ЕСТЕСТВЕННАЯ ЗАДАЧА МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ И ЕЕ РЕШЕНИЕ: ЕСТЕСТВЕННЫЙ ГЛОБАЛЬНЫЙ ОПТИМУМ

Введение

Важнейшая составляющая проблемы принятия обоснованных решений –проблема оптимизации взаимоотношений между сложными системами и их частями.  “As a discipline, complex systems – пишетУ. Ваr-Уам —  is a new field of science studying how parts of system and their relationships give rise to the collective behaviors of the system, and how the system interrelates with its environment” [1,с. 1]. Этаобластьнаукиещевсерединесемидесятыхгодовпрошлогостолетиябыланазванасинергетикой [2]. Слово «синергетика» означает «совместное действие». Оно введено, чтобы подчеркнуть, чточастикаждой системы функционируют вполне согласованно. Эта согласованность находит отражение в поведении системы как целого[3].

Тот факт, что решения принимаются всюду, как живой, так и неживой природе, вобщем – то в настоящее времяпризнается научным сообществом.

Говорят,например, о целенаправленном поведении животных [4], о принятии решения компьютером [5c.15] и т.д. Однако когда речь идет о принятии решений, как правило, имеют в виду принятие решения человеком. Этоосновное и самое успешно развиваемое направление современной теории принятия решений [5, 6, 7, 8, 9].

Общий вид современных оптимизационных моделей принятия решений таков [8, с. 28]:

F(X) ® max; X Î A,

где

F(X) – целевая функция;

X – управляющий параметр;

A – область допустимых значений X

Управляющий параметр может иметь различную природу; он может быть числом, вектором, множеством и т.д.

В настоящее время особенно важные результаты получены в области решения многокритериальной задачи линейного программирования. Это задача часто встречается, например, в экономических расчетах для минимизации издержек, финансовых рисков, максимизации прибыли и т.д. [10, с. 214].

Ставится задача линейного программирования так [5, с. 71].

Даны:

 1.Область D допустимых значений переменных, определяемая совокупностью линейных равенств и неравенств;

 2.Величины C_i; i = 1..N, которые служат критериями оценки качества решения,

где

N –число частных критериев: N ≥ 2

   Каждый из критериев линейно связан с переменными:

C_i = ,

где

n –число переменных (j = 1..n);

C_ij – весовые коэффициенты

Требуется: найти решение X в области D, при котором достигаются наиболее приемлемые значения по всем критериям.

В настоящее время эту задачу решаютс применениемчеловеко–машинных процедур(ЧМП) [6, 7], которыевыполняют в следующей последовательности.

Этап 1. Производят нормирование частных критериев и определяют диапазон их изменения от 0 до 1 по формуле:

c_i = ; i = 1..N,

где

C_imin – минимально возможное значение C_i;

C_imax — – максимально возможное значение C_i

Этап 2.Вводят так называемые весовые коэффициенты важности критериев и устанавливают один глобальный критерий по формуле:

C = ,

где

w_i —  вес критерия c_i

 Этап 3. С помощью компьютера обрабатывается вся совокупность данных.

 Этап 4. По полученным результатам расчета делают выводы и предъявляют их лицу, принимающему решения (ЛПР).

Если ЛПР одобряет все эти выводы, то считают, что задача решена. В противном случае делаются уточнения критериев в соответствии с замечанями ЛПР. И задача решается на компьютере заново.

Как видно, ЧМП – важнейщая составляющая современных методов многокритериальной оптимизации! Ввиду этого полученные решениявсегда являются субьективными. Тем не менее, многие из этих решений очень часто являются успешными! Точнее, они являются успешными с точки зрения достижения определенных — корпоративных и других — частных целей, т.е. целей, стоящих перед некоторыми частями целостной системы. Но они далеко не всегда являются успешными с точки зрения достижения цели, которая стоит перед самой целостной системой.Отсюда проблемы с экологией, противостояние между различными группами людей, войны между странами и т.д.

С помощью компютерной программы [11], разработанной нами, можно найти решение X₀ , которое будет приемлемое с точки зрения достижения общей цели, стоящей перед всеми частьями целого и самого целого.

Математическое обоснование решения X₀ изложено в [12]. Новое обоснование, приведенное ниже, отличается простотою и наглядностью.

1. Естественная задача многокритериалной оптимизации

Пусть

s = 1..N; 2 ≤ N<∝                                     (1)

 — изучаемое множество объектов управления, а

Y(s) = {y_j(s); j = 1..n(s)}; s = 1..N,                     (2)

— множество скалярных величин, количественно измеряемых у

объектов управления (1),

где

n(s) — объемY(s):

1 ≤ n(s) <¥: s = 1..N           (3)

Обозначим

Y =

Вообще

n(s) = nприY(s)=Yиn(s) <nприY(s)ÌY,

где

n – объемY.

Отсюда и из (2) при Y(s) = Yполучаем

Y ={y_j; j = 1..n},

где

y_j– скалярная величина, такая что

y_jÎY(s) Ûy_j = y_j(s); s = 1..N

Согласно (1), (2) и (3) имеют место:

2 ≤ n<¥

и                                                                      (4)

2 ≤ <¥,

где

= 1, еслиy_jÎY(s)

и                                                                    j = 1..n; s = 1..N

k(s) = 0, если y_jÏY(s),

Пусть

B_j(s) = {b_jl(s); l = 1..N_j(s)}; j = 1..n(s); s = 1..N

— результаты измерения величин (2) у обектов управления (1),

где

     N_j(s) – объем B_j(s):

1≤ N_j(s) <¥(5)

Обозначим

M_j(s) =

иj = 1..n(s); s = 1..N

                     S_j(s) =

Положим, что

P^* ≥ P₀^* ≥ 0.95,

где

P^* -вероятность достоверности совокупности данных

M_j(s), S_j(s) и N_j(s): j = 1..n(s); s = 1..N                     (6)

P₀^* –заданное значение P^*

Пусть, множество объектов управления (1) такое, что выполняются следующие условия.

1.Имеют место

0 <M_j(s) <¥ и 0 <S_j(s) <¥: j = 1..n(s); s = 1..N             (7)

 2.Существуют величины

M_j0; j = 1..n                                        (8)

такие, что

0 <M_j0<¥; j = 1..n                                 (9)

3. Справедлива зависимость

M_j(s) = M_j0ÛM_i(s) = M_i0длявсехj,i = 1..n(s) иs = 1..N      (10)

В том случае, когда выполняется условие (10), цели

M_j(s) ® M_j0; j = 1..n(s) и s = 1..N

могут быть достигнутьсовместно и только совместно.

В итоге, перед всеми объектами управления, которые связаны между собой зависимостью (10), будет стоять общая цель

M_j(s) ®M_j0 для всех j = 1..n(s) и s = 1..N               (11)

Это та цель, ради достижения которой все объекты управления (1) вынуждены действовать согласованно.

Определение 1.

Пусть, совокупность величин (8) существует и, следовательно, зависимость (10) является справедливой.

Тогда и только тогда с вероятностью P^* ≥ P₀^* можно утверждать, что существует целостная система S такая, что выполняются следующие условия.

  1.Величины

y_j; j = 1..n                                              (12)

 служат функциональными элементами системы S, а объекты

управления (1) являются ее анатомическими элементами.

2. Величины

y_j(s); j = 1..n(s); s = 1..N                                 (13)

являются первичными показателями качества функционирования анатомических элементовсистемы S.

   3.Совокупность данных (6) служит статистической характеристикой фактического состояния системы S.

Совокупность функциональных элементов (12) представляет собой функциональное назначение системы S. А совокупности (13) представляют собой функциональные назначения анатомических элементов системы S.

О величинах (8) говорят, что они являются естественнымиобщими глобальными оптимумами первичных показателей качества фунционирования анатомических элементов целостной системы S и пишут:

X₀ = {M_j0; j = 1..n}

Задача определения X₀ непременно стоит перед каждой целостной системой,  как живой, так и неживой природы. Ее называютестественной задачей многокритериальной оптимизации.

2.Решение естественной задачи многокритериальной оптимизации

Обозначим

M_j = ; j = 1..n

и                                                                                                     (14)

S_j = ; j = 1..n,

где

N_j = ; j = 1..n

Согласно (4), (5), (6) и (14) имеет место

                  0 <S_j<¥; 0 <M_j<¥ и 2 ≤ N_j<¥, j = 1..n                 (15)

   Пусть

S_j0; j = 1..n                                         (16)

–значения

S_j; j = 1..n                                          (17)

такие, что

S_j = S_j0 при M_j = M_j0

и                                                                            j = 1..n              (18)

S_j ≥ S_j0 при M_j M_j0

т.е. вообще, согласно (15) и (18), имеет место

S_j ≥ S_j0> 0; j = 1..n   Можно показать, что если имеет место

 = 1 – h для всехj = 1..n,          (19)

то внутренная среда существования системы S является здоровой [12 с. 96],

где

h – мера внутренней гармонии системы S.

А если при этом

M_j = M_j0 для всех j = 1..n

и, следовательно, согласно (19), имеет место

 = 1 – h₀; j = 1..n,                                      (20)

то система S находится в нормальное состояние,где

h₀ –значение hтакое, что

h = h₀ÛM_j = M_j0 для всех j = 1..n

   Вообще

 0.325 ≤ h ≤ h₀< 1  (21)

Обозначим

h_j(s) = ; j = 1..n(s); s = 1..N                    (22)

Из (18), (19), (21) и (22) имеем

h_j(s) ≤h ≤h₀; j = 1..n(s); s = 1..N (23)

Обозначим

h_min = min(h_j(s); j = 1..n(s); s = 1..N) =

= min{( ; j = 1..n; s = 1..N} = min{(h_jmin; j = 1..n}     (24)

и

h_max = max(h_j(s); j = 1..n(s); s = 1..N) =

=max(k_j(s) h_j(s); j = 1..n; s = 1..N} = max{h_jmax; j = 1..n}, (25)

где

h_jmin = min{ ; s = 1..N}; j = 1..n                          (26)

и

h_jmax = max{k_j(s) h_j(s); s = 1..N}; j = 1..n                          (27)

Можно доказать, что условие (10) будет выполняться, если

положим, что

M_j0 =  S_j0; j = 1..n(28)

В самом деле, согласно (23), (26) и (27), вообще

h_jmin ≤ h_jmax ≤ h₀; j = 1..n,     (29)

А согласно (20) и (28) имеет место

h_jmin = h₀; j = 1..n  (30)

Отсюда и из (29) получаем

h_jmin = h_jmax = h₀; j = 1..n  (31)

Следовательно, вообще

 {h_jmin; j = 1..n} = {h_jmax; j = 1..n}

С учетом этого из (24), (25), (26), (27) и (31)находим

min(h_j(s); j = 1..n(s); s = 1..N) = max(h_j(s); j = 1..n(s); s = 1..N) = h₀,

т.е. вообще

h_j(s) = h_i(s) = h₀длявсехj,i = 1..n(s); s = 1..N

или

h_j(s) = h₀Ûh_i(s) = h₀длявсехj,i = 1..n(s); s = 1..N(32)

Из (20), (22) и (32) имеем

M_j(s) = M_j0ÛM_i(s) = M_i0длявсехj,i = 1..n(s) иs = 1..N,

т.е. получаем (10), что и требовалось доказать.

В заключение отметим, что компютерная программа [11], впервую очередь, нужна врачам — практикам и руководителям государств.

   Литература

1. Y. Bar–Yam. General features of complex systems.Knowledge management, organizational intelligence and learning, and complexity. – Vol. 1. – 2002, — P. 1- 9
2. ХакенГ. Синергетика. – М., — Мир.- 1980. – 404 с.
3. ДаниловЮ.А., Кадемцев Б. Б.Чтотакоесинергетика?URL: https://www.synergetic.ru/science/chto-takoe-synergetica.html(Дата обращения: 19.04.2015)
4. Тимбердиев Н. Социальное поведение животных. – М.:, — Мир, — 1993
5. 5. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений: Учебник. – М.: — Логос, – 2000. – 296 с.

 6.Дайер Дж. Многоцелевое программирование с использованием человеко-машинных процедур. // Вопросы анализа и процедуры принятия решений. – М.: — Мир, — 1976

7. Ларичев О.И. Объективные модели и субъективные решения. – М.: — Наука, — 1987
8. Орлов А.И. Принятие решений. Теория и методы разработки управленческих решений: Учебное пособие. – М.: — МарТ, – 2005. – 496 с. — ISBN 5-241-00629-X

9. Петровский А. Б. Методы групповой классификации многопризнаковых объектов. Часть 2. — // Исскуственный интеллект и принятие решений. – 2010. — № 4, -с. 3 -14

10. Кирьянов Д.В. Mathcad 13 – СПБ: БХВ – Петербург, –2006. – 608 с.

 11.Хускивадзе А.П. Системный анализ качества функционирования объектов управления в реальном режиме времени и принятие наилучшего решения (Искусственный мудрец). – М.: — ФИПС РФ, – Прогр. для ЭВМ, — № 2013 660037

12. Хускивадзе А.П. Теория целостности. Приниятие решения в больших – сложных – системах. – Saarbruken,- Deutschland,–LambertAcademic[schema type=»book» name=»ЕСТЕСТВЕННАЯ ЗАДАЧА МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ И ЕЕ РЕШЕНИЕ: ЕСТЕСТВЕННЫЙ ГЛОБАЛЬНЫЙ ОПТИМУМ» description=»В статье приведеноматематическое обоснование способа определения взаимно выгодных отношений между частями целогопо результатам системного анализакачества функционирования этих частьей. С применением современных средств вычислительной техники и коммуникации эти отношения могут быть установлены в реальном режиме времени.» author=»Хускивадзе Амиран Пименович» publisher=»БАСАРАНОВИЧ ЕКАТЕРИНА» pubdate=»2017-04-18″ edition=»ЕВРАЗИЙСКИЙ СОЮЗ УЧЕНЫХ_ 30.04.2015_04(13)» ebook=»yes» ]