ТЕОРИЯ РАЗМЕРНОСТИ КАК МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ

Введение

В физических исследованиях обязательным этапом моделирования, подготовки эксперимента, проектирования установки, теоретической разработки являются физические оценки, которые подсказывают правильный путь решения представленной задачи, дают возможность установить границы области применения решения и понять, какие изменения потребуются при постановке и решения задачи вне пределов этой области. Физические оценки и качественный анализ физических процессов в основном производятся посредством метода размерностей.

Выражение единиц измерения произвольной физической величины через единицы измерения основных величин называется размерностью. А размерность произвольной физической величины может быть лишь произведением степеней размерностей величин, принятых за основные. Следовательно, размерности обеих частей формулы, отражающей некоторую физическую закономерность, должны быть одинаковы.

Метод размерностей помогает установить функциональные зависимости между разными физическими величинами, но только для тех ситуаций, когда эти зависимости степенные. Действительно, таких зависимостей в природе довольно много, и этот метод широко используются исследователями. Есть случаи, когда функциональные зависимости между физическими величинами не степенные. Например, невозможно найти степенные формулы зависимости координаты математического, пружинного маятника от времени и циклической частоты или выражение скорости для ракет от массы (формула Циолковского).

Величины, численное значение которых одинаково во всех системах единиц измерения (СГС, СИ и др.) внутри данного класса, называются безразмерными и их размерности равны единице.

Довольно много примеров можно привести из истории физических открытий, где анализ размерностей использован как единственный метод исследования. Идея квантования, ставшая фундаментальным открытием квантовой физики, родилась на основе анализа Нильсом Бором размерностей физических величин, характеризующих движение электрона вокруг ядра атома. Н.Бору надо было найти радиусы разрешенных орбит для определения энергии атома в стационарных состояниях. Для этого нужно было указать правило квантования. Он предположил, что какая-то величина должна быть кратной постоянной Планка ħ. Постоянная Планка имеет размерность Дж×с. Но, такую же, размерность имеет широко используемая в механике величина mur (момент импульса). Для электрона, движущегося по круговой орбите, модуль его импульса  mu  и радиус  r  остаются неизменными. Следовательно, постоянна будет и величина mur . Естественно было предположить, что должно выполняться соотношение

mur= ħn,    ħ=h/2p =1,05×10^-34 Дж×с,

где n=1, 2, 3, …     m –  масса, r – радиус орбиты электрона.

Идеи, лежащие в основе анализа размерностей, по сути очевидны и просты и покоятся на физических законах (связи между физическими величинами), они не зависят от произвола в выборе основных единиц измерения. Из этой идеи на основе простых рассуждений и применения простого математического аппарата можно вывести важное следствие: функции, выражающие физические закономерности, должны обладать некоторым фундаментальным свойством, которое в математике называется обобщенной однородностью или симметрией. Это свойство позволяет записать искомые закономерности в безразмерном виде, инвариантном относительно выбора систем единиц измерения, с меньшим числом аргументов (уже безразмерных) и тем самым упростить их (закономерностей) нахождение.

1. Основные и производные физические величины

Единица измерения является мерой, с помощью которой измеряется та или иная физическая величина. Это измерение представляет собой прямое или косвенное сравнение физических характеристик с соответствующими (физически подобными) эталонами, принятыми за единицу и называемыми единицей измерения. Так, период полураспада сравнивается с единицей измерения – годом, скорость самолета сравнивается с единицей измерения скорости, равной скорости равномерного движения, в котором путь в один километр проходится за время, равное одному часу.

Величины, численные значения которых зависят от выбора единиц измерения, называются размерными величинами. Единицы измерения физических величин подразделяются на основные и производные. Величины, для которых единицы измерения вводятся из опыта с помощью природных или искусственных эталонов, по условию называются первичными или основными. При этом сами единицы измерения также называются первичными. Так, для описания тех же механических явлений можно принять эталоны для силы, длины и времени. Единицы измерения для других величин, которые получаются из определения этих величин через первичные, называются производными или вторичными. Определение физической величины всегда указывает способ ее измерения, по крайней мере мысленный. Так, плотность, согласно определению, представляет собой отношение массы к величине заключающего ее объема. В различных областях науки и техники выгодно и удобно выбирать в качестве первичных единиц измерения свои местные системы первичных единиц измерения [4,7].

Системой единиц измерения называется совокупность основных единиц измерения, достаточная для измерения параметров (характеристик) рассматриваемого класса явлений. Возникли различные системы единиц измерения. Так, для измерения характеристик механических явлений до сих пор употребительна в теоретических исследованиях система CGS. В этой системе в качестве первичных единиц измерения приняты сантиметр, грамм и секунда. Здесь мы считаем, что определения этих первичных единиц измерения известны из общего курса физики [10]. Производными в системе CGS являются см/с (скорость), г/см³ (плотность) и т.д.

Существует и другая система единиц измерения — система MKS, в которой в качестве основных приняты метр, килограмм-сила (кгс) и секунда. Здесь единица силы (кгс) представляет собой силу, сообщающую массе, равной массе эталона килограмма, ускорение, равное 9,80 665 м/с². С 1960 года употребляется также Международная система единиц СИ (System nternational d’Unites), в которой основными единицами измерения являются метр, килограмм-масса и секунда.

Заметим, что системы единиц CGS и СИ принадлежат к одному и тому же классу систем, система MKS – к другому. Классом систем единиц измерения называется совокупность систем единиц измерения, различающихся между собой только величиной, но не физической природой) основных единиц измерения.

Мы видим, что единицы измерения не являются застывшей системой – всякий новый успех в развитии техники измерений, равно как и открытие новых явлений, может вести к переопределению основных единиц измерения [3]. Неоднократно предлагались другие системы, использование которых оказывалось удобным для определенного круга задач. Так, в астрономии удобно вводить единицу длины, называемую астрономической единицей (а.е.), которая является внесистемной единицей длины и равна среднему расстоянию от Земли до Солнца: 1 a.e. = 1,49 597 870 ⋅ 10⁸ км (±2 км).

Таким образом, не существует лучшей или основной системы единиц измерения. Выражение производной единицы измерения через основные единицы измерения называется ее размерностью. Размерность выражает качественную сущность физической величины, измеренной с помощью данной системы единиц измерения, и получается автоматически из определения этой величины. Для обозначения размерности физических величин вводят символы. В системе CGS и СИ символы единиц измерения для основных физических величин будут: L для единицы длины, T для единицы времени и M для единицы массы. Размерность некоторой физической величины f принято по предложению Максвелла обозначать через [ f]. Важно подчеркнуть, что размерность определяется классом систем единиц измерения и в разных классах систем измерения размерность одной и той же физической величины будет различна. Так, например, размерность силы F в классе LMT будет [F] = MLT^-2, а в классе MKS (LKT) она будет [F] = K. Таким образом, в формуле (в функции) размерности для какой-либо величины ϕ,

[ϕ] = L^a T^b M^g  (в системе CGS),                         (1)

аргументы L, T, M выступают как отвлеченные положительные числа, которые можно перемножать, или делить.

Физические величины, численное значение которых одинаково во всех системах единиц измерения внутри данного класса, называются безразмерными, то есть для таких величин в (1) α = β = γ = 0. Очевидно, что размерность безразмерной величины равна единице. Все остальные величины называются размерными.

2. П – теорема

В теоретических и экспериментальных исследованиях, как правило, проблема сводится к отысканию (одной или нескольких) предполагаемых зависимостей (функций) вида

a = f(a₁ , a₂, …, a_k, a_k+1 , …, a_n).                                       (2)

Здесь a – определяемая физическая величина, которая в данном исследовании ищется, a₁ , а₂, …, a_n – величины, от которых искомая величина a зависит, среди них одни могут быть постоянными в данном явлении, другие – переменными; все они называются определяющими параметрами или аргументами искомой функции f. Найдем теперь структуру функции  f  при предположении, что эта функция выражает собой некоторую физическую закономерность – закон, не зависящий от выбора систем единиц измерения. Разбиение аргументов на две группы в (2) сделано следующим образом: первые k величин a₁ , а₂, …, a_k (k £ n) имеют независимые  размерности (число основных единиц измерения должно быть больше или равно k, и среди механических величин обычно имеется не более трех с независимыми размерностями), а размерности остальных параметров a_k+1 , a_k+2, …, a_n зависимы от них, то есть выражаются в виде произведений степеней от размерностей параметров a₁ , а₂, …, a_k:

Если размерности всех определяющих параметров независимы, то k =n; если все определяющие параметры безразмерны, то k = 0. Таким образом,

0 £ k £ n.

Опираясь на предполагаемую зависимость (2) покажем, что размерность определяемой величины a должна обязательно выражаться через размерности определяющих параметров первой группы a₁, а₂, … ,a_k:

[a] = [a₁]^a…[a_k]^g.                             (4)

Заменим теперь в (2) параметры с зависимыми размерностями a, a_k+1 , …, a_k через безразмерные величины Π, Π_k+1 , …, Π_n, определив их выражениями

 Тогда вместо (2) с учетом (4) и (5) получим или в других обозначениях

Покажем, что функция F от параметров  на самом деле не зависит. Очевидно, значения величин Π, Π_k+1 , …, Π_n вообще не зависят от выбора систем тех единиц измерения, через которые выражаются k размерно независимых величин . Далее можно показать почти очевидный факт [2], что всегда можно перейти к такой системе единиц измерения в данном классе, что любой из параметров с независимыми размерностями , например a₁ , изменится в произвольное число раз, а остальные размерные параметры  останутся неизменными. При таком переходе, как было сказано выше, останутся неизменными также и безразмерные аргументы  Π_k+1 , …, Π_n функции (6) и ее значение Π. Но отсюда следует, что функция F в действительности от аргумента a₁ не зависит. Аналогично показывается, что она не зависит и от аргументов , поэтому вместо (6) будем иметь

Π = Φ(Π_k+1 , …, Π_n),                     (7)

Таким образом, число аргументов в искомой зависимости (2), записанной в безразмерном виде (7), сокращается на число, равное числу определяющих параметров с независимыми размерностями. Этот общий вывод и составляет главное содержание анализа размерностей, известное в научной литературе как Π-теорема. В нем, собственно, и заключается источник полезных приложений метода теории размерностей к исследованию физических задач.

 

Заключение

Метод, основанный на анализе размерностей физических величин, широко используется при исследовании различных явлений и объектов из механики, астрофизики, геофизики, природных и экологических явлений [1, 5, 6, 8, 9]. При применении анализа размерностей и подобия трудность лежит совсем не в использовании простой рецептуры получения закономерностей физических явлений в наиболее простой и наглядной форме, а в схематизации явления с выделением основных (главных) определяющих параметров задачи, вытекающих или из математической постановки задачи, если таковая имеется в виде соответствующих дифференциальных уравнений с начальными и краевыми условиями, или из проникновения (интуиции) в механизм изучаемого явления, если оно не сформулировано по каким-то причинам в виде математической задачи. Здесь важно не пропустить основные определяющие параметры и не усложнить задачу добавлением заведомо несущественных параметров. Тогда результат дается выражением (7) в виде зависимости определяемой (искомой) безразмерной величины Π от определяющих безразмерных аргументов Π_k+1 , … …, Π_n, число которых меньше числа определяющих размерных параметров n на величину k, равную числу определяющих параметров с независимыми размерностями. Тем самым упрощается нахождение искомой зависимости, выражающей физическую закономерность.

Список литературы

1. Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика: теория и приложения к геофизической гидродинамике, 1982. – 255 с.
2. Биркгоф Г. Гидродинамика: Пер. С нем. М.: Изд-во иностр. Лит., 1963. – 244 с.
3. Камке Д., Кремер К. Физические основы единиц измерения: Пер. с нем. М.: Мир, 1980. – 208 с.
4. Коган Б. Ю., Размерность физической величины, М., 1968. – 72 с.
5. Курт Р. Анализ размерностей в астрофизике. М.: Мир, 1975. – 229 с.
6. Седов Л.И. Методы подобия и размерностей в механике. М.: Наука, 1972. — 330 с.
7. Сена Л. А., Единицы физических величин и их размерности, 3 изд., M. 1989.- 336 с.
8. Taylor G. // Proc. Royal Soc. 1950. Vol. 201, № 1065. P. 159–186.
9. Тирский Г. А. Анализ размерностей. Соросовский образовательный журнал. -Том 7 N 6 2001.
10. Хантли Г.Е.  «Анализ размерностей», М., Мир, 1970. – 176 с[schema type=»book» name=»ТЕОРИЯ РАЗМЕРНОСТИ КАК МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ » author=»Мукушев Базарбек Агзашулы» publisher=»БАСАРАНОВИЧ ЕКАТЕРИНА» pubdate=»2017-05-24″ edition=»ЕВРАЗИЙСКИЙ СОЮЗ УЧЕНЫХ_ 30.01.2015_01(10)» ebook=»yes» ]