АСИМПТОТИКА ГИДРАВЛИЧЕСКОГО СКАЧКА НА МЕЛКОВОДЬЕ

В данной статье исследуется асимптотическое поведение гидравлического скачка в условиях теории мелкой воды, то есть, когда отношение

h₀/L=e   (0<e «1)

выполняется для рассматриваемой гидравлической волны в условиях мелководья. Здесь h₀  –  глубина невозмущенного океана, L – длина волны, а e  –  малый  параметр задачи.

1. Постановка задачи.

В некоторый момент времени, который мы примем за начальный t=0, фронт волны достигает точки O (см. рисунок), справа от которой глубина океана начинает медленно убывать.

Известно, что в случае прямолинейного дна в условиях мелководья, вертикальная компонента скорости жидкости имеет более высокий порядок малости чем горизонтальная  v, и течение в таких волнах с точностью до малых  O(e²) является одномерным. Как было отмечено в [1], движение жидкости в случае прямолинейного дна описывается адиабатической нестационарной системой уравнений (1.1) Ù(1.2) газовой динамики с показателем адиабаты æ=2:

 v_t + vv_x+2aa_x/(æ—1)=0                                      (1.1)

a_t + va_x+(1/2)(æ—1)av_x=0,                                     (1.2)

где индексами обозначены частные производные,  a=(gh)^1/2, g —  ускорение силы тяжести, h=h(x,t) —  высота волны по отношению ко дну океана.  Скорость звука a в теории мелкой воды может быть вычислена по формуле:

a²=dP/drh=gh,                                             (1.3)

где P —  сила давления воды в нормальном сечении волны единичной ширины l=1  и высоты  h(x,t), r — плотность воды. Отметим, что  P  вычисляется по формуле гидростатического давления:

p=p₀+rg(h—z),                                                (1.4)

где  p₀ — атмосферное давление на поверхности воды, а  p —  гидростатическое давление жидкости. Приведем обобщение системы (1.1)Ù(1.2) на случай криволинейного дна:

z=h₀j(x,e)=eh₀j₁(x)+O(e²),                                        (1.5)

где j(0)=0, j(x)>0 при x>0, (j(x)=0, x<0), j¢(x)>0 при x>0, j₁(x)=O(1). Функция скорости  a*  для случая криволинейного дна вычисляется из соотношения для силы давления воды  P*  в нормальном сечении волны единичной ширины и высоты  h*(x,t):

P*=(1/2)rg(h*)²,                                               (1.6)

где высота волны h*(x,t) задается формулой:

h*=h₀(1+h—j),                                                  (1.7)

здесь h₀h(x,t) — высота волны по отношению к невозмущенной поверхности воды (см. рисунок). Будем предполагать, что h(x,t)=O(e). Из (1.6) получаем:

(a*)²=dP*/drh*=gh*.                                                  (1.8)

Положим, что:

a*=a₀(1+a*),                                                  (1.9)

где a*(x,t)=O(e). Из (1.7)-(1.9) следует:

2a*=h—j.                                                  (1.10)

Система уравнений (1.11) Ù (1.12), описывающая движение волны, получается из законов сохранения массы и изменения количества движения, записанных для элементарного объема ограниченного двумя нормальными сечениями единичной ширины, расстояние между которыми равно dx, нижнее основание объема покоится на криволинейном дне, а верхнее совпадает со свободной поверхностью воды:

v_t + vv_x+2a*a_x/(æ—1)+h₀gj¢(x)=0                                 (1.11)

(a*)_t + v(a*)_x+(1/2)(æ—1)a*v_x=0.                                  (1.12)

Последнее слагаемое в (1.11) задает реакцию дна. Ясно, что, если j(x)º0, то система (1.11)Ù(1.12) переходит в (1.1)Ù(1.2). Будем искать асимптотическое решение системы (1.11)Ù(1.12)  при следующих граничных и начальном условиях:

А) На криволинейном дне нормальная составляющая скорости частиц жидкости v_n  должна равняться нулю. Учитывая, что v_n=vcosb+wcosg,  b и g   углы между нормалью к поверхности дна и осями ox и oz соответственно, а w — вертикальная составляющая скорости, w=O(e²), имеем v_n=0  с точностью до малых O(e²).

Б) На фронте волны искомые функции испытывают разрывы, соотношения для которых будут определены ниже.

В) Для получения начального условия предполагается, что профиль волны известен при t=0  т.е. h(x,0)=ef(x). Из (1.10) получаем начальные условия:

2a*(x,0)=ef(x),                                                  (1.13)

где f(x)>0  при x£0.

2. Линейное решение.

Всюду в дальнейшем будем предполагать, что:

j¢(x)=O(e²).

В области изменения искомых функций будем искать решение системы (1.11)Ù(1.12)  в виде асимптотических разложений:

M(x,t,e)=eM₁(x,t)+e²M₂(x,t)+…                                (2.1)

a*(x,t,e)=ea₁*(x,t)+e²a₂*(x,t)+…                                (2.2)

h(x,t,e)=eh₁(x,t)+e²h₂(x,t)+…                                (2.3)

 Подставляя (2.1)-(2.3) в (1.11), (1.12) получаем:

(M₁)_t+2a₀(a₁*)_x(æ—1)^-1=0                                        (2.4)

2(a₁*)_t(æ—1)^-1+a₀(M₁)_x =0.                                       (2.5)

Исключая из (2.4), (2.5) M₁  получаем волновое уравнение для a₁*:

(a₁*)_tt =a₀²(a₁*)_xx                                                 (2.6)

Начальные условия для (2.6) получаем из (1.13):

 2a₁*(x,0)=f(x).                                                  (2.7)

Решение уравнения (2.6) удовлетворяющее (2.7) имеет вид:

2a₁*=f(x—a₀t), при   x£a₀t.                                             (2.8)

Функцию M₁  можно получить, интегрируя уравнение (2.4), где a₁* из (2.8). Полагая равной нулю произвольную функцию интегрирования (это в дальнейшем позволит срастить линейное и нелинейное решения), имеем:

M₁=f(x—a₀t), при   x£a₀t                                               (2.9)

Из (2.8), (2.9) и (1.10) получаем соотношение

M₁=h₁—j₁ ,                                                      (2.10)

которое выполняется всюду в области применимости линейного решения. Как следует из (2.9) на граничной характеристике линейного решения x=a₀t, имеем M₁=f(0),  f(0)>0 т.е. M₁(x,t) испытывает скачок равный  f(0), что противоречит понятию характеристики. Этот дефект линейного решения можно устранить введением нелинейного решения в области, прилегающей к фронту волны, получив предварительно условия на фронте аналогичные условиям на ударных волнах в газовой динамике. Заметим, что в линейном приближении высота волны eh₀h₁(x,t) над невозмущенной поверхностью воды задается формулой:

eh₀h₁(x,t)=eh₀(f(x—a₀t)+j₁(x)).

3. Условия на гидравлических прыжках.

Условия на гидравлических прыжках могут быть получены из законов сохранения массы и изменения количества движения, и имеют вид:

rh₀(1+h—j)(N—v)=rh₀(1—j)(N—v^—)                                    (3.1)

rh₀(1—j)(N—v^—)(v—v^—)= P*— P_—*,                                       (3.2)

где  N —  скорость фронта волны,  v^— —  скорость воды справа на фронте, которая получается аналогичным образом при нахождении значения M₁ из (2.6), (2.4) и начального условия (2.7) записанного теперь для x³0:

2a₁*(x,0)=—j₁(x).                                                  (3.3)

После проведения указанных вычислений, получаем:

v^—=—a₀ej₁(x).

В (3.2) P* вычисляется по (1.6), а  P_—* вычисляется из (1.6), где h=0. Асимптотическое представление  системы (3.1)Ù(3.2) имеет вид:

M₁=h₁—j_{1 ,}                                                      (3.4)

N₁=a₀(1+(1/4)(æ+1)M₁e—(1/4)(æ+1)j₁e),                                  (3.5)

заметим, что

eh₁=(P*— P_—*)/æP_—*.                                            (3.6)

Очевидно, что если в (3.4)Ù(3.5) j(x)º0, то получим соотношения, аналогичные известным соотношениям в газовой динамике [2].

4. Нелинейные решения.

Построим нелинейное решение в области порядка O(e) прилегающей к фронту волны. В этой области введем переменные d, t’ по формулам:

ed=(x—a₀t),  t’= t, d=O(1),                                    (4.1)

и будем искать решение системы (1.11)Ù(1.12) в виде асимптотических разложений:

M(x,t,e)=eM₁(d,t’)+…                                       (4.2)

a*(x,t,e)=ea₁*(d,t’)+…                                        (4.3)

h(x,t,e)=eh₁(d,t’)+…

где M₁(d,t’)=O(1), a₁*(d,t’)=O(1), h₁(d,t’)=O(1). Используя (4.2), (4.3) в (1.11)Ù(1.12), имеем:

M₁=2a₁*(æ—1)^-1+y(t’)                                        (4.4)

(M₁)_t’ +a₀M₁(M₁)_d + 2a₀a₁* (a₁*)_d (æ—1)^-1=0,                             (4.5)

где y(t’) — произвольная функция интегрирования. Полагая y(t’)º0, получаем:

M₁=2a₁*(æ—1)^-1.                                              (4.6)

Используя (4.5),  (4.6), имеем:

(M₁)_t’ +(1/2)a₀ (æ+1)M₁(M₁)_d =0.                                   (4.7)

Общее решение уравнения (4.7) записанное в переменных x, t имеет вид:

M₁=F(x—a₀t—(1/2)a₀ (æ+1)eM₁t),                                   (4.8)

где F — произвольная функция своего аргумента, которая получается из сращивания нелинейного решения (4.8) с линейным (2.9) по методу Ван-Дайка [3]. В соответствии с этим методом находим главную часть m₁ нелинейного решения (4.8) при малых e :

m₁=F(x—a₀t).                                           (4.9)

Затем находим главную часть линейного решения (2.9), которое совпадает с самим решением. Приравнивая главные части решений, получаем значение произвольной функции:

F(s)=f(s).

Используя это соотношение в (4.8), приходим к формуле нелинейного решения:

M₁=f(x—a₀t(1+ (1/2)(æ+1)eM₁)).                                   (4.10)

Заметим, что построенное нелинейное решение удовлетворяет условию на фронте волны (3.4). Действительно, это условие можно получить из сравнения (1.10) и (4.6). Очевидно, что условие  (3.4) выполняется во всей области возмущенного движения жидкости. Отметим, что если j(x)º0, то рассматриваемая задача имеет точное решение типа волны Римана, удовлетворяющее условию h(x,0)=ef(x). В рассматриваемой задаче построенное асимптотическое решение (4.10) при j(x)® 0, совпадает с главной частью Римановского решения.

5. Асимптотика эволюции гидравлического прыжка.

Всюду далее, будем предполагать, что начальный профиль волны является линейным и задается уравнением:

f(s)=f¢(0)s+f(0),                                              (5.1)

где  s£0, f(0)>0, f¢(0)>0. Кроме этого, считаем, что

при x®+µ  функция j₁(x)® q,

где заданная положительная константа  q удовлетворяет условию eq<1.

Дифференциальное уравнение движения фронта волны получается из  (3.5) :

d(x—a₀t)/dt = a₀(1/4)(æ+1)M₁e — a₀(1/4)(æ+1)j₁e,                        (5.2)

где M₁  вычисляется из (4.10) и (5.1):

M₁ = f¢(0)(x—a₀t+f(0)/f¢(0))/(1+ a₀(1/2)(æ+1)f¢(0)et).                       (5.3)

Учитывая  (5.3) и, что при больших значениях x  будет j₁(x)~q, уравнение фронта (5.2) принимает вид:

d(x—a₀t)/dt=a₀(1/4)(æ+1)e[ f¢(0)(x—a₀t+f(0)/f¢(0))/(1+a₀(1/2)(æ+1)f¢(0)et)—q].    (5.4)

Интегрируя (5.4), получаем траекторию фронта для больших t :

x=a₀t(1—(1/2)(æ+1)qe)+C(1+a₀(1/2)(æ+1)f¢(0)et)^1/2—(f(0)+q)/f¢(0),          (5.5)

где  C — постоянная интегрирования. Используя (5.5) в (5.3), получаем, что для больших значений x  функция  M₁(x,t) задается выражением:

M₁ = f¢(0)C(1+a₀(1/2)(æ+1)f¢(0)et)^—1/2— q.                       (5.6)

Используя (3.4) и (3.6)  в (5.6) получаем:

(P*— P_—*)/æP_—*= f¢(0)C(1+a₀(1/2)(æ+1)f¢(0)et)^—1/2.                 (5.7)

Положим, что при больших значениях x предельное значение P_—* равно P_l*, где

P_l*=(1/2)rg(h₀)²(1—eq)².

Учитывая, что при больших значениях t, из (5.5) вытекает x~a₀t,  и поэтому соотношение (5.7) принимает вид:

P*~ P_l*+C*x^—1/2,                                            (5.8)

где константа C* получается из  C  умножением на некоторые положительные параметры задачи. Заметим, что (5.8) аналогично известному закону затухания плоских ударных волн Ландау:

p~p₀+Cx^—1/2,

где p₀ и  p — давление перед ударной волной и за ней соответственно.

Список литературы:

1. Станюкович К.П. Неустановившиеся движения сплошной среды: монография. Наука, 1971. ¾ 854 с.
2. Гриб А.А., Шарый В.А. Распространение ударной волны в водоеме с наклонным дном. Вестник ЛГУ. 1974, 3, 74-81.
3. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости: монография. М., 1967. ¾ 310 с.[schema type=»book» name=»АСИМПТОТИКА ГИДРАВЛИЧЕСКОГО СКАЧКА НА МЕЛКОВОДЬЕ » author=»Шарый Владимир Александрович, Себельдин Анатолий Михайлович» publisher=»БАСАРАНОВИЧ ЕКАТЕРИНА» pubdate=»2017-03-24″ edition=»ЕВРАЗИЙСКИЙ СОЮЗ УЧЕНЫХ_30.04.2015_4(13)» ebook=»yes» ]