НЕСУЩЕСТВОВАНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ПЕРВЫХ ИНТЕГРАЛОВ В ЗАДАЧЕ О ДВИЖЕНИИ СПУТНИКА СФЕРОИДАЛЬНОЙ ПЛАНЕТЫ

Рассмотрим движение спутника, принимаемого за материальную точку, в поле движения осесимметричной планеты. Если φ и r – планетоцентрическая широта и модуль радиус-вектора, определяющие положение спутника, то в стандартных обозначениях гравитационный потенциал осесимметричной планеты будет иметь вид

,                             (1)

где f – гравитационная постоянная, т и r₀ – масса и средний экваториальный радиус планеты соответственно, J_n – безразмерные коэффициенты, Р_n – полином Лежандра п-го порядка.

Гравитационный потенциал планеты может быть представлен в виде суммы аппроксимирующего потенциала W и пертурбационной функции R;

U=W+R.                                                 (2)

В качестве аппроксимирующего потенциала W выберем потенциал обобщённой задачи двух неподвижных центров [1,2]. Этот потенциал (его ещё называют потенциалом эйлеровой задачи) W включает в себя вторую и третью полностью, а остальные зональные гармоники гравитационного потенциала частично. Члены потенциала (1), не вошедшие в W, составят пертурбационную функцию.

,                                 (3)

где j_n – часть коэффициента J_n, не учтённая аппроксимирующим потенциалом.

Уравнения движения невозмущённой эйлеровой задачи интегрируются в квадратурах [2]. Канонические переменные действие-угол введены в [1] и выражены через эллиптические квадратуры. Дифференциальные уравнения возмущённой эйлеровой задачи принимают наиболее простую форму, если ввести канонические переменные L, G, H, l, g, h, подобные элементам Делоне [1]. Уравнения возмущённого движения в канонических оскулирующих элементах L, G, H, l, g, h будут иметь вид

Ясно, что в формуле (5)  — невозмущённый гамильтониан эйлеровой задачи, R — пертурбационная функция.

Пертурбационная функция может быть записана как кратный ряд Фурье с использованием функций наклона [1] и коэффициентов Ганзена :

,      (6)

где a, e, i, ω₀, M – элементы эйлеровой орбиты, являющиеся аналогами большой полуоси, эксцентриситета, наклона, аргумента перицентра и средней аномалии кеплеровской орбиты.

Используя формулы связи элементов эйлеровой орбиты с каноническими оскулирующими элементами L, G, H, l, g, h работы [1], запишем пертурбационную функцию следующим образом:

.                        (7)

Здесь k и j – любые целые числа.

Выбрав в качестве малого параметра величину μ=r₀c^—110^-8, где c – аппликата шаровой точки инерции планеты, представим пертурбационную функцию рядом

,                                                      (8)

где каждая функция выражена через переменные L, G, H, l, g и является периодической по угловым переменным , l и g с периодом 2π:

.                    (9)

Угловая переменная h – циклическая, поэтому уравнения Гамильтона (4) допускают первый интеграл

H=Λ=сonst,                                            (10)

что даёт возможность понизить порядок первоначальной системы уравнений и получить приведённую систему

                            (11)

с гамильтонианом

                              (12)

В [3] у Пуанкаре доказана теорема, которая в нашей задаче может быть переформулирована следующим образом.

Пусть движение спутника описывается приведённой системой (11), причём гамильтониан имеет вид (12), тогда если функция H₀ не зависит от угловых переменных l и g, гессиан функции H₀ по переменным L и G не равен тождественно нулю, функции H_i – периодические от , l и g с периодом 2π, то приведённая система не допускает никаких других независимых аналитических первых интегралов, кроме интеграла энергии H=сonst при достаточной малости параметра μ.

Нетрудно проверить, что все условия сформулированной теоремы выполняются. Доказательство основывается на том факте, что если бы в задаче существовал однозначный интеграл, то в разложении пертурбационной функции в кратный ряд Фурье по угловым переменным все коэффициенты должны были бы обращаться в нуль. Изучение разложения R показывает, что это не так. Следовательно, мы должны сделать вывод о том, что приведённая система (11) не может иметь других однозначных аналитических интегралов, не являющихся следствием интеграла энергии. При этом задача о движении спутника сфероидальной планеты не будет иметь дополнительных аналитических первых интегралов, отличных от интеграла энергии и циклического интеграла (10).

Литература.

1. Аксёнов Е.П. Теория движения искусственных спутников Земли. М.: Наука. 1977. 360 с.
2. Дёмин В.Г. Движение искусственного спутника Земли в нецентральном поле тяготения. М.: Наука, 1968. 352 с.
3. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Т, 1//Пуанкаре А. Избр. Труды Т. 1. М.: Наука, С 8-326.[schema type=»book» name=»НЕСУЩЕСТВОВАНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ПЕРВЫХ ИНТЕГРАЛОВ В ЗАДАЧЕ О ДВИЖЕНИИ СПУТНИКА СФЕРОИДАЛЬНОЙ ПЛАНЕТЫ» description=»Рассматривается задача о дополнительных аналитических первых интегралах одной известной задачи о возмущённом движении спутника в поле сфероидальной планеты. Показано отсутствие дополнительных (отличных от известных) первых интегралов задачи.» author=»Севрюков Павел Фёдорович» publisher=»БАСАРАНОВИЧ ЕКАТЕРИНА» pubdate=»2017-01-03″ edition=»euroasia-science.ru_29-30.12.2015_12(21)» ebook=»yes» ]