К ЗАДАЧЕ СПИНОВОГО ЭХА В ТЕОРИИ ЯДЕРНОГО МАГНИТНОГО РЕЗОНАНСА

Введение. Затухание сигнала свободной прецессии, обусловленное неоднородностью постоянного магнитного поля, является обратимым процессом. На этом свойстве обратимости основан один из нестационарных методов ЯМР – метод спинового эха. Сущность метода заключается в наблюдении сигналов ядерной индукции при воздействии на систему спинов несколькими радиочастотными импульсами.

Если поле Н₁ включается лишь на короткое время t_w, малое по сравнению с Т₁ или Т₂, тогда m* в момент выключения еще сохраняет конечную величину. При этом возникает экспоненциально затухающая свободная прецессия вектора m, которая позволяет наблюдать сигнал в течение некоторого времени после выключения поля Н₁. Впервые данное явление обнаружил Ф.Блох [1]. Такие методы обладают большими достоинствами, поскольку сигнал наблюдается без воздействия радиочастотного поля, при этом исключаются явление насыщения, а также другие эффекты, обусловленные полем Н₁. Наблюдение сигнала упрощается, поскольку нет необходимости измерять малое напряжение сигнала в присутствии относительно большого переменного напряжения.

При экспериментальных исследованиях необходимо, чтобы времена релаксации превышали постоянную затухания радиочастотной системы Т_с (время установления колебаний):

                                                                   (1)

Следует заметить, что соотношения (1) обозначают отсутствие влияния аппаратуры (контура) на форму наблюдаемого сигнала, хотя в общем случае это не так и в действительности имеется обратное воздействие радиочастотного контура на спиновую систему.

Отметим, что принципиально новые возможности наблюдения ЯМР появляются в случаях воздействия на систему спинов нескольких радиочастотных импульсов, следующих друг за другом. Поведение ядерной намагниченности при двух импульсах, разделенных временем τ, впервые рассчитал Е.Хан [2], который также экспериментально открыл ряд эффектов. В частности, спустя время τ сек после второго радиочастотного импульса появляется сигнал, амплитуда которого зависит от τ. Данная зависимость определяется временем Т₂ и трансляционной подвижностью отдельных ядер в образце. В результате становится возможным измерять время поперечной релаксации Т₂, не искаженное влиянием неоднородностью магнитного поля.

Таким образом, метод спинового эхо применим в случае, когда:

                                                                              (2)

Метод спинового эхо является важным при исследовании процессов в жидкостях, поскольку именно жидкости характеризуются большими временами релаксации.

Следует отметить, что при добавлении третьего радиочастотного импульса, можно измерить также Т₁. Среди множества вариантов с различными комбинациями импульсов наибольшее значение имеют два: а) метод Хана с двумя-тремя импульсами [2]; б) метод Карра и Парселла [3].

Явление спинового эха можно использовать для задержки и оперативного запоминания радиочастотных сигналов. Если в двухимпульсной методике рассматривать первый импульс как информационный, а второй импульс рассматривать как управляющий (или считывающий), тогда при регулировании интервала между импульсами возможно вызвать сигнал эхо в определенный момент времени. Следовательно, спиновая система будет выполнять функцию запоминающего устройства.

Устройства для обработки информации, основанные на методе спинового эха, носят название спиновых процессоров.

Весьма важными являются случаи, когда информационный импульс является слабым (малосигнальное приближение). В этих случаях спиновая система функционирует в линейном режиме относительно информационного сигнала, в результате спиновое эхо воспроизводит сигнал по форме, но в зеркальном, т.е. обращенном во времени изображении.

Рисунок 1. Распределение во времени радиочастотных импульсов и сигналов эхо в методе Хана

Математическая теория спинового эха. Физические основы появления сигнала спинового эха достаточно хорошо демонстрируются  при помощи векторной модели [4]. На рис.1 показано распределение во времени радиочастотных импульсов и сигналов эхо в методе Хана.

В качестве математической теории используются известные уравнения Блоха [5], которые представляют собой уравнения движения магнитных моментов μ_I. В результате для трех компонент ядерной намагниченности можно записать:

                               (3)

В уравнениях (3) М – равновесная намагниченность (М = χ_IН), а М_x, М_y, М_z – мгновенные значения, намагниченности, обусловленные внешними воздействиями; Т₁ – время продольной релаксации; Т – время поперечной релаксации; γ – гиромагнитное отношение.

Действующее в плоскости ху переменное магнитное поле является линейно поляризованным (с амплитудой 2Н₁). Компоненты поля:

К уравнениям Блоха должны быть присоединены начальные условия, которые, как правило, определяются величинами М_х, М_у, М_z.

Следует отметить, что общее решение системы уравнений (3) представляет значительные трудности, поскольку величины Н_z и ω зависят от времени, т.е. система (3) представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами [6].

Известны различные подходы к решению системы уравнений Блоха. Одно из первых было решение С.Д.Гвоздовера и А.А.Магазаника [7], при котором система уравнений ЯМР сводилась к интегральному уравнению Вольтерра второго рода, решаемое методом последовательных приближений. Однако, получающиеся при этом подходе ряды обладают медленной сходимостью, в результате чего указанный подход мало пригоден для практического применения.

Следует также отметить, что все полученные результаты, как правило, относятся либо к идеализированным моделям, либо к предельным случаям медленного или

быстрого включения.

Аналитическое решение уравнений Блоха. Система уравнений Блоха с точки зрения математической физики представляет собой начальную задачу Коши для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая представляется следующим образом [6]:

Такая форма записи задачи Коши является канонической для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. К ней могут быть приведены как любые другие формы представления систем дифференциальных уравнений, разрешенных относительно старших производных, так и дифференциальные уравнения высших порядков.

Приведение дифференциальных уравнений высших порядков к нормальной системе дифференциальных уравнений осуществляется по следующей схеме.

Пусть имеется задача Коши следующего вида:

В дальнейшем к решению начальной задачи Коши применяется модифицированный метод последовательных приближений, разработанный профессором В.А.Пухлий и опубликованный им в изданиях Академии наук [8,9]. Рассмотренный в настоящем разделе модифицированный метод последовательных приближений [8,9] отличается от классического метода Пикара тем, что в процессе каждого последовательного приближения здесь не нужно удовлетворять граничным условиям задачи, которые выполняются только один раз для построенного по определенным правилам общего решения дифференциального уравнения, либо системы их. Впоследствии был также разработан вариант модифицированного метода последовательных приближений в смещенных полиномах Чебышева, который обладает существенной быстротой сходимости по сравнению с прежним вариантом.

Запишем систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с переменными коэффициентами в нормальной форме Коши:

В дальнейшем удовлетворяя начальным условиям, получим систему однородных алгебраических уравнений относительно произвольных постоянных , решение которой и определяет спектр значений безразмерных частот λ_m.

Анализ полученных результатов.         Предварительно следует отметить, что при численной реализации разработанного решения начальной задачи Коши, используемые уравнения Блоха должны быть представлены в безразмерной форме.

При переходе в уравнениях Блоха к безразмерным величинам, необходимо выразить все магнитные моменты через равновесную намагниченность M = γ₁Н,

В целом ряде работ Г.Пфайфера исследовались сигналы эхо методом Ха-

на в маловязких жидкостях (дистиллированная вода, раствор нитрата железа, 0,02 М-раствор CuSO₄). В частности, в [10], экспериментально было установлено, что наибольшая амплитуда сигнала наблюдается при:

Следует отметить, что условие (31) удовлетворяется подбором величины Н₁ или t_w. Проведенные расчеты справедливы для случая, когда частота радиочастотного поля совпадает со средней резонансной частотой образца ω₀. Г.Пфайфер вычислил зависимость амплитуды эхо от Δω = ω – ω₀ [10]. Если в выражении (31) n = 0 амплитуда эхо имеет единственный максимум при Δω = 0.

Ширина кривой  будет различной в зависимости от того, принято ли значение ξ равным 2π/3 или 4π/3. При n = 1 появляются кроме того, боковые мак-симумы, симметричные относительно Δω = 0. На рис.2 представлены расчетные кривые, которые были подтверждены и экспериментально. Результаты авторов представлены кривыми с кружочками. Как следует из рис.2 совпадение достаточно близкое.

На рис.3 представлены величины амплитуды спинового эхо в случае резонанса как функция от  . Результаты авторов показаны на рис.3 кривыми с кружочками.

Через δω(t’) обозначалось отклонение частоты прецессии одного спина к моменту t’ от среднего значения ω₀. Все ядра, находящиеся в одинаковом магнитном поле и следовательно имеющие одинаковые δω(t’), объединялись в одну изохроматическую группу [11].

В заключение следует особо подчеркнуть, что при измерении слабых магнитных полей, в частности, магнитного поля Земли, преимущество методов спинового эхо состоит в том, что при помощи вспомогательного поля искусственно увеличивается величина ядерной намагниченности, вследствие чего удается наблюдать ядерную индукцию в полях ниже 0,5 гс. На этом принципе были разработаны магнитометры для измерения земного поля [12, 13], которые независимо от точной ориентации всегда дают абсолютное значение магнитного поля. Данные магнитометры возможно использовать на самолетах для быстрой оценки распределения магнитного поля Земли. Важным является также тот факт, что поскольку ошибка измерения частоты обратно пропорциональна времени, в течение которого осуществляется измерение, то при этом точность измерения ограничивается величиной Т₂, т.е. ошибка измерения определяется следующим соотношением:   .

Экспериментальный прибор является очень простым, поскольку не требуется модуляции и, кроме того, точное значение и однородность поля Н_h не играют существенной роли.

Выводы

1. Предложен аналитический подход к решению задач спинового эха Хана в теории ядерного магнитного резонанса.
2. Для решения начальных задач Коши, описываемых уравнениями Блоха, применяется модифицированный метод последовательных приближений [8,9].
3. Полученные результаты сравниваются с известными теоретическими и экспериментальными результатами других авторов. Отмечается хорошее совпадение.

Список литературы:

1. Bloch F. Nuclear induction. – Phys. Rev., 1946, vol.70, p.460.
2. Hahn E.L. Spin-echos. – Phys. Rev., 1950, vol.80, №4, p.580-594.
3. Carr H.Y., Parcell E.M. Effects of Diffusion on free precession in nuclear resonance experiments. – Phys. Rev., 1954, vol.94, №3, p.630-638.
4. Лёше А. Ядерная индукция. – М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1963. – 681 с.
5. Bloch F., Wangsness R.K. Дифференциальные уравнения ядерной индукции. – Phys. , vol.78, 1950, p.82.
6. Пухлий В.А. Численные методы. Теория и практика в среде MATLAB. В 2-х томах. Том I. – Севастополь, изд-во «Черкасский ЦНТЭИ», 2007. – 412 с. Том II. – Севастополь, Изд-во «Черкасский ЦНТЭИ», 2008. – 762 с.
7. Гвоздовер С.Д., Магазаник А.А. Изучение парамагнетизма атомных ядер методом магнито-спинового резонанса. – Журн. экспер. и теорет. физики, том 20, вып.8, 1950, с.705-721.
8. Пухлий В.А. Метод аналитического решения двумерных краевых задач для систем эллиптических уравнений. – Журн. вычисл. матем. и матем. физики, 1978, том 18, №5, с.1275-1282.
9. Пухлий В.А. Об одном подходе к решению краевых задач математической физики. – Дифференциальные уравнения, 1979, том 15, №11, с.2039-2043.
10. Pfeifer H. Die amplitude des primären Echos bei der Hahnschen Spin-Echo-Methode. – Annalen der Physik, Band 17. Heft 1, 1955, s.23-27.
11. Das T.P., Saha A.K. Математический анализ экспериментов по спиновому эхо методом Хана. – Phys. , vol.93, 1954, p.749.
12. Waters G.S., Philips G. Новый метод измерения магнитного поля Земли. – Geophys. prospecting., vol.4, 1956, p.1.
13. Zimmerman J.R., Williams D. Использование атома водорода в фотомагнитометрической съемке. – Oil and Gas, vol. 88, 1955.[schema type=»book» name=» К ЗАДАЧЕ СПИНОВОГО ЭХА В ТЕОРИИ ЯДЕРНОГО МАГНИТНОГО РЕЗОНАНСА» description=»Рассматривается метод спинового эха Хана. Для решения начальной задачи Коши, состоящей из уравнений Блоха, предлагается аналитический подход, основанный на модифицированном методе последовательных приближений. Полученные результаты сравниваются с известными теоретическими и экспе-риментальными значениями. Отмечается хорошее совпадение.» author=»Пухлий Владимир Александрович, Ковалев Николай Ильич» publisher=»БАСАРАНОВИЧ ЕКАТЕРИНА» pubdate=»2017-02-20″ edition=»ЕВРАЗИЙСКИЙ СОЮЗ УЧЕНЫХ_25.07.15_07(16)» ebook=»yes» ]