ВВЕДЕНИЕ:
В работе предлагается нелинейная форма зависимости напряжений в однородном прямолинейном стержне от относительных деформаций, аналогично тому, как это было сделано в [1]. На основании этой зависимости выводится волновое нелинейное уравнение распространения продольных волн в упругом стержне. Получена схема распространения скачка напряжений в стержне. Исследуются случаи распространения волн разгрузки и нагрузки в стержне.
1 — НЕЛИНЕЙНОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ.
При выводе нелинейного волнового уравнения будет использована нелинейная форма зависимости напряжения в стержне от относительных деформаций. Эту зависимость можно получить на основании уравнения состояния воды в форме Тета [2]:
, (1.1),
где p, ρ соответственно давление и плотность воды, начальная плотность и давление воды, соответственно, постоянная атм; . Вводя переменную уравнение может быть приведено к виду:
, (1.2).
Ниже будет получена нелинейная форма зависимости напряжений в стержне от относительных деформаций, аналогичная формуле (1.2). При получении этой зависимости нам потребуется соотношение для величины относительных деформаций в стержне e(x,t), в зависимости от величины перемещения u(x,t) точек стержня от некоторого исходного положения смотри рисунок.
Рис 1.
Для линейного закона Гука абсолютная величина напряжений для деформаций растяжения и сжатия одна и таже для равных абсолютных величин относительных деформаций растяжения и сжатия. Распространим это свойство на случай нелинейной зависимости напряжений от деформаций, вводя абсолютную величину относительных деформаций e(x,t) по формуле
(1.3).
Переходя к пределу в (1.3) при Δx стремящемся к нулю получим e′(x,t величину модуля скорости деформации :
(1.4).
Очевидно, что для малых значений Δx с точностью до малых имеем:
(1.5).
Очевидно что для деформаций растяжения , а для деформаций сжатия .
По аналогии с соотношением (1.2) введём нелинейную форму зависимости напряжений в стержне от величины относительных деформаций :
(1.6),
Здесь при отсутствии деформаций (e=0).
Очевидно что для малых относительных деформаций e(x,t) из (1.6) получаем линейный закон Гука:
(1.7),
здесь ρ — плотность стержня, — модуль Юнга для стержня. Из двух постоянны B и n, произведение которых равно модулю Юнга E, одну можно выбрать таким образом, что бы соотношение (1.7) соответствовало экспериментальным данным. Из соотношения (1.6) получим формулу для квадрата скорости a(x,t) распространений малых возмущений в стержне
(1.8).
Для вывода волнового уравнения нелинейного распространения волн в стержне запишем формулу второго закона Ньютона для массы участка струны , рис 1. :
(1.9),
Здесь σ площадь поперечного сечения стержня, и напряжения на правом и левом конце рассматриваемого участка, соответственно. Запишем формулу Лагранжа конечных приращений для разности ¯ в некоторой точке ξ, при этом частную производную вычислим с использованием соотношений (1.6) и (1.5). После проведения элементарных вычислений, с учётом того что e(x,t) =‾ для деформаций сжатия устремляя Δx к нулю из (1.9) получим нелинейное волновое уравнение распространения волн в стержне:
(1.10),
здесь e=. Очевидно, что для случая линейного закона Гука (n=1) из (1.10) получаем известное линейное волновое уравнение.
2-РАСПОСТРАНЕНИЕ ВОЛНЫ РАЗГРУЗКИ В СТЕРНЕ.
Рассмотрим задачу о мгновенном снятии данной нагрузки растяжения с левого конца стержня AA′, который совпадает с началом Ο оси ΟX а правый конец BB′ неподвижно закреплён в вертикальной стенке смотри рис 2.
Рис 2.
Предполагается, что длина нагруженного стержня равна l, а длина стержня в ненагруженном состоянии равна l0. Очевидно, что:
(2.1),
где площадь поперечного сечения стержня в ненагруженном и нагруженном состоянии соответственно. При мгновенном снятии нагрузки от левого конца стержня к правому побежит волна разгрузки с некоторой постоянной скоростью N>0, на которой испытывают скачок площади поперечных сечений и скорости. Ясно, что скорости частиц стержня перед волной CC′ равны нулю, а слева от неё некоторому постоянному значению ν. Для определения N и ν запишем законы сохранения массы и изменения количества движения на волне CC′ для некоторого интервала времени . Очевидно, что эти законы запишутся в виде соотношений:
(2.2),
(2.3).
Из соотношения (2.2) находим и, подставляя затем это значение в уравнение (2.3) получим:
(2.4),
Полученное соотношение (2.4) аналогично известному соотношению в газовой динамике для скорости распространения ударной волны [3]. Примем далее во внимание, что рассматривается случай малых деформаций стержня т.е.
3-РАСПОСТРАНЕНИЕ РАСТЯГИВАЮЩЕЙ ВОЛНЫ НАЗГРУЗКИ В СТЕРНЕ.
Рассмотрим задачу о распространении растягивающей волны нагрузки CC′ под действием приложенного в момент t=0 усилия T к левому концу стержня AA′ начальная длина которого равна а площадь поперечного сечения . Очевидно, что по заданному значению определяется по (1.6) можно найти σ,e и конечную длину l растянутого стержня. В рассматриваемом случае справа от волны CC′ распространяющейся по стержню со скоростью N величина скорости частиц, площади поперечного сечения, напряжения скачком меняется от 0, , 0 — соответственно до значений ν, σ, p(σ) слева от волны CC′. Также как и в предыдущем пункте запишем законы сохранения массы и изменения количества движения на волне CC′ на бесконечно малом интервале времени :
Выберем в качестве параметра ε малую деформацию e, тогда
Вычислим конечную длину растянутого стержня
Учитывая полученные значения , находим значение .
Список литературы:
- Шарый В.А ,Себельдин А.М., Мансаре В. Европейский союз ученых Москва 27-30 декабря 2014 часть3 стр.11-13.
- Гриб А.А., Шарый В.А. «Распространение ударной волны в водоёме с наклонным дном» Вестник ленинградского университета; 1974, №3, 74-81.
- Станюкович К.П. «Неустановившиеся движения сплошной среды» Наука, 1971, 854 стр.[schema type=»book» name=»К ЗАДАЧЕ О НЕЛИНЕЙНОМ РАСПРОСТРАНЕНИИ ВОЛН В УПРУГОМ СТЕРЖНЕ.» description=»Предлагается нелинейная форма зависимости напряжений в упругом теле от деформаций. Получено нелинейное волновое уравнение распространения упругих волн в однородном стержне. Рассматриваются задачи о распространении волн разгрузки и нагрузки в стержне.» author=»Шарый Владимир Александрович, Пайков Владимир Иванович» publisher=»Басаранович Екатерина» pubdate=»2016-12-14″ edition=»euroasia-science_6(27)_23.06.2016″ ebook=»yes» ]