Рассмотрим движение спутника, принимаемого за материальную точку, в поле тяготения осесимметричной планеты. Если ось аппликат направить вдоль ось динамической симметрии планеты, а начало координат поместить в произвольной точке этой оси, то гравитационный потенциал в стандартных обозначениях будет иметь вид
где f – гравитационная постоянная, т – масса планеты, r – модуль радиус-вектора, In – постоянный параметр, Рn – полином Лежандра n – го порядка.
Гравитационное поле планеты будем аппроксимировать полем тяготения
Уравнение движения невозмущённой задачи Баррара интегрируется в замкнутом виде в квадратурах. Канонические переменные «действие-угол» введены в работе [2] и выражены через эллиптические квадратуры.
Дифференциальные уравнения возмущённой задачи Баррара принимают наиболее простую форму, если ввести канонические переменные L, G, H, l, g, h, подобные элементам Делоне кеплеровского движения и обращаются в соответствующие элементы при с=0 [3]. Уравнения возмущённого движения в канонических оскулирующих переменных L, G, H, l, g, h будут иметь вид
Выбрав в качестве малого параметра величину μ=c 10-6, где r0 – средний радиус планеты, представим пертурбационную функцию рядом
В «Новых методах небесной механики» А. Пуанкаре [5] доказана теорема, которая в нашем случае может быть сформулирована следующим образом:
пусть движение спутника описывается приведённой системой (19), причём гамильтониан имеет вид (20). Тогда, если
— функция не зависит от угловых переменных l и g,
— гессиан функции по переменным L и G не равен тождественно нулю,
— функции являются периодическими функциями от l и g с периодом 2π,
то приведённая система уравнений не допускает никаких других независимых аналитических первых интегралов, кроме интеграла энергии =const при достаточной малости параметра μ.
Нетрудно проверить, что все условия сформулированной теоремы выполняются. Доказательство основывается на том факте, что если бы в задаче существовал однозначный интеграл, то в разложении пертурбационной функции в кратный ряд Фурье по угловым переменным все коэффициенты должны были бы обращаться в нуль. Изучение разложения R показывает, что всё это не так. Следовательно, мы должны сделать вывод о том, что приведённая система уравнений (19) не может иметь никаких аналитических однозначных интегралов, не являющихся следствием интеграла энергии и циклического интеграла (18).
Библиографический список.
- Barrar R.B. Some remarks on the motion of a satellite of an oblate planet.// Astron. Journ. 1961. V. 66, №1.
- Дёмин В.Г. Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения./ М.: Наука, 1968. стр. 122-130.
- Искакова А.М. Переменные «действие-угол» в задаче Баррара.// Аналитическая механика тел переменной массы. Алма-Ата, 1982. стр. 30-36.
- Севрюков П.Ф. О дополнительных аналитических первых интегралах возмущённой задачи Баррара.// Проблемы механики управляемого движения. Нелинейные динамические системы: Межвуз. сб. научн. трудов/ Пермь: – Перм. ун-т, 1989. стр. 142-145.
- Пуанкаре А. Новые методы небесной механики// Пуанкаре А. Избранные труды/ М.: Наука, 1971. т. 1, стр. 8-326.[schema type=»book» name=»О дополнительных аналитических первых интегралах возмущённой задачи Баррара» description=»Рассматривается задача о дополнительных аналитических первых интегралах одной известной задачи о возмущённом движении спутника в поле, задаваемом гравитационным потенциалом Баррара. Показано отсутствие дополнительных (отличных от известных) первых интегралов задачи.» author=»Севрюков Павел Фёдорович» publisher=»БАСАРАНОВИЧ ЕКАТЕРИНА» pubdate=»2017-02-01″ edition=»ЕВРАЗИЙСКИЙ СОЮЗ УЧЕНЫХ_26.09.15_10(18)» ebook=»yes» ]