К ДИНАМИКЕ МЕХАНИЗМА ВРАЩЕНИЯ АВТОМОБИЛЬНОГО ГИДРАВЛИЧЕСКОГО КРАНА-МАНИПУЛЯТОРА

1. Введение

Автомобильные самонагружающиеся краны-манипуляторы представляют собой шарнирно-сочлененные стрелы, приводимые в движение гидравлическими устройствами. Обычно они монтируются позади кабины или в конце грузовой платформы транспортного средства. Эти конструкции снабжаются разнообразным грузоподъемным оборудованием и предназначены для работы в разных отраслях экономики – в торговле, в строительстве, в металлургии и в лесной промышленности. Автомобильные краны-манипуляторы имеют широкий диапазон технических характеристик и для некоторых моделей грузовой момент может достигать 150 [tm], а вылет — до 30 [m]. Это предполагает значительные инерционные нагрузки на металлическую конструкцию и на привод, порождаемые грузом и элементами стрел при их движении. Исследование динамических процессов, наблюдающихся при работе манипулятора, сосредоточено в ряд направлении, основные из которых: 1) Определение статических и динамических сил, действующих на элементы стрел, прежде всего для оптимизации их конструкции, а также определение коэффициента динамичности для проведения расчета напряженно-деформированного состояния элементов стрел и расчета параметров гидропривода; 2) Определение динамической устойчивости базовой машины против опрокидывания; 3) Исследование точности позиционирования, особенно при гибкой подвеске груза.

В большинстве случаев, возможно регулировать динамические процессы прежде всего уменьшением скорости движения, что ведет с одной стороны к увеличению времени цикла и уменьшению производительности, а с другой стороны – к уменьшению энергетической эффективности, особенно для гидропривода.

Автомобильные краны-манипуляторы обычно конструируются как открытые кинематические цепи, состоящие из звеньев, связанных между собой вращающимися или скользящими парами, при том число звеньев достигает до 4-5. Возможное относительное движение между звеньями позволяет как пространственное движение груза по определенной траектории, так и значительную свободу при его позиционировании. Вот почему, для исследования динамических процессов, механическую систему нужно представить как многомассовую систему.

Исследование динамических процессов в механизме вращения крана представляет интерес прежде всего для проектировщика машины, так как механизм служит для перемещения больших масс на больших расстояниях от оси вращения (до нескольких десятков метров). В этом случае следует ожидать наличие значительных статических и динамических нагрузок, порожденных силами тяжести и инерцией звеньев механизма и груза. Дополнительно, свободно висящий на конце стрелы груз имеет поведение раскачивающегося маятника, что в значительной степени увеличивает инерционную нагрузку на механическую систему и отрицательно сказывается на проведение технологических операции.

Динамика подобных кранов рассматривалась в множестве публикации. Ряд публикации [4,5,6,7], как и некоторые классические учебники [11,12] рассматривают динамику вращающихся е кранов с точки зрения определения законов движения звеньев и динамических усилии в эластичных связях. В других работах [1,8,9] рассматривается возможность создания стратегии и алгоритмов управления двигательных или тормозных моментов так, чтобы уменьшит раскачивание груза и инерционные нагрузки. Обзор литературы показывает, что в основном рассматривается электропривод, а дифференциальные модели механизмов обычно линеаризуются. Одна попытка связать динамические процессы в гидроприводе манипулятора сделана в [10], но гидравлическая система рассмотрена при большой степени идеализации.

Имея ввиду выполненный обзор литературы, цел настоящей работы формулируется так: создать динамическую модель механизма вращения автомобильного гидравлического крана-манипулятора и исследовать влияние раскачивания груза на характеристики механической и гидравлической системы. Так как движение звеньев управляется с помощью гидравлического распределителя с ручным или электрическим управлением, то модель механической системы нужно совместит с моделью гидравлической системы. Чтобы учесть возможность наличия больших углов раскачивания груза, полученная дифференциальная модель системы не линеаризуется.

2. Динамическая модель крана

На рис.1 показана геометрическая модель гидравлического крана, состоящая из трех шарнирно-сочленённых звеньев – опорно-поворотной колонны, вращающейся вокруг вертикальной оси, и двух звеньев стрелы, вращающихся вокруг горизонтальных осей. Груз (поз.3) подвешен свободно к концу второго звена стрелы и имеет две степени свободы – вращение вокруг двух взаимно перпендикулярных осей — Z₂ и Z₃ (сферический маятник). Это осуществлено с помощью введения дополнительного звена (поз.2), вращающегося вокруг оси Z₂ и имеющего массу 0. Взаимное расположение звеньев (углы между ними) определяет текущий вылет крана, который оказывает сильное влияние на динамику механизма вращения. Для целей настоящего исследования, кран рассматривается как кинематическая цепь с тремя степенями свободы – одна степен свободы имеется у совместно вращающихся опорно-поворотной колонны и двух звеньев стрелы (поз.1), а две степени свободы – у груза, представленного как сферический маятник. Для такой модели решается прямая задача динамики – при известном двигательном моменте, проложенном к опорно-поворотной колонне, определить как закон движения системы по всем степеням свободы, так и характеристики гидравлической системы.

Для получения дифференциальной модели механической системы используются уравнения Лагранжа второго рода, записанные в виде:

В уравнении (1) использованы следующие обозначения: K — полная кинетическая энергия системы; U – потенциальная энергия системы; τ_i – обобщённые силы; θ_i — независимые обобщённые координаты. Для рассматриваемой системы обобщённые координаты – это углы относительного поворота звеньев — θ₁ – угол поворота колонны и стрелы, θ₂ и θ₃ – углы поворота груза.

Чтобы определит скорости движении звеньев, к каждому звену по правилам Денавита-Хартенберга [3] присоединена локальная координатная система – рис.1. Параметры трансформации, выражающих векторы в координатной системе с более высоким номером в координатной системе с более низким номером показаны в табл.1. Так, рассматривание пространственного движения звеньев замещается рассматриванием относительного движения соответствующих координатных систем.

табл.1 Параметры Денавита-Хартенберга

№ звена	αi	ai	di	θi
1	0	0	d1	θ1
2	π/2	a2	0	θ2
3	-π/2	0	0	θ3

Здесь числовые значения параметров d₁ и a₂ определяют значение текущего вылета стрелы, рассматриваемой как твердое тело. Очевидно, что изменение этих параметров приводит к изменению массово-инерционного тензора первого звена динамической модели (колонна и два звена стрелы). Имея ввиду, что в предложенной модели возможен поворот звеньев только вокруг осей Z_i (т.е. угловая скорость в шарнире i задается с помощью вектора ), а также используя матрицы поворота  между координатными системами i и i+1, описывающие относительный поворот соседних звеньев, то можно записать следующие итеративные зависимости [3,7]:

                        (2)

где введены следующие обозначения: w_i — вектор угловой скорости i-той координатной системы; v_i – вектор скорости начала координатной системы i; v_Ci – вектор скорости центра тяжести звена i; P_Ci, P_i+1 – векторы центра тяжести звена i и начала системы i+1 соответственно. Все описанные величины выражены в собственной координатной системе i.

Согласно зависимостей (2), угловые и линейные скорости звеньев как функции обобщённых скоростей в шарнирах определяются так:

Имея ввиду, что центр тяжести груза имеет координату, различную от нуля только по оси x₃, то  и :

Полная кинетическая энергия системы вычисляется как сумма кинетических энергии вращательного и поступательного движения всех тел. Используя обозначения в формулах (2) и (6), то полная кинетическая энергия вычисляется как [3]:

Здесь  -это тензор инерции звена, выраженный относительно координатной системы с началом в центре тяжести звена и осями, параллельными локальной координатной системе

Полная потенциальная энергия механической системы вычисляется как сумма потенциальных энергии звеньев. Для точкой отсчета при определении потенциальной энергии можно принят произвольную точку на оси Z₀, в конкретном случае это точка О₀:

К первому звену (колонна с двумя звеньями стрелы) приложен двигательный момент, выражающийся вектором . В рассматриваемой конструкции крана это осуществляется с помощью зубчато-реечного механизма (радиус колеса R = 0,1 [m]). К рейке закреплен сдвоенный гидроцилиндр с диаметром поршня D=0,05 [m] – рис.2. Направление движения гидравлической жидкости изменяется с помощью электрически управляемого трехпозиционного распределителя. Гидравлическая система включает еще два предохранительных клапана, срабатывающих при превышении давления в гидроцилиндрах (вследствие накопления большой кинетической энергии в вращающихся элементах крана и внезапного закрытия распределителя) и при этом осуществляющих перелив жидкости из одного гидроцилиндра в другой. Двигательная сила в гидроцилиндре F, a отсюда и момент  можно определит по известной теории [2], предполагая постоянное давление в нагнетательной линии на входе распределителя p_s. Для определения F используются давления p₁ и p₂ в полостях гидравлических цилиндров, для определения которых используются зависимости (10) и (11).

В формулах (10)-(12) введены следующие обозначения: Q_1, Q₂ — расходы жидкости через гидравлические распределители — рис. 2; Q_v1, Q_v2 – расходы жидкости через предохранительные клапаны; C_d, C_dv — коэффициенты расхода; w — градиент на площади проходного сечения распределителя;  — кусочно-линейная аппроксимация закона перемещения золотника распределителя; ρ – плотность гидравлической жидкости; b — объёмный модуль упругости жидкости; p₀ – давление в сливной линии; p₁, p₂ — давления в полостях сдвоенного гидравлического цилиндра; V – постоянные объемы гидравлической жидкости в гидроцилиндрах; x – позиция поршня гидроцилиндра; S — площадь поршня; l — ход гидроцилиндра; A_v(p) — переменная площадь проходного сечения предохранительного клапана; A_max – максимальная площадь проходного сечения предохранительного клапана; p_set, — давление, при котором срабатывает предохранительный клапан;  p_reg — давление при максимальном открытии клапана.

Имея значения давлении p₁ и p₂, вектор содержащий двигательный момент имеет следующий вид:

                             (9)

где  -скорость движения поршня гидроцилиндра, а b – коэффициент вязкого трения.

3. Числовой пример

После подстановки выражении для кинетической (7) и потенциальной (8) энергии в (1) и выполнения операции дифференцирования, получается система из трех обыкновенных дифференциальных уравнении второго порядка, которые совместно с двумя уравнениями первого порядка (11) интегрируются численным методом. При этом допускаются следующие предположения: 1) трение в шарнирах пренебрегается; 2) изменение вылета крана осуществляется заданием разных числовых значениях параметров d₁ и а₂ – при минимальном вылете d₁= 0.4705 [m] и a₂=0.525 [m], а при максимальном — d₁=1,318 [m] и a₂=3.198 [m]; 3) масса, центр тяжести и тензоры инерции звеньев определены с помощью трехмерной CAD модели.

Так же, приняты следующие значения параметров крана и гидропривода — масса груза — 270 [kg], длина подвески — 1.1 [m], время закрытия и открытия распределителя – 0.05 [s], давление p_s — 6 [MPa], давление срабатывания предохранительного клапана — 7 [MPa], плотность жидкости — 855 [kg/m³], объёмный модуль упругости жидкости – 1.6.10⁹ [Pa], первоначальные значения давления в полостях гидроцилиндра — 4 [MPa], первоначальные значения отклонения груза — θ₂=0 и θ₃=0_, т.е. висит в вертикальном положении.

Графики изменения определённых характеристик системы в функцию времени показаны на рис. 3-7.

4.  Дискуссия и заключения

Как показывают результаты численного эксперимента, двигательный момент (сила в гидроцилиндре) зависит в основном от значении давления и расхода, а инерционно –массовые характеристики механической системы имеют относительно небольшое влияние при повороте. Это видно из результатов на рис. 5, где шестикратное изменение инерционного момента крана относительно оси поворота (для минимального и максимального вылета) ведет только к изменению в ~10^о в угле поворота за рассматриваемый период времени. Можно также отметит, что изменение инерционного момента ведет к изменению ускорения, которое, как и следовало ожидать, меньше при максимальном вылете. На рис.4 показано изменение двигательного момента при минимальном и максимальном вылете. Во втором случае постоянное давление на входе ведет к увеличению силы в гидроцилиндре, которая необходима для преодоления большей инерционной нагрузки.

Как можно ожидать, внезапное открытие или закрытие гидравлического распределителя ведет к увеличению давления в системе, которое может достигать опасных значении если его не ограничит. Рис.3 показывает изменение давления в двух полостях сдвоенного гидроцилиндра при максимальном вылете. На этом же рисунке видно, что раскачивающийся груз дополнительно влияет на давление в гидравлической системе – меньше при установившемся режиме движение и значительно больше после остановки поворота (между 5s. и 7s.). Это изменение давления надо учитывать при расчетах.

Внезапное увеличение давления после закрытия распределителя ведет к срабатыванию предохранительного клапана и перетеканию гидравлической жидкости из одной полости гидроцилиндра в другую, при этом ограничивается давление до предварительно заданного значения. Это ведет к нарушению точной остановки крана при повороте. Этот эффект виден ясно на рис. 5, где после остановки на пятой секунде, угол поворота θ₁ продолжает расти (для максимального вылета).

В результате наличия переходных процессов системе, груз раскачивается в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Изменение углов отклонения от вертикального положения θ₂ и θ₃ показаны соответственно на рис.6 и рис.7. Как видно, инерционные характеристики системы слабо влияют на угол раскачивания груза. Угол раскачивания в плоскости звеньев, вызванное центробежными и кориолисовыми ускорениями относительно невелико – 6^о-8^о. Угол раскачивания в перпендикулярной плоскости бистро уменьшается после начального ускорения и сильно увеличивается после остановки крана. Значение этого угла также зависит от длины подвески груза. Из за больших значении этого угла (около 15^о), раскачивание груза является источником дополнительных инерционных нагрузок в металлической конструкции и гидроприводе, которые нужно учитывать при расчетах. Для рассматриваемой конструкции можно заключит, что коэффициент динамичности имеет значения 1.2-1.3.

Полученные результаты показывают, что предложенная методика может быт с успехом использована для решения такого вида динамических задач. Дальнейшие исследования можно сосредоточит в направление определения такого закона изменения двигательного момента, который бы обеспечил уменьшение раскачивания груза и увеличения точности его позиционирования при повороте.

Список литературы:

1. Abdel-Rahman, E.M., Nayfeh, A.H., Masoud, Z.N. Dynamics and Control of Cranes: A Review. Journal of Vibration and Control, 2003, 9, 863-908.
2. Akers , Gassman М.,Smith R., Hydraulic power systems analysis, Taylor & Francis Group, NY, 2006, ISBN-13: 978-0-8247-9956-4
3. Craig, J. Introduction to Robotics: Mechanics and Control, 3rd Edition, Pearson Education, 2005
4. Safarzadeh D, Sulaiman S., Faieza Abdul Aziz, Desa Bin Ahmad. An Approach to Determine Effect of Crane Hook on Payload Sway, International Journal of Mechanics and Applications, 12/2012; 1(1):30-38. DOI: 10.5923/j mechanics 20110101.04
5. Feng, J., Yoo, SC. Dynamic Analysis of Tower Cranes. Journal of Engineering Mechanics, 2005, 131(1), 88-96.
6. Jerman, B., Podržaj, P., Kramar, J. An Investigation of Slewing-Crane Dynamics During Slewing Motion — Development and Verification of a Mathematical Model. International Journal of Mechanical Sciences, 2004, 46(5), 729-750.
7. Sciavicco L., Siciliano B., Modelling and Control of Robot Manipulators Second Edition, Springer-Verlag, London, 2000, ISBN 978-1-85233-221-1
8. Neupert, J., Arnold, E., Schneider, K., Sawodny, O., 2010, Tracking and anti-sway control for boom cranes., Control Engineering practice, 18, 31-44
9. Onishi, E., Tsuboi, I., Egusa, T., Uesugi, M. Automatic control of an overhead crane. In Proceedings of the Eight Triennal IFAC World Congress, Volume 4: A. Mechanical Systems and Robots, by Pergamon Press. 1982, 1885-1890
10. Papadopoulos, S. Sarkar, On the dynamic modeling of an articulated electrohydraulic forestry machine, Proceedings of the 1996 AIAA Forum on Advanced Developments in Space Robotics, Madison, WI, August 1-2, 1996
11. Вайнсон А. Подъемно-транспортные машины, Машиностроение, Москва, 1989.
12. Дивизиев, В. Основи на товароподемните машини, Техника, София, 1986.[schema type=»book» name=»К ДИНАМИКЕ МЕХАНИЗМА ВРАЩЕНИЯ АВТОМОБИЛЬНОГО ГИДРАВЛИЧЕСКОГО КРАНА-МАНИПУЛЯТОРА» description=»Работа посвящена моделированию динамики механизма вращения автомобильного гидравлического крана-манипулятора. Для целей настоящего исследования, кран рассматри-вается как кинематическая цепь с тремя степенями свободы – одна степен свободы имеется у совместно вращающихся опорно-поворотной колонны и двух звеньев стрелы, а две степени свободы – у груза, представленного как сферический маятник. Для получения дифференци-альной модели механической системы используются уравнения Лагранжа второго рода, а изменение давления в полостях приводного гидроцилиндра описывается двумя дифференциальными уравнениями первого порядка. Численное решение полученной дифференциальной модели и анализ полученных результатов показывает, что предложенная методика может быт с успехом использована для решения такого рода динамических задач.» author=»Григоров Божидар Бориславов, Митрев Росен Пешев» publisher=»БАСАРАНОВИЧ ЕКАТЕРИНА» pubdate=»2016-12-27″ edition=»euroasia-science.ru_26-27.02.2016_2(23)» ebook=»yes» ]