АКТУАЛЬНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПСИХОЛОГИИ

Понятие математической психологии как раздела

теоретической психологии

Математическая психология является разделом теоретической психологии, в котором язык математики применяется для описания психологических явлений. Цель математической психологии заключается в выявлении средствами математического моделирования психических и социально-психологических закономерностей, закономерностей взаимодействия субъекта с окружающим миром. Математические методы используется не только для обработки и анализа эмпирических данных, но и для моделирования явлений и процессов в целях обобщения и построения теории, прогнозирования результатов протекания психологических процессов.

Математическая психология – это область психологии, использующая математику в качестве инструмента исследования. Математическая статистика является необходимой составляющей математической психологии, к которой относятся: факторный анализ, дисперсионный, дискрименантный, кластерный анализ и др. Кроме этого к  математической психологии относятся: теория игр для исследования процессов принятия решений и выбора; системы дифференциальных уравнений для исследования динамики социально-психологических исследований; сети Байеса для анализа психологических феноменов, характеризующихся высокой степенью неопределенности, например процессов принятия решений  [3, 11, 16, 32, 34]. Математическая статистика позволяет исследовать статичные распределения социально-психологических феноменов и выявлять их зависимости, в то время как с помощью математического моделирования анализируются изменения этих феноменов, прогнозируется возможный вариант динамики.

В настоящее время значительно увеличилось количество исследований в области математической психологии. Это обусловлено спецификой теоретических и практических задач, возникающих перед современным обществом. Человек включен в многообразную, изменяющуюся внешнюю среду, живет в пересекающихся потоках информационных воздействий, и в этих условиях важно знать на уровне моделируемой закономерности, почему он обратил внимание именно на этот продукт, принял это решение и сделал этот выбор. Поэтому для углубления и расширения знаний в области психологии необходим выход на другой, качественно новый уровень исследования психологических феноменов. Данный переход возможен благодаря использованию в программе психологических исследований методов математического моделирования.

В большинстве современных исследований по математической психологии решаются такие актуальные теоретические задачи, как увеличение точности математических моделей для описания таких психологических феноменов, как восприятие, внимание, память, процессы принятия решений и выбора; поиск варианта модели, максимально соответствующего реальному явлению; прогнозирование динамики психологических явлений.

Во многих практикоориентированных исследованиях решаются такие актуальные практические задачи, как повышение эффективности обучения; продвижение продукции в маркетинге; исследования по созданию искусственного интеллекта.

Анализ современного состояния работ в области математической психологии  необходим для выявления возможностей и преимуществ данных методов. Необходим анализ тенденций развития российской и зарубежной математической психологии, соотношения перспективных тем исследования, изучение актуальных решаемых психологических проблем и практических достижений в данной области знаний. Понимание современных тенденций развития математической психологии невозможно без предварительного исторического обзора, выявления основных российских и зарубежных традиций.

Развитие основных направлений математической психологии за рубежом

Первыми психологическими работами в этой области знания, не обозначенной как математическая психология, в которой авторы применяли количественные методы математического анализа психических явлений, были работы Г.Т. Фехнера, Г. Эббингауза еще в середине XIX века.

Г.Т. Фехнер является основателем психофизики, который применял математический аппарат для измерения порогов ощущений. Г. Эббингауз занимался изучением закономерностей запоминания, выявил математическую зависимость механической памяти от различных условий [26].

В начале XX века исследователи отмечают лишь единичные работы в данной области психологии. Этот период можно охарактеризовать зарождением современной математической  статистики, разработаны основы факторного анализа (Л.Л. Тэрстоун, Ч.Э. Спирмен, К. Спирмен), теория корреляций (К. Спирмен, К. Пирсон) и другие методы [5, 26, 37].

Изучение интеллекта является актуальной в это время областью исследования. Л.Л. Тэрстоуном и Ч.Э. Спирменом разработаны теоретические модели интеллекта на основе экспериментальных данных [5, 37].

В середине XX века наблюдается увеличение количества работ в данной области, в это же время стал использоваться сам термин «математическая психология» в научных исследованиях [21]. Интенсивное развитие работ по математической психологии связано с исследованиями В. Эстеса, Р. Буша, Ф. Мостеллера и др., которые  разработали модели для описания процесса научения. Для этого они использовали математический аппарат вероятностных процессов, теории игр, теории полезности [26, 30, 31, 33].

В это время активно развивается и направление исследований, начатое Г.Т. Фехнером в области психофизики. Появляется множество математических моделей по психофизике, например С. Стивенса, В. Таннера, Дж. Светса, Д. Грина.  С. Стивенс продолжал исследования Г.Т. Фехнера, выявил степенной характер зависимости между силой ощущения и интенсивностью раздражителя.

В. Таннер, Дж. Светс, Д. Грин разработали концепцию, получившую название теории обнаружения сигнала, в основе которой статистическая теория принятия решений  [5, 22].

В середине XX века продолжаются исследования Л.Л. Терстоуна по изучению интеллекта, создаются различные психодиагностические методики. М.Т. Льюис занимался в основном педагогической психологией, тестологией и проблемами развития интеллекта ребенка, разработал тест, измеряющий интеллект человека [26].

В середине 50-х годов XX века возникла Европейская Ассоциация математической психологии, которая существует и сегодня, проводит ежегодные конференции, на которых представляются основные результаты исследований в области моделирования социально-психологических явлений и процессов. Ведущим журналом, в котором представлены основные результаты исследований в данной области, является «Журнал математической психологии», выпускаемый в США  с 1963 г.

На основе анализа работ, опубликованных в «Журнале математической психологии» и других научных изданиях с середины XX века, выполнен обзор основных направлений исследований в области математической психологии. Среди зарубежных исследований выделяются три основных направления: моделирование процессов обучения и памяти; теория измерений; моделирование процессов принятия решений [21, 24, 26].

Моделирование процессов научения и памяти

Наибольшее количество исследований посвящено научению и памяти, а именно моделированию механизмов долговременной и кратковременной памяти и забывания, динамики усвоения и переноса навыка. Для моделирования процессов научения и памяти применяются математические методы, основанные на использовании теории вероятности и математической статистики, и компьютерные методы моделирования на основе алгоритмов.

Большое количество публикаций по данной проблематике можно заметить у таких исследователей, как Р. Аткинсон, Д. Норман, Э.Торндайк, К. Халл и др.

Р. Аткинсон исследовал кратковременную и долговременную память, разработал трехкомпонентную модель памяти,  в качестве методологических оснований ориентировался на «компьютерную метафору» [27, 28].

Д. Норман исследовал физиологические механизмы восприятия, основные свойства зрительной и слуховой системы, физиологическую основу памяти, возможные модели хранения информации в памяти и ее роль в человеческой деятельности [35]. Теории Э. Торндайка,  К. Халла  описывают процесс научения, исходя из других теоретических оснований, кроме того Э. Торндайком  выведено несколько законов научения [26].

В настоящее время данное направление математической психологии продолжает активно развиваться, основываясь на теории вероятности и компьютерном моделировании. К актуальным исследованиям в области моделирования процессов научения и памяти относятся работы Ф.А. Викменна, И.Р. Брамли,  М. Джекела, М. Рамскара и др.

Ф.А. Викменн разработал методы научения на основе различных систем идентификации. И.Р. Брамли исследует возможности моделирования причинно-обусловленного (каузального) научения за счет механизмов выбора и каузальной атрибуции.  М. Джекел сравнивает специфику двух классов моделей научения на основании использовании вероятностного подхода в процессе принятия решений. М. Рамскар изучал феномен снижения когнитивной способности переработки информации в течение жизни [13].

Теория измерений

Измерение, заключающееся в приписывании объектам числовых значений, отражающих меру наличия исследуемого свойства, лежит в основе применения математических методов и моделей в любой науке, в том числе и психологии. Объектами измерений являются все исследуемые психологические феномены: восприятие, память, способности, интеллект и т.д.

Общая концепция измерения была впервые сформулирована Д. Скоттом и П. Суппесом. Дальнейшее развитие данного направление математической психологии получило в работах С. Стивенса, П. Суппеса, Дж. Зиннеса, Д. Льюиса, Е. Галантера, А. Тверского. С. Стивенс создал свою систему шкальных типов, основываясь на понятиях эмпирической операции и математической структуры. П. Суппес и Дж. Зиннес переосмыслили теорию классификации С. Стивенса в терминах классов числового приписывания. А. Тверский ввел понятие реляционной системы, которое широко используется в теории измерений [26, 38].

В настоящее время данное направление математической психологии не утратило своей актуальности, и получило продолжение в работах М. Ли, А. Педерсена, С. Рекшепа и др. М. Ли исследует возможности применения формул Байеса к моделям многомерных измерений. А. Педерсен вывел и доказал теорему о продолжении и численном представлении теории сравнительного ожидания. С. Рекшеп исследует модели полезности, широко применяемые в математической психологии [13].

Моделирование процессов принятий решений

Большая группа работ по математической психологии посвящена моделированию процессов принятия решений, в которых исследуются зависимости субъективных вероятностей исходов и полезностей от объективных вероятностей и ценностей, критерии оптимизации и в реальных ситуациях принятия решения, индивидуальные особенности в принятии решения и другие вопросы.

Значительный вклад в развитие этого направления внесли работы Дж. фон Неймана, А.Тверски, Р.Венда и др. Дж. фон Нейман является родоначальником теории игр, разработавшим основные ее положения. А. Тверски разработал теорию перспектив, в изучении процесса принятия решений различал рискованный выбор и выбор при отсутствии риска. Р. Венда моделировал стратегии принятия решений в процессе обучения [16, 38].

При моделировании индивидуального и группового поведения в ситуациях неопределенности, выбора исследователи использовали математический аппарат описания стохастических процессов, теории полезности, игр, риска, теория статистических решений.

Сегодня это направление исследований математической психологии является одним из перспективных, представлено большим количеством ученых: К.П. Дэвис-Стобер, К. Катсикопулос, Р. Флойд, Н.Д. Филипс и др. [13, 32].

К.П. Дэвис-Стобер исследует перспективы изучения процессов принятия решений, разработал модель вероятностного выбора [32]. К. Катсикопулос анализирует историческое развитие методов моделирования процесса принятия решений в различных условиях. Особое внимание уделил изучению феномена оптимизации процесса принятия решений, с помощью компьютерного моделирования проводил оптимизацию моделей при решении задач прогнозирования. Р. Флойд исследует роль стимула и чувствительности личности в совместном принятии решений. Н.Д. Филипс представил результаты исследования влияния социальной конкурентности на информационный поиск и выбор, представлены результаты возможного управления процессом выбора. Н.Р. Брауном исследует процесс принятия решений у лиц, имеющих отношение к риску в зависимости от условий окружающей среды [13].

Помимо выделенных Е.А. Умрюхиным направлений математической психологии, сегодня развиваются за рубежом еще несколько направлений. Данные направления математической психологии были представлены на ежегодной конференции Европейской Ассоциации математической психологии в 2013г. К таким направлениям относятся: моделирование внимания и времени реакции, категоризация и классификация [13].

Основные направления математической психологии, исследуемые российскими учеными

В России математическая психология, как раздел теоретической психологии, начала развиваться в семидесятых годах ХХ века при активном совместном участии психологов и математиков. Объединение усилий различных ученых позволяет решать актуальные задачи моделирования психологических феноменов. Для этого проводятся совместные исследования, объединяются деятельности ученых, работающих в смежных областях науки: математической психологии, теоретической и прикладной математики, искусственного интеллекта, когнитивных наук, экспериментальной психологии, психофизики, синергетики, методологии науки и др. [20].

Ведущую роль в развитии математической психологии играл профессор В.Ю. Крылов. Он являлся одним из основателей математической психологии в нашей стране, усилиями которого в ИП РАН (Институте психологии Российской Академии наук) создана первая и до сих пор единственная лаборатория математической психологии в России [6, 20].

Вклад В.Ю. Крылова в развитие математической психологии заключается в развитии теории искусственного интеллекта и синергетике [12, 20]. К наиболее важным достижениям В.Ю. Крылова можно отнести: автомат Крылова-Цетлина и автоматные модели целенаправленного поведения, мышления (на основе построения континуального интеграла по знакопеременным распределениям в функциональных пространствах и теория конечных автоматов); применение синергетического подхода к моделированию психических явлений; методологические работы, а именно обоснование возможности применения квантово-полевого направления в психологической науке и разработка методов анализа данных (многомерное шкалирование в псевдоевклидовом пространстве, методы кластерного анализа) [6, 20].

Теоретические и практические разработки В.Ю. Крылова применяются не только в психологии, но и в прикладной математике, исследованиях искусственного интеллекта, теории самоорганизации.

Кроме этого современная психологическая наука в России представлена рядом исследователей, занимающихся изучением методов статистической обработки данных, возможностей ее использования в различных эмпирических исследованиях [14, 15]. К основным направлениям развития математической психологии, определенным В.Ю. Крыловым, относятся: моделирование процессов принятия решения в различных условиях; теория измерений в психологии; моделирование процессов обучения и памяти, моделирование социального и группового поведения. Далее рассмотрим основные направления математической психологии подробнее.

Моделирование процессов принятия решения в различных условиях

Данное направление математической психологии изучает процессы принятия решений субъектом, его мотивации при выборе того или иного решения, динамику данного процесса при воздействии различных факторов.

К данному направлению математической психологии относится метаимпликативная модель мотивации выбора В.А. Петровского. С помощью выбранного математического аппарата, рефлексивной теории В. Лефевра интерпретируется поведение субъекта в условиях выбора [17]. Т.А. Таран в своей работе описывает рефлексивное поведение субъекта в условиях выбора, основываясь на различных математических моделях [23].

Процесс принятия решений сложно описать полностью с помощью математического аппарата. В действительности существует большое количество различных условий, от которых зависит развитие данного процесса и воздействие которых необходимо отразить в переменных и коэффициентах для математического моделирования. При исследовании процессов принятия решения в  различных условиях чаще используются методы интуитивного моделирования, то есть мысленного представления объекта и его свойств [4].

Теория измерений в психологии

Данное направление математической психологии изучает методологические основания психологической теории измерений и ее приложения: квазиизмерения, гуманитарное измерение, мягкие вычисления, нечеткие множества, топологическая информация и т. д. В исследованиях, относящихся к данному направлению, прослеживается тенденция к использованию новых подходов к психологическому измерению, учитывающих индивидуальные особенности личности и специфику конкретной ситуации.

К работам по данному направлению, которые проводятся в основном в Институте психологии Российской академии наук относятся исследования В.А. Толочека. В.М. Русалова, В.Б. Рябова, В.Е. Дубровского и других российских ученых [6, 13].

В.А. Толочек в теоретическом исследовании предлагает ввести понятии квазиизмерений, которое будет являться многомерной структурой и включать в себя активности субъекта и психолога, предмет исследования и сферу жизнедеятельности человека. По результатам его исследований сделан вывод, что квазиизмерение относится к одному из методов изучения становления и развития психологических систем [13].

В.М. Русалов в методологическом исследовании показал, что имплицитная самоидентификация личностных свойств означает оценивание человеком способностей, жизненных ценностей и других свойств личности на уровне обыденного сознания. Созданный им метод парных сравнений позволяет изучать истинную индивидуальность в процессе самоидентификации [13].

В.Б. Рябов изучал философские и методологические основания феномена измерений в психологии. Он разработал «гуманитарного» подход к измерению, в основе которого лежит понятие образа, и анализ информации осуществляется с помощью установления связей между образами [13].

В.Е. Дубровский предложил методику оценивания достоверности психофизических измерений. В данной методики с помощью применения аппарата непараметрической математики выявляются особенности формирования стратегии принятия решений субъектом [13].

Моделирование процессов обучения и памяти

Математическое моделирование процессов обучения людей является актуальным и постоянно развивающимся направлением математической психологии. Актуальность исследований в области моделирования процессов обучения связана с возрастающей ролью человеческих ресурсов в развитии организаций и необходимостью отбора персонала, обладающего необходимыми управленческими и лидерскими компетенциями. При организационных изменениях часто требуется обучение персонала необходимым управленческим и лидерским компетенциям. Математическое моделирование позволяет выявить закономерности более эффективного обучения людей.

Вероятностная модель А. Дрынкова описывает кривые научения  и представляет собой автомат-подкрепление со счётным множеством расстояний [6]. Одним из вариантов математического моделирования социально-психологических ресурсов менеджеров является адаптированная модель функционирования биологических саморазвивающихся систем В. Вольтерра. По результатам математического моделирования данных психологической диагностики дифференциации командных ролей и стиле лидерства может быть построена модель точки оптимума тренингового воздействия в процессе дальнейшего обучения командным и лидерским компетенциям [3, 4].

Моделирование социального и группового поведения

К данному направлению математической психологии относятся исследования поведения человека в процессе социального взаимодействия, проявлений деловых и межличностных отношений к другим людям.

Примерами исследований в области моделирования социального и группового поведения являются работы В.Ю. Крылова, Т.Н. Савченко, Г.В. Корнеева, В. Лефевра и др. [6, 9, 13].  В.Ю. Крыловым разработана модель коллективного и рефлексивного поведения. Т.Н. Савченко разработала теоретико-игровую  модель поведения в диадном взаимодействии [6, 13]. Г.В. Корнеев исследовал процесс принятия решения человеком для достижения конечной цели, была предложена схема выработки решения и приведения его в действие. Он разработал модель решения и действия в психомоторных актах и модель целенаправленной системы [7].

Теория рефлексивных игр В. Лефевра также относится к данному направлению математической психологии. Целью данной теории является предсказание индивидуального выбора субъекта в группе, изучение соотношения интересов группы и индивидуальных интересов. В основе исследования В. Лефевра лежит анализ ситуаций выбора в области личностных, международных и политических отношений, военных решений [11].

Научно-практическим направлением, относящимся к данной области математической психологии, является моделирование рефлексивных процессов в управлении. Данное направление активно развивается в Институте психологии Российской академии наук под руководством В.Е. Лепского и активном участи В. Лефевра [18].

На сегодняшний день можно выделить еще несколько активно развивающихся в России направлений математической психологии: методологические работы в области математической психологии, применение аппарата синергетики в психологических исследованиях и создание конкретных моделей психических процессов.

Методологические работы в области математической психологии

Большое количество методологических работ в области математической психологии представлено самим В.Ю. Крыловым [6, 9, 13].

Исследования В.Н. Носуленко можно отнести к данному направлению. Он рассматривает и обосновывает психологический эксперимент как модель взаимодействия человека и среды. Ряд российских исследователей, таких как Барабанщиков, В.А. Петровский, В.А. Садов и др., рассматривают психику как открытую систему, которой свойственно развитие [13].

В историко-эволюционном подходе А.Г. Асмолова сформулированы принципы описания саморазвивающихся систем. Один из основных принципов включает параметры взаимодействия двух противодействующих тенденций функционирования систем – тенденции к сохранению и тенденции к изменению [2].

Применение аппарата синергетики в психологических исследованиях

Исследования в области синергетики посвящены изучению эволюционных процессов различных открытых, неравновесных, нелинейных систем, таких как природа, человеческое общество, культура. Предметом исследования является проблема самоорганизации в многообразии ее проявлений в природной, духовной и материальной культуре человечества [5, 10, 21].

В.И. Аршинов, В.Г. Буданов в методологическом исследовании определяют и обосновывают когнитивные основания синергетики, аналогично СП. Курдюмов и Е.Н. Князева считают синергетику методологической основой футурологии [1, 10].

Создание конкретных моделей психических процессов

Примерами создания моделей конкретных психических процессов являются: геометрическая модель ахроматического зрения Ч.А. Измайлова; теоретическая модель устойчивости к стрессу и ее эмпирическая верификация Б.Б. Величковского; модель восприятия сложных паттернов Г. Хакена, разработанная А.В. Жегалло; математическая модель процесса решения человеком задачи сенсорного различения В.М. Шендяпина [13].

Заключение

Математическая психология представлена большим количеством исследований по разным направлениям, как за рубежом, так и в  России. Следует отметить большое количество различных направлений математической психологии за рубежом, а, следовательно, широкий спектр исследуемых психологических явлений и процессов. Анализ работ в России показывает, что происходящее расширение объекта исследования, интенсивное развитие междисциплинарных исследований приводит к возрождению интереса к методологическим и теоретическим проблемам математической психологии.

За последние годы отмечается интенсивный рост количества работ по проблемам математической психологии, а математические модели усложняются и описывают все более широкий класс экспериментальных условий: от простых условных рефлексов до социальных явлений. Появляется большое количество работ, направленных на решение практических вопросов: моделирование процессов принятия решений и выбора в различных условиях; оптимизация обучения, усвоения нового материала; создание искусственного интеллекта, проблемы инженерной психологии и т.д. Более раннее появление математической психологии как самостоятельной дисциплины (области знания) за рубежом дало преимущество при развитии и внедрении теоретических исследований в практику. Практическая направленность, запрос на решение актуальных проблем общества отличает все современные зарубежные исследования.

Такие направление математической психологии, как моделирование процессов обучения и памяти, моделирование процессов принятия решений и выбора, появились одними из первых и активно развиваются в настоящее время. Причем ежегодно публикуется большое количество работ по этим темам российских и зарубежных ученых.

Анализ специфики развития основных направлений математической психологии за рубежом и в России позволяет сделать вывод о том, что первые, традиционные направления сохранились и продолжают активно развиваться, кроме того в последнее время появилось несколько новых направлений исследований.

Список литературы

1. Аршинов В.И. Когнитивные основания синергетики / В.И. Аршинов, В.Г. Буданов. – Синергетическая парадигма. Нелинейное мышление в науке и искусстве. – М.: Прогресс-Традиция, 2002. – С.67-109
2. Асмолов, А.Г. Культурно-историческая психология и конструирование миров / А.Г. Асмолов. – Москва: Изд. «ИПП», Воронеж: НПО «МОДЭК», 1996. – 768 с.
3. Грязева-Добшинская, В.Г. Диагностика и моделирование социально-психологических ресурсов команды менеджеров в условиях введения инноваций. / В.Г.  Грязева-Добшинская, Ю.А. Дмитриева. — Вестник Южно-Уральского государственного университета; Серия «Психология». – Вып. 13 / ГОУ ВПО «ЮУрГУ» – Челябинск, 2011. – С.111-117
4. Дмитриева, Ю.А. Метод моделирования в социальной психологии / Ю.А. Дмитриева, В.Г. Грязева-Добшинская. – Вестник Южно-Уральского государственного университета; Серия «Психология». – Вып. / ГОУ ВПО «ЮУрГУ» – Челябинск, 2013. – С. 18-27
5. Дружинин, В.Н. Психология общих способностей / В.Н. Дружинин. – СПб, Питер, 2002 г. – 368с.: ил. – (Серия «Мастера психологии»)
6. Журавлев, А.Л. Математическая психология: школа В.Ю. Крылова / А.Л. Журавлев, Т.Н. Савченко,  – М.: Институт психологии РАН, 2010. – 512с.
7. Ильин, Е.П. Психомоторная организация человека: Учебник для вузов. Учебник нового века / Е.А. Ильин. – СПб: изд-во Питер, 2003. – 384 с.
8. Каган, М.С. Синергетическая парадигма – диалектика общего и особенного в познании различных сфер бытия / Синергетическая парадигма. Нелинейное мышление в науке и искусстве. – М.: Прогресс-Традиция, 2002. – С. 28-50
9. Крылов, В.Ю. Методологические и теоретические проблемы математической психологии. / В.Ю. Крылов. — М., 2000. – 384 с.
10. Курдюмов, С.П. Структуры будущего: синергетика как методологическая основа футурологии / С.П. Курдюмов, Е.Н. Князева. – Синергетическая парадигма. Нелинейное мышление в науке и искусстве. – М.: Прогресс-Традиция, 2002. – С.109-126
11. Лефевр, В.А. Лекции по теории рефлексивных игр. – М.: «Когито-Центр», 2009. – 218 с.
12. Малинецкий, Г.Г. Синергетика, прогноз и управление риском / Г.Г. Малинецкий, С.П. Курдюмов. Синергетическая парадигма. Нелинейное мышление в науке и искусстве. – М.: Прогресс-Традиция, 2002. – С. 378-406
13. Математическая психология [Электронный ресурс]
14. Митина, О.В. Математические методы в психологии. Практикум
    / О.В. Митина. – М.: Аспект Пресс, 2008. – 238 с.
15. Наследов, А.Д. Математические методы психологического исследования. Анализ и интерпретация данных: учебное пособие / А.Д.  Наследов. – Изд-во Речь, 2012. – 392с.
16. Нейман, Дж. фон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: 1970.
17. Петровский, В.А. Уровень трудности задачи: метаимпликативная модель мотивации выбора / В.А. Петровский // Психологический журнал / Ред. А.Л. Журавлев. – 2006. – том 27, №1 – С.6-23.
18. Рефлексивные процессы и управление. Международный научно-практический междисциплинарный журнал / под ред. В.Е. Лепского. – М.: Институт психологии РАН, 2004.
19. Савченко, Т.Н. Использование классификации конфликтов для управления воздушным движением / Т.Н. Савченко, Г.М. Головина, В.Ю. Крылов  // Труды общества расследователей авиационных происшествий. М., 1994.
20. Савченко, Т.Н. Математическая психология: консолидация сил (по материалам конференции, посвященной 75-летию со дня рождения В.Ю. Крылова) // Экспериментальная психология. 2008. №1. – C. 160 – 166
21. Савченко, Т.Н. Развитие математической психологии: история и перспективы / Т.Н. Савченко // Психологический журнал, 2002, том 23, № 5. – С. 32-41
22. Стивенс, С.С. Психофизика сенсорной функции / С.С. Стивенс // Познавательные психические процессы: хрестоматия / Сост. А.Г. Маклаков. – Санкт-Петербург: Питер, 2001.
23. Таран, Т.А. Отображение принципов рефлексивного управления в математических моделях рефлексивного выбора / Т.А. Таран. – Рефлексивные процессы и управление, под ред. В.Е. Лепского. – М.: Институт психологии РАН, 2002. – С.104-118
24. Умрюхин, Е.А. Основные направления математической психологии за рубежом [Электронный ресурс]
25. Чернавский, Д.С. О методологических аспектах синергетики / Синергетическая парадигма. Нелинейное мышление в науке и искусстве. – М.: Прогресс-Традиция, 2002. – С. 50-67
26. Ярошевский, М.Г. История психологии от античности до середины XX в: Учеб. пособие. – М.: Академия, 1996. – 416 с.
27. Atkinson R., Bower G., Crothers H. An introduction to mathematical learning theory. New York — London — Sydney. 1965
28. Atkinson R., Crothers E. A comparison of paired — assosiate learning models having different acquisition and retention axioms. — «Journal of mathematical psychology», 1967, v. 1, p. 285-315.
29. Buck, R.R. Stochastic models for learning / R.R.   Buck, C.F. Mostelier. – New York. Willey, 1955.
30. Bush R. R., Mosteller F. A mathematical model for simple learning. — «Psychological review», 1951, v. 58, p. 313-323.
31. Bush R. R., Mosteller F. A model for stimulus generalization and discrimination. – «Psychological review», 1951, v. 58, p. 413- 423.
32. Davis-Stober, Clintin P. A lexicographic semiorder polytope and probabilistic representations of choice / Clintin P. Davis-Stober. – Journal of Mathematical Psychology,Volume 56, Issue 2, April 2012, Pages 86–94.
33. Estes, W.K. Individual behavior in uncertain situations: an interpretation in terms of statistical association theory. In: R.M. Thrall, С.Н. Coombs, R.L. Davis (eds.). Decision process. New York: Willey, 1954. P. 127-137
34. Makarova, N. Bayesian estimation of the scaling parameter of fixational eye movements /  Mario Bettenbuhl, Ralf Engbert, Matthias Holschneider. – A Letters Jornal Exploring the Frontiers of Physics, EPL, 100 (2012) – 40003.
35. Norman D. A., Wickelgren W. A. Strength theory of decision rules and latency in retrieval from short-term memory. – Journal of mathematical psychology», 1969, v. 6, p. 192-208.
36. Tanner V. P., Swets G. A. A. decision making theory of visual detection. – «Psychological review», 1954, v. 61, p. 401-409.
37. Thurstone L. L. The learning curve equation. – «Psychological monograph», 1919, v. 26, N 3.
38. Tversky A. Additivites, utility and subjective probability. – «Journal of mathematical psychology», 1967, v. 4, p. 175-201.[schema type=»book» name=»АКТУАЛЬНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПСИХОЛОГИИ » description=»Раскрывается понятие математической психологии, и описываются ее возможные преимущества при использовании в научных исследованиях. Рассматривается актуальность использования математического моделирования в психологии. Обосновывается необходимость анализа современного состояния работ в области математической психологии, тенденций развития российской и зарубежной математической психологии. Представлен обзор основных направлений исследований в этой области за рубежом и в России, таких как моделирование процессов обучения и памяти; теория измерений; моделирование процессов принятия решений. Выявлены перспективные на сегодняшний день направления математической психологии. Анализируются основные тенденции развития математической психологии, особенности применения методов математического моделирования в российских и зарубежных исследованиях.» author=»Дмитриева Юлия Александровна» publisher=»БАСАРАНОВИЧ ЕКАТЕРИНА» pubdate=»2016-12-29″ edition=»euroasia-science.ru_26-27.02.2016_2(23)» ebook=»yes» ]