В области Ω евклидова пространства , задано семейство гладких линий так, что через каждую точку Χ∈Ω проходит одна линия заданного семейства. Подвижной ортонормированный репер в области Ω выбран так, чтобы он был репером Френе [1], [2] для линии ω¹ заданного семейства. Деривационные формулы репера ℜ имеют вид:
(1)
Формы удовлетворяют структурным уравнениям евклидова пространства:
(2)
Интегральные линии векторных полей образуют сеть Френе для линии ω¹ заданного семейства. Поскольку репер ℜ построен на касательных к линиям сети , формы становятся главными, т.е.
(3)
В силу последнего равенства формулы (2) имеем:
(4)
Дифференцируя внешним образом равенство (3) получим:
Применяя формул (2) отсюда имеем:
В силу равенства (3) последнее равенство имеет вид:
или
Отсюда найдем:
или
Применяя лемму Картана [3] отсюда имеем:
или
(5)
Система величин образуют геометрический объект второго порядка.
Формулы Френе для линии ω¹ заданного семейства имеют вид:
и (6)
(7)
Здесь , , , — первая, вторая, третья и четвертая кривизны линии ω¹ соответственно (где — символ дифференцирования вдоль линии ω¹).
Псевдофокус [4] касательной к линии ω¹ сети Σ определяется следующим радиус-вектором:
(8)
На каждой касательной существуют по четыре псевдофокуса. На прямой существуют псевдофокусы , на прямой – , на прямой –, на прямой – 
Пусть сеть является циклической сетью Френе. Ее обозначим через . Псевдофокус определяется радиус-вектором:
(9)
Когда точка χ смещается в области Ω⊂, псевдофокус описывает свою область . Определяется частичное отображение такое, что
К области присоединим подвижной репер где векторы имеют вид [6]:
(10)
В общем случае эти векторы линейно независимы.
Линии называют двойными линиями отображения , если касательные к ним, взятые в соответствующих точках Χ и (Χ) пересекаются, либо параллельны [6].
Линия l называется двойной линией пары , если она является двойной линией отображения и принадлежит распределению [6].
Рассмотрим векторы .
Очевидно, эти векторы компланарны. Следовательно линия ω¹ заданного семейства является двойной линией частичного отображения .
Из условия компланарности векторов получим :
(11)
Следовательно линия ω² циклической сети Френе является двойной линией частичного отображения тогда и только тогда когда имеет место последнее равенство ( где — четвертая кривизна линии ω² циклической сети Френе).
Из условия компланарности векторовимеем :
(12)
Следовательно линия ω³ сети является двойной линией частичного отображения тогда и только тогда, когда имеют место последнее равенства (12) ( где — четвертая, — третья кривизны линии сети , т.е. ).
Аналогично имеют места следующие утверждения:
а) линия сетиявляется двойной линией частичного отображениятогда и только тогда, когда выполнены условия:
(13)
( где — вторая кривизна линиисети ).
Таким образом доказана
Теорема. Циклическая сетьФрене является сетью двойных линий частичного отображения тогда и только тогда, когда выполнены условия: (11), (12), (13), (14).
Список использованной литературы:
- Базылев В.Т. Многомерные сети двойных линий [Текст]/ В.Т. Базылев // В кн: Дифференциальная геометрия многообразий фигур, 1975. вып. 6.-с.19-25.
- Базылев В.Т. О многомерных сетях в евклидовом пространстве [Текст]/ В.Т. Базылев // Литовский математический сборник,1966.VI.№4.-С.475-491.
- Матиева Г. Абдуллаева Ч.Х. Необходимое и достаточное условия вырожденности одного частичного отображения пространства [Текст]/ Ч.Х. Абдуллаева // Научное периодическое издание «IN SITU». ISSN 2411-7161, № 6/2016.-С.5-9.
- Матиева Г. Геометрия частичных отображений, сетей и распределений евклидова пространства [Текст]/ Г.Матиева // Монография. Ош,2003.-С.212-219.
- Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ [Текст]/ П.К.Рашевский// Москва. Наука.1967.-С.481-482.
- Схоутен И.А. Введение в новые методы дифференциальной геометрии [Текст]/ И.А.Схоутен,Д.Дж.Стройк. // Москва. ИЛ.1948.Т.II-348.
- Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии [Текст]/ С.П. Фиников // М-Л.: Госттехиздат,.1948.- 432.[schema type=»book» name=»Об одной сети двойных линий в пространстве E5» description=»В области Ω⊂E5 задано семейство гладких линий так, что через каждую точку проходит одна линия заданного семейства. Подвижной ортонормированный репер , в области Ω выбран так, чтобы он был репером Френе для линии ω¹ заданного семейства. Интегральные линии ω¹векторных полей образуют сеть Френе E5. На касательной к линии ω¹ сети E5 инвариантным образом определяется точка . Когда точка Χ смещается в области Ω, точка описывает свою область в E5. Получается частичное отображение такое, что . Найдены необходимое и достаточное условия для того, чтобы циклическая сеть Френе являлась сетью двойных линий частичного отображения . » author=»Матиева Гулбадан, Абдуллаева Чолпон Хабибуллаевна» publisher=»Басаранович Екатерина» pubdate=»2016-12-12″ edition=»euroasia-science_28_28.07.2016″ ebook=»yes» ]