ОСОБЕННОСТИ ИЗЛОЖЕНИЯ ТЕМЫ «ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК» ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ВУЗА

Опыт преподавания физики в педагогическом вузе показывает, что для будущих учителей физики раздел электромагнетизма «Переменный ток» вызывает затруднения. Мы предлагаем нестандартные методы изложения материала, обеспечивающие понимание сути физических явлений, развитие физического мышления студентов.

Для расчета цепей, по которым текут гармонические переменные токи, удобно пользоваться  наглядными векторными диаграммами и представлением амплитуды А и фазы φ в виде комплексного числа . Введение комплексной амплитуды в теории переменных токов и электрических колебаний позволяет заменить дифференциальные уравнения более простыми алгебраическими. Этот метод получил название символического. Известно, что каждому вектору , расположенному в плоскости XOY (рис.1), можно сопоставить комплексное число , где  x 

и  y проекции вектора на оси координат, А– модуль вектора и комплексного числа, φ– аргумент комплексного числа.

Причем   и . Напомним, что при сложении комплексных чисел отдельно складываются их действительные и мнимые части

                        (1)

Существенной особенностью этого равенства является его соответствие сумме векторов . В этом легко убедиться, рассмотрев рис. 2 , у векторов  и  компоненты равны (x₁y₁) и (x₂ y₂), а компоненты у суммарного вектора  есть (xy).  Из рис.2 следует, что

x = x₁ + x₂  и   y = y₁ + y₂  в полном согласии с

Рис.2                         равенством (1).

Перейдем к рассмотрению операции умножения комплексных чисел. Если они представлены в виде    , то как известно,

                  (2)

Отсюда следует, что произведение комплексного числа , соответствующего  вектору  на координатной плоскости (рис.3), на комплексную величину с модулем равным 1, т.е. e^iy, геометрически сводится к повороту вектора  на угол ψ против часовой стрелки.

В частности, если величина ψ = π/2, то  .

Следовательно, умножение некоторого вектора на  геометрически сводится к повороту вектора на угол π/2 против часовой стрелки. Нетрудно заключить, что при умножении вектора на комплексную величину  геометрически означает поворот вектора на 90^о по часовой стрелке.

Приведем примеры, иллюстрирующие удобство применения комплексного метода при рассмотрении различных процессов, происходящих в цепи переменного тока. Но прежде подчеркнем важность понимания физического смысла уравнений, записанных в комплексной форме, не производя перехода к вещественной форме этих уравнений. Комплексная форма менее громоздка и делает сами формулы более общими и более понятными.

В качестве первого примера, следуя Савельеву И.В.[1], представим в комплексной форме формулу для ЭДС самоиндукции. Рассмотрим простейший электрический контур, содержащий катушку индуктивности L. Пусть к катушке мы приложили переменное напряжение (3), (сопротивлением и емкостью катушки пренебрежем).

Ясно, что поскольку все внешнее напряжение приложено к индуктивности L, то падение напряжения на ней U_L равно  (4). Отсюда получаем . Интегрирование этого равенства дает формулу , которую можно записать в виде   (5), где мы обозначили   (6). Отсюда следует, что индуктивное сопротивление (7). Объединяя соотношения (3), (4) и  (5) приходим к выражению  (8). Сравнивая соотношения (5) и  (8), приходим к заключению, что падение напряжения на индуктивности U_L опережает по фазе ток, текущий по катушке на угол π/2. Построим соответствующую векторную диаграмму: направим ось токов I горизонтально, тогда вектор напряжения U_L пойдет вертикально вверх (рис.4). А теперь проведем те же вычисления символическим методом. В этом случае формула (4) принимает вид   (9), где сила переменного тока равна  (9). Подставляя (9^’ ) в   (9), получаем   (10).

Это равенство показывает, что вектор напряжения  равен по величине умноженному на индуктивное сопротивление  X_L=w L  вектору силы тока , а затем полученный вектор поворачивают на угол π/2 против часовой стрелки. Т.е. мы пришли более простым путем к векторной диаграмме рис.4.

Применим теперь символический метод к току через емкость С. Рассмотрим контур, содержащий конденсатор емкости С. Индуктивность и активное сопротивление контура ничтожно малы и ими можно пренебречь. Мы знаем, что переменный ток может протекать через конденсатор, падение напряжения на нем равно    (11).

Пренебрегая активным сопротивлением проводов, можно записать, что . Подставляя это выражение в формулу (11) и переходя к символической записи, получим . Полагая, что в цепи течет ток  (9’) , имеем

     (12)

Т.е. вектор падения напряжения на конденсаторе емкости С  равен по величине деленному на wС  (или умноженному на емкостное сопротивление ) вектору силы тока  и повернутому на угол π/2 по часовой стрелке

В общем случае, когда в  цепи  имеется  активное сопротивление R, катушка индуктивности L, конденсатор емкости С,  внешнее напряжение  равно сумме комплексных величин

где Х – реактивное сопротивление цепи, есть комплексное сопротивление, его модуль равен         (14^’ )

А аргумент, т.е. угол φ вектора   с осью токов, как легко убедиться определяется формулой , рис.6. Следовательно, .

Список литературы:

1.Савельев И.В. Курс общей физики: в 5 кн. Кн. 2. Электричество и магнетизм .М.:Астрель:АСТ, 2005.-336 с.

2.Сивухин Д.В. Общий курс физики: в 5 т. Том 3: Электричество.М.:ФизМатЛит,2006.- 543 с.[schema type=»book» name=»ОСОБЕННОСТИ ИЗЛОЖЕНИЯ ТЕМЫ «ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК» ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ВУЗА» description=»В статье предлагается своеобразная методика изложения некоторых вопросов темы «Переменный ток». Показано, что если по цепи течет гармонический переменный ток, то для расчета таких цепей можно использовать символический метод. Введение комплексной амплитуды в теории переменных токов и электрических колебаний позволяет заменить дифференциальные уравнения более простыми алгебраическими. » author=»Холодова Светлана Николаевна» publisher=»Басаранович Екатерина» pubdate=»2016-12-16″ edition=»euroasia-science_6(27)_23.06.2016″ ebook=»yes» ]