СФЕРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОСТРАНСТВА СОБЫТИЙ

1. Введение. В настоящей заметке мы ставим своей целью геометризовать преподавание теории вероятностей на ее начальном этапе и тем самым облегчить понимание ее основных понятий. Для реализации этой цели нами построена модель пространства событий, которую мы описываем в следующем параграфе, и затем решена элементарная задача из курса теории вероятностей для иллюстрации действия данной модели на практике.
2. Сферическая модель пространства событий. Рассмотрим пространство событий, где каждое событие Р имеет n исходов с вероятностями р₁, р₂, …, р_n , причем 0≤ р_k ≤1 для всех k = 1, …, n. Тогда по основной аксиоме теории вероятностей имеем . Если положить  для всех k = 1, …, n, то предыдущее равенство можно представить в виде уравнения , задающего в (n + 1)-мерном арифметическом пространстве R^{n + 1}  гиперсферу Sⁿ единичного радиуса с центром в начале координат О(0, … , 0).  В результате этого предположения каждое событие  может быть отождествлено с соответствующей точкой  гиперсферы  Sⁿ  пространства R^{n + 1}.

События, которые имеют число исходов меньшее n, можно также включить в нашу модель, отождествляя их с точками на все той же гиперсфере Sⁿ.  Для чего, например, событие с n ­- 1 исходами  следует рассматривать как точку , которая лежит на сфере S^n—1 Ì Sⁿ , служащей аналогом окружности S¹  большого радиуса сферы S² Ì R³.

Для того чтобы «вернуться назад» от точек гиперсферы Sⁿ к событиям вероятностного пространства необходимо потребовать, чтобы x_{k  ≥} 0 для всех k = 1, …, n. В противном случае, нескольким точкам гиперсферы Sⁿ будет соответствовать одно событие. Например, двум точкам,  и  будет соответствовать одно и то же событие . При таком ограничении, в рассмотрение будет введена не вся сфера Sⁿ, а только ее часть, включенная в «n-мерный сектор».

В результате, построенная модель позволит нам отождествить пространства событий с k ≤ n исходами с частью гиперсферы Sⁿ единичного радиуса с центром в начале координат О(0, … , 0) из арифметического пространства   R^{n + 1}, которая включена в «n-мерный сектор», определяемый условиями   для всех k = 1, …, n.

3. Задача. Для иллюстрации возможности применения построенной модели решим следующую элементарную задачу. Турагентство работает на три направления: внутреннее (Сочи), внешнее престижное (Испания, Греция) и внешнее бюджетное (Египет, Турция). Путевки по этим направлениям считаются товарами-субститутами. Следовательно, вероятность того, что их раскупят в начальный момент времени t=0 (лето 2015) равна соответственно p₁=1/3, p₂=1/3, p₃=1/3. Зимой ввиду террористической угрозы Россия закрыла сообщение с Египтом и рекомендовала туркомпаниям прекратить продажу путевок в Турцию. Получается, в момент времени t=1 (зима2015) распределение вероятности имеет вид: p₁=2/3, p₂=1/3, p₃=0(так как зимой же 2015 курс рубля упал, и граждане скорее купят путевки в Сочи, чем в Испанию).

Требуется вывести закон равномерного изменения спроса на путевки и на его основе определить распределение путевок в середине периода t=1/2.

Решим поставленную задачу, воспользовавшись построенной моделью, а для этого рассмотрим сферу S² единичного радиуса в арифметическом пространстве R³.

Геодезическая на сфере S² в R³, это кратчайшая из линий, которые соединяют две данные точки сферы; она задается дугой окружности большого радиуса, проходящей через эти точки. Именно геодезическая в нашей модели будет описывать закон равномерного изменения численности жуков в популяции. Такая геодезическая находится как линия пересечения плоскости, проходящей через две данные по условию точки  и  и центр сферы  точку О (0, 0, 0).

Сфера S² единичного радиуса задается в R³ уравнением  для , а плоскость R², проходящая через три точки О, Х и Х′  находится из уравнения

Вследствие этого уравнения искомой геодезической на сфере примут вид

Искомая точка, соответствующая значению t= 1/2, лежит на дуге È Х Х′ и делит ее пополам, т.е. является линией пересечения прямой  с дугой È Х Х′.Решая систему уравнений, состоящую из уравнений геодезической и прямой

ВРАЖЕНИЕ ПРИЗНАТЕЛЬНОСТИ

Я хочу поблагодарить профессора Степанова С.Е. за помощь построения задачи и оказанную поддержку в написании работы.

 ЛИТЕРАТУРА

1. Ченцов Н.Н., Статистические решающие правила и оптимальные выводы, М.: Наука, 1972.[schema type=»book» name=»СФЕРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОСТРАНСТВА СОБЫТИЙ» description=»В настоящей заметке мы ставим своей целью геометризовать преподавание теории вероятностей на ее начальном этапе и тем самым облегчить понимание ее основных понятий. Для реализации этой цели нами построена модель пространства событий, а затем решена элементарная задача из курса теории вероятностей для иллюстрации действия данной модели на практике.» author=»Уварова Полина Ильинична» publisher=»БАСАРАНОВИЧ ЕКАТЕРИНА» pubdate=»2016-12-19″ edition=»euroasia-science_28.04.2016_4(25)» ebook=»yes» ]