При решении ряда волновых задач в упругих средах существенное значение имеет нелинейный характер распространения в них малых возмущений. В работе предлагается нелинейная форма известного закона Гука для упругих сред, в которой нормальные напряжения представлены в виде степенной функции деформаций с показателем n³1. Предлагаемая нелинейная форма закона Гука позволяет получить нелинейное волновое уравнение колебаний струны, которое решается асимптотическими методами.
- Нелинейная форма закона Гука.
Модель нелинейного закона Гука выбирается по аналогии с уравнением состояния воды в форме Тэта [2] и имеет вид:
p=B[(l/l0)n—1], (1.1)
где p нормальное напряжение струны, l0 и l начальная и конечная длина рассматриваемого фрагмента струны, n³1, B константа, физический смысл которой, будет уточнен ниже. Для удобства введем функцию деформаций
e(x,t)=(l—l0) /l0 (1.2)
Откуда получаем
p=B[(1+e)n—1], (1.3)
Для малых деформаций из (1.3) получаем
p=r(a0)2e+O(e), e=O(e), (1.4)
где r плотность струны, e малый параметр задачи, (a0)2=Bn/r=j/r откуда виден физический смысл параметров и в формуле (1.1). Из (1.3) и (1.4) видно, что главная часть нелинейной формы закона Гука при малых деформациях совпадает с линейным законом Гука (1.4). Очевидно, что Bn=j, где j известный модуль Юнга материала струны. Следовательно, одну из констант B и n можно выбирать произвольным образом для лучшего приближения экспериментальных данных. Дифференцируя (1.3) по re получаем формулу для нелинейного характера распространения малых возмущений в струне:
a2=(a0)2(1+e)n-1 (1.5)
Очевидно, что для n=1 нелинейная форма закона Гука (1.3) переходит в линейную (1.4).
- Нелинейное волновое уравнение колебаний струны.
При получении нелинейного волнового уравнения колебаний струны будем использовать те же самые предположения о порядках малости величин, которые имеют место в линейном случае. Уточним одно из них, полагая, частная производная ux=O(e1/2), где малый параметр e (0<e«1) выбирается в зависимости от типа начальных и граничных условий.
При выводе уравнения будем использовать известные соотношения для элементарной дуги ds (см. рисунок):
ds=(1+(ux)2)1/2dx (2.1)
Из (2.1) и (1.2) получаем :
e(x,t)=1/2(ux)2+O(e2) (2.2)
Запишем векторную форму второго закона Ньютона для массы dm=rsdx элемента дуги ds, где r площадь поперечного сечения струны, в проекции на касательную к элементу ds в его начале. Направление единичного вектора на касательной выбрано в соответствии с неравенством , где единичный вектор оси ox. Получаем
rsutt dx=s(p2—p1), (2.3)
где единичный вектор оси ou, utt вторая частная производная от u(x,t) по t, с принятой степенью точности =ux . Заменим разность p2—p1 в (2.3) по формуле Лагранжа конечных приращений, при этом частная производная px=ex вычисляется по формулам (1.5) и (2.2). После вычислений получаем нелинейное уравнение колебаний струны:
utt=a2uxx , (2.4)
где a2 вычисляется по формуле (1.5), а функция деформаций e(x,t)=1/2(ux)2.
Очевидно, при n=1 нелинейное уравнение (2.4) дает классическое линейное
utt=(a0)2uxx .
- Постановка задачи.
Рассматривается задача об определении движения струны с закрепленными концами при заданной скорости движения одной из ее точек, которую мы примем за начало системы координат xOu. Движение рассматривается для моментов времени пока волны, порождаемые движущейся точкой, не достигли одного из концов струны. Для определенности, рассмотрим движение части струны, где x³0. Скорость движения упомянутой выше точки v(0,t) задается формулой:
v=(e)1/2a0f(t), (3.1)
где (e)1/2=v*/a0 , v*— максимальное значение точки струны x=0, f(t) заданная безразмерная функция, f(0)=0, f(t)>0, f¢(t)>0, t>0, f(t)=O(1). Заменим нелинейное уравнение (2.4) эквивалентной ему системой двух уравнений, полагая, ut=v, v=a0M, ux=—, последнее соотношение получается из формулы (2.2) записанной в виде , где на основании геометрической картины движения струны ux<0:
- Нелинейное решение.
В области порядка O(e1/2) прилегающей к характеристике x=a0t происходит кумуляция малых возмущений, в результате чего, порядок производных искомых функций становится равным O(1), и следует учитывать нелинейные члены в системе (3.2). Этот учет произведем следующей заменой переменных:
e1/2d=a0t—x, t’=e1/2t, d=O(1), t’=O(1). (5.1)
Представим искомые функции системы (3.2) асимптотическими разложениями:
M(x,t,e)=e1/2M1(d,t’)+…, M1=O(1) (5.2)
(2e(x,t.e))1/2=e1/2e1(d,t’)+…, e1=O(1). (5.3)
После замены искомых функций системы (3.2) разложениями (5.2), (5.3) и приравнивания групп членов с одинаковыми степенями e нулю получаем:
(M1)d—(e1)d=0 (5.4)
2(M1)t’ — a0(n—1)(1/2)(e1)2(e1)d =0. (5.5)
Интегрируя (5.4) и удовлетворяя условию Б), получаем:
M1=e1 (5.6)
Заметим, что в области линейного решения выполняется то же соотношение (4.4). Это облегчает процедуру сращивания линейного и нелинейного решений, которая будет проведена ниже. Заменяя в (5.5) e1 на M1 , получаем:
(M1)t’ — a0(n—1)(1/4)(M1)2(M1)d =0. (5.7)
Интегрируя (5.7) имеем:
M1=F([(d/a0)+(n—1)(1/4)(M1)2t’]e1/2), (5.8)
где F произвольная функция. Срастим линейное решение (4.6) с нелинейным (5.8) методом сращиваемых асимптотических разложений [1]. В соответствии с ним, произвольная функция F выбирается из условия:
lime®0[F(t—x/a0+(1/4)(n—1) )(M1)2te)— f(t—x/a0)], (5.9)
где x,t фиксированы. Из (5.9) следует:
F(t—x/a0)=f(t—x/a0) (5.10)
На основании (5.10) нелинейное решение (5.8) имеет вид:
M1=f([(d/a0)+(n—1)(1/4)(M1)2t’]e1/2),
или в переменных x,t
M1=f((1+(n—1)(1/4)(M1)2e)t—x/a0). (5.11)
Полученное нелинейное решение (5.6) и (5.11) с прямолинейными характеристиками
(1+(n—1)(1/4)f2e)(t—t)—x/a0=0, (5.12)
на которых M1 и e1 постоянны, является аналогом простых волн Римана [3] газовой динамики. Заметим, что дифференциальное уравнение
x¢t=a0(1+(n—1)(1/4)(e1)2e)
характеристик, распространяющихся в положительном направлении оси ox, вычисленное по исходному волновому уравнению (2.4), совпадает с дифференциальным уравнением характеристик нелинейного уравнения для первого приближения (5.7), с учетом (5.6). При сделанных предположениях в (3.1) семейство характеристик (5.12) имеет огибающую с параметрическими уравнениями
t=(A/A¢)+t, x/a0=A2/A¢ (5.13)
где A=1+(n—1)(1/4)f2e. Огибающая имеет точку возврата, для которой параметр t* вычисляется из уравнения:
2(A¢)2— AA¢¢=0, (5.14)
где производные вычисляются по параметру t. Уравнение (5.14) получается из условия обращения в бесконечность кривизны огибающей (5.13) в точке возврата. Нетрудно показать, что искомые функции M1 и e1 становятся многозначными в некоторой окрестности огибающей. Исследование движения в этой окрестности можно провести с помощью введения поверхностей, на которых функции M1 и e1 претерпевают разрыв, т.е. с помощью некоторого аналога ударных волн в газовой динамике.
Список литературы:
- Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости: монография. М., 1967. ¾ 310 с.
- Гриб А.А., Шарый В.А. Распространение ударной волны в водоеме с наклонным дном. Вестник ЛГУ. 1974, 3, 74-81.
- Станюкович К.П. Неустановившиеся движения сплошной среды: монография. Наука, 1971. ¾ 854 с.[schema type=»book» name=»ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН В СТРУНЕ АСИМПТОТИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ » author=»Шарый Владимир Александрович, Себельдин Анатолий Михайлович, Мансаре Баба» publisher=»БАСАРАНОВИЧ ЕКАТЕРИНА» pubdate=»2017-06-13″ edition=»ЕВРАЗИЙСКИЙ СОЮЗ УЧЕНЫХ_ 30.12.2014_12(09)» ebook=»yes» ]