относительно небольшого числа измерений получить статистически достоверный результат. Вычислим квадраты отклонений λ и T от средних значений для каждой из комбинаций (табл. 5).
Рассчитаем среднеквадратическое отклонение σ, дисперсию σ2, а так же стандартное отклонение s (оценку среднеквадратичного отклонения относительно математического ожидания на основе оценки дисперсии) для λ и T (табл. 6).
Таблица 5
Квадраты отклонения от среднего значения
| № | ||
| 1 | 0,4917171∙10-12 | 0,0459939 |
| 2 | 0,00687775∙10-12 | 0,000633233 |
| 3 | 0,066689∙10-12 | 0,00621534 |
| 4 | 3,70436∙10-12 | 0,3454766 |
| 5 | 0,421776∙10-12 | 0,03927496 |
| 6 | 2,34615∙10-12 | 0,2185451 |
Таблица 6
Статистические и вероятностные показатели
| Показатель | λ | T |
| 7,037567∙10-12 | 0,656139 | |
| σ | 1,083018∙10-6 | 0,330691 |
| σ2 | 1,172928∙10-12 | 0,109357 |
| s | 1,407513∙10-12 | 0,362254 |
| Среднее значение | 0,00096156 | 293,17 |
| Относительная ошибка | 0,0011263 | 0,0011280 |
Заключение. Таким образом, теоретические расчёты и экспериментальная проверка показали, что предложенный метод позволяет достичь значительно более высокой точности результата, чем прямые методы идентификации, т.к. относительная ошибка оценки параметра немногим более 0,1%.
Список литературы:
- Нейдроф, Р. А. Моделирование процессов транспортировки газа магистральными трубопроводами / Р. А. Нейдроф, В. Е. Бачурин // XVI Междунар. науч. конф. «Метематические методы в технике и технологиях» ММТТ-16: сб. тр. В 10 т. Т. 3.Секция 3 / Санкт-Петербургский гос. технол. ин-т. – Санк-Петербург: Изд-во СПбГТИ(ТУ), 2003. – С. 180-183.
- Нейдроф, Р. А. Моделирование динамики магистральных газопроводов с учётом тепловых процессов / Р. А. Нейдроф, В. Е. Бачурин // XVI Междунар. науч. конф. «Математические методы в технике и технологиях» ММТТ-16: сб. тр.: В 10 т. Т 3. Секция 3 / Санкт-Петербургский гос. технол. ин-т. – Санк-Петербург: Изд-во СПбГТИ(ТУ), 2003. – Т 3. – С. 183-186.
- Нейдроф, Р. А. Простой алгоритм расчёта статики процесса транспортировки газа / Р. А. Нейдроф, Е. В. Тетеревлёва // XXI Международ. науч. конф. «Математические методы в технике и технологиях – ММТТ-21»: сб. тр. В 11 т. Т. 6. – Саратов: Саратовский гос. техн. ун-т, 2008. – С. 20-21.
- Тетеревлёва, Е. В. Проблемы моделирования процессов транспортировки магистральными трубопроводами / Е. В. Тетеревлёва // Системный анализ, управление и обработка информации: сб. науч. ст. / под общ. ред. Р. А.Нейдорфа. – Ростов-на-Дону: ДГТУ; Таганрог: ТТИ ЮФУ, 2007. –С. 158-163.
- Тетеревлёва, Е. В. Статическая модель участка газопровода и перспективы её использования / Е. В. Тетеревлёва // Системный анализ, управление и обработка информации: сб. науч. ст. / под общ. ред. Р. А. Нейдорфа. – Ростов-на-Дону: ДГТУ; Таганрог: ТТИ ЮФУ, 2007. – С. 164-168.
- Кудинов, Н. В. Идентификация параметров обыкновенных дифференциальных уравнений методом наименьших квадратов на эквидистантной разностной сетке / Н. В. Кудинов // XVIII Международ. науч. конф. «Математические методы в технике и технологиях»: сб. тр. – Казань: КГТУ, 2005. – Т. 2. – С. 166-168.[schema type=»book» name=»ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ТРУДНООПРЕДЕЛИМЫХ КОНСТАНТ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ УЧАСТКОВ МАГИСТРАЛЬНЫХ ГАЗОПРОВОДОВ» author=»Ягубов Зафар Хангусейнович, Тетеревлева Елена Владимировна, Коротков Юрий Викторович» publisher=»басаранович екатерина» pubdate=»2017-06-19″ edition=»ЕВРАЗИЙСКИЙ СОЮЗ УЧЕНЫХ_ 30.12.2014_12(09)» ebook=»yes» ]