ИДЕНТИФИКАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПРОСТРАНСТВЕННО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ОБЪЕКТОВ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ МОДЕЛЯМИ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ БОКСА- ДЖЕНКИНСА

К объектам с пространственно распределенными параметрами относятся сети водоснабжения, теплоснабжения, газоснабжения многие другие промышленные объекты. К ним можно отнести объекты тепловой и химической промышленности. На многих из них нельзя проводить активные эксперименты в целях идентификации динамических характеристик объектов управления.

На примере стекловаренной печи, как теплового объекта со значительным тепломассообменом, инерцией и, соответственно, запаздыванием, проведена попытка статистическим путем определить динамические характеристики объекта управления. В процессе идентификации используются реализации входных и выходных сигналов в виде случайных последовательностей (временных рядов Бокса-Дженкинса [7]). Тогда динамику объекта можно описать линейным разностным уравнением:

δ(B), ω(B) – динамические операторы.

Для динамической системы с наличием шума передаточная функция имеет вид:

      

где модель шума представлена процессом авторегрессии – проинтегрированного скользящего среднего порядка p, d, q:

                                                  (3)

Окончательный вид передаточной функции, считая, что шум N_t приложен к выходу и не коррелирован с X(t), можно записать так:

                       (4)

Основное средство, используемое при идентификации – это взаимная корреляционная функция входа и выхода. Выборочные оценки корреляционной функции выхода и взаимных корреляционных функций расхода газа на горелки и плотности (как параметра качества варки стекла) предоставлены на рис.1 и рис.2.

Незатухающий характер корреляционной функции (рис.2, а) и взаимной корреляционной функции (рис.1, а) свидетельствуют о нестационарности процессов. Для удаления нестационарности производится взятие d разностей по временным рядам входного и выходного сигналов. На рис.2. и рис.3 изображены корреляционные функции первых разностей расхода газа по горелкам и плотности стекла.

После взятия d разностей модель (2) можно представить в виде:

           

Умножая все члены  на  для k ≥ 0, получим:

                            (6)

Учитывая, что  не коррелированно с , приходим к системе уравнений

ϒ_XY(k) = υ₀ ϒ_xx (k) + υ₁ϒ_xx(k-1)+…, k=0,1,2,…,                                (7)

Пусть веса υ_j практически равны нулю при b >> k .  Тогда в матричном виде уравнение (3,18) можно записать как:

ϒ_xy=T_XXV,                                                                                           (8)

где

Весовые коэффициенты    υ_j    определяются из формулы:

                                                                                                                   (9)

 В которую подставляются выборочные оценки корреляционной функции входа  r_xx(k) и взаимной корреляционной функции входа и выхода r_xy(k)

Рис.1 Оценки взаимных корреляционных функций временных рядов:

а) расход газа на 1-ю горелку – плотность стекла на выходе;

б) расход газа на 2-ю горелку – плотность стекла на выходе;

в) расход газа на 3-ю горелку – плотность стекла на выходе.

Рис.2. Оценки автокорреляционных функций временных рядов (BP):

а) плотности стекла на выходе ;

б) первых и вторых разностей ВР(временного ряда) плотности;

в) первых разностей ВР расхода газа на 1-ю горелку;

г) первых разностей ВР расхода газа на 2-ю горелку.

Предварительно необходимо проверить значимость выборочных значений взаимной корреляционной функции входа и выхода, так как характер изменения функции, изображённой на рис.4, идентичен белому шуму. Полученные графики не позволяют выявить запаздывание по каналу и выделить максимальное значение взаимной корреляционной функции.

Рис.4. Оценки взаимных корреляционных функций первых разностей временных рядов:

а) Расход газа на 1-ю горелку –плотность;

б) Расход газа на 3-ю горелку –плотность;

в)Расход газа на 5-ю горелку –плотность;

Проверку равенства нулю значений взаимной корреляционной функции ρ_xy(k) проводим сравнение выборочных оценок r_xy(k) с их стандартными ошибками, полученными по формуле Бартлетта:

Из графиков рис.4 видно, что значения оценки взаимных корреляционных функций практически не превышают значений  стандартных ошибок ± σˆ(r), а для ± 2σ(r)c вероятностью P= 0,05 можно сказать, что значения оценок взаимной корреляции равны нулю.

Полученный результат можно объяснить следующим образом. Временной ряд d(t) фактически содержит три составляющих:

где V(t) – высокочастотный шум измерения, который в процедуре идентификации Бокса-Дженкинса не учитывается , а составляющая рассматривается лишь как шум формирующий случайную последовательность X(t). Получив оценки взаимно корреляционных функций Рис.1, было принято решение о «фильтрации» низкочастотной составляющей из временного ряда взятием 1-x и 2-x разностей, в результате которой был получен новый временной ряд, содержащий лишь шум измерения, а низкочастотный полезный сигнал был отфильтрован (рис.4).

Значения стандартных ошибок для 10 значений взаимной корреляционной функции первых разностей временных рядов расхода газа на 1-ю, 3-ю, 5-ю горелки и плотности стекла, естественно , не приведут к положительному результату, а идентификация по низкочастотной составляющей не может быть проведена так как длина выборки не составляет 10 интервалов корреляции.

Полученный результат говорит о том, что использование рядов Бокса-Дженкинса, как и  ортогональных функций Лагерра [3]  для оценки весовой функции объекта управления при ограниченной длине реализации входа, выхода и минимальной априорной информации об объекте дает лишь видоизмененную оценку взаимной корреляционной функции. Так в формуле (7):

Поскольку функция  является детерминированной, то

                                             (13)

Анализ результатов показывает, что прямое применение рядов Бокса-Дженкинса не освобождает исследователя от выполнения статистических требований к выборочным реализациям случайных процессов x(t) и y(t) по определению необходимой длины реализации, шага дискретизации, уровня квантования [6]. Методики по этим вопросам отработаны и проверены на практике. Использование процедуры идентификации Бокса Дженкинса может дать положительный результат при наличии априорной информации о динамических характеристиках объекта и возмущающих воздействий.

Литература

1. Садовникова Н., Шмойлова Р. Анализ временных рядов и прогнозирование. Учебник,Университетская серия,: Синергия, 2016,с.  ISBN: 9785425702043
2. Канторович Г.Г. Анализ временных рядов//Экономический журнал Высшей школы экономики, т. 6, №1, 2002, т. 6, №2, 2002.
3. Zuev Identification of dynamic characteristics of the control object with distributed parameters orthogonal LAGUERRE fanctions. 3rd International Conference «Technical sciences: Modern issues and development prospects» November 9, 2015, Sheffield, UK Conference Proceedings,Scope Academic House. ISBN-13:978-1-941655-31-3 DOI: 10.15350/UK_2/3
4. Hamilton, J. D., Time Series Analysis, 1994, Princeton University Press, Ch 1, 2.
5. Mills, T.C. The Econometric Modelling of Financial Time Series. Cambridge University Press, 1999.
6. Волгин В.В., Каримов Р.Н. Оценка корреляционных функций в промышленных системах управления. Сб. Библиотека по автоматике. Вып.600. М.: Энергия, 1979.
7. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление, М. Мир. 1974. — 406 с.[schema type=»book» name=»ИДЕНТИФИКАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПРОСТРАНСТВЕННО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ОБЪЕКТОВ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ МОДЕЛЯМИ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ БОКСА- ДЖЕНКИНСА» description=»Идентификация динамических характеристик пространственно распределенных объектов управления с запаздыванием. Анализ проблем, возникающих перед исследователями при решении данной задачи с помощью различных математических средств.» author=»Зуев Константин Иванович» publisher=»Басаранович Екатерина» pubdate=»2016-12-06″ edition=»euroasia-science_30_22.09.2016″ ebook=»yes» ]