Введение канонических переменных «действие-угол» в возмущённой задаче Баррара.

Рассмотрим движение спутника, принимаемого за материальную точку, в поле тяготения осесимметричной планеты. Если ось аппликат направить вдоль ось динамической симметрии планеты, а начало координат поместить в произвольной точке этой оси, то гравитационный потенциал в стандартных обозначениях будет иметь вид

                                   (1)

где f – гравитационная постоянная, т – масса планеты, r – модуль радиус-вектора, I_n – постоянный параметр, Р_n – полином Лежандра n – го порядка.

Гравитационное поле планеты будем аппроксимировать полем тяготения Баррара [1, 2]. При этом начало координат поместим в шаровую точку инерции планеты, тогда I₁=с. Это значение составляет аппликату центра масс планеты, I₂=0, а потенциал Баррара запишется следующим образом:

Задача Баррара полностью учитывает возмущающий эффект второй зональной гармоники гравитационного потенциала планеты. Уравнение движения невозмущённой задачи Баррара интегрируется в замкнутом виде в квадратурах. [2]

В сферических координатах r, φ, λ решение невозмущённой задачи Баррара имеет вид

В формулах (5)-(13) а, e, i, Ω, v, ω являются аналогами большой полуоси, эксцентриситете, наклона орбиты, долготы восходящего узла, истинной аномалии и аргумента перицентра кеплеровской орбиты для задачи Баррара и переходят в кеплеровские элементы про с=0.

Канонические переменные «действие-угол» введены в работах [2, 3] и выражены через эллиптические квадратуры.

В соответствии с ранее принятыми обозначениями в сферических координатах r, φ, λ функция Гамильтона невозмущённой задачи Баррара может быть записана в виде

Здесь канонические импульсы определены стандартным образом, а потенциал W определяется формулой (2).

Уравнение Гамильтона-Якоби

В формуле (16) канонические постоянные α₁, α₂, α₃ выбраны следующим образом:

Зная полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби, определим для данной задачи канонические переменные «действие» по формулам

В результате интегрирования получим

причём s₁, s₂, s₃ являются корнями уравнения

2cs³+ps²-2cs+(2ccos²i-psini)sini=0

и выражаются формулами (10) и (11).

Опуская выкладки, отметим, что переменные «угол», соответствующие соответствующим переменным типа «действие», выразятся следующими формулами:

Дифференциальные уравнения, описывающие возмущённое движение спутника во введённых выше канонических переменных «действие-угол», будут иметь вид:

Дифференциальные уравнения возмущённой задачи Баррара принимают наиболее простую форму, если вместо переменных    ввести канонические переменные L, G, H, l, g, h, подобные элементам Делоне кеплеровского движения и обращаются в соответствующие элементы при с=0. Попытка ввести такие переменные была предпринята в [4], однако при введении переменных была сделана ошибка: вверённые переменные не удовлетворяют условию каноничности! Введём переменные с помощью равенств

Введение предложенных автором переменных существенно упрощает решение задачи интегрируемости возмущённой задачи Баррара.

Список литературы:

1. Barrar R.B. Some remarks on the motion of a satellite of an oblate planet.// Astron. Journ. 1961. V. 66, №1.
2. Дёмин В.Г. Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения./ М.: Наука, 1968. стр. 122-130.
3. Искакова А.М. Переменные «действие-угол» в задаче Баррара.// Аналитическая механика тел переменной массы. Алма-Ата, 1982. стр. 30-36.
4. Конкс В.Я. Канонические переменные «действие-угол» в задаче Баррара. //Космические исследования, 1985, т. 23, вып. 3, стр.477-479.
5. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики// Пуанкаре А. Избранные труды/ М.: Наука, 1971. т. 1, стр. 8-326.
6. Севрюков П.Ф. О дополнительных аналитических первых интегралах возмущённой задачи Баррара.// Проблемы механики управляемого движения. Нелинейные динамические системы: Межвуз. сб. научн. трудов/ Пермь: – Перм. ун-т, 1989. стр. 142-145.[schema type=»book» name=»Введение канонических переменных «действие-угол» в возмущённой задаче Баррара.» description=»Вводятся канонические переменные «действие-угол» в одной известной задаче о возмущённом движении спутника в поле, задаваемом гравитационным потенциалом Баррара.» author=»Севрюков Павел Фёдорович» publisher=»БАСАРАНОВИЧ ЕКАТЕРИНА» pubdate=»2016-12-26″ edition=»euroasia-science.ru_26-27.02.2016_2(23)» ebook=»yes» ]