ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ КОНСТРУКЦИИ, ОПТИМАЛЬНЫЫЕ ПО ПРИНЦИПУ НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ

Принцип наименьшего действия является генетическим принципом окружающего нас внешнего мира. Все устоявшиеся процессы природы оптимальны, иные не выживают в эволюционной борьбе, т.е. являются переходными. Оптимизированы они именно по минимуму действия, что подразумевает минимальные затраты энергии с целью максимального увеличения времени существования. Принцип наименьшего действия, как общий принцип развития и существования природы, автоматически проявляется и в жизни человеческого общества, и даже в разработках научных дисциплин, в том числе и в разработках математических конструкций, которые призваны помогать людям в объяснении природных процессов.

Исторически, до введения аксиоматического метода, вся математика была конструктивной (например, не было иной бесконечности, кроме бесконечности натурального ряда, который является математической конструкцией простейшей арифметической прогрессии). Математические конструкции помогали людям объяснять мир и решать их бытовые проблемы с давних времен.

Выделим ряд исходных аксиоматических понятий:

• Природа – великий конструктор. При этом ее конструкции могут быть и материальными (материальный мир вокруг нас), и духовными (например, духовный мир отдельного человека), и умозрительными (например, математические конструкции).
• Существуют общие принципы построения и существования для всех природных конструкций. К ним относятся, например, законы сохранения, принцип относительности и т.п., к ним относится и принцип наименьшего действия.
• Общие принципы пронизывают все природные конструкции, которые, по этому, и являются оптимальными (другие в природе просто не выживают). Поэтому, вся природа вещей, людей и все сферы их социальной жизни оптимизированы по принципу наименьшего действия. Умозрительные математические конструкции оптимизируются и создаются людьми, у которых принцип наименьшего действия заложен природой на уровне подсознания (генетически), и люди постоянно (часто неосознанно) используют принцип наименьшего действия во всех аспектах своей жизнедеятельности и при достижении поставленных целей (например, стремление к максимальной прибыли или к минимальным затратам).
• Природа стремится к максимально долгой жизни путем экономной траты своего жизненного ресурса – энергии через принцип наименьшего действия.
• Принцип наименьшего действия является основой самоорганизации природных систем.
• Суть принципа наименьшего действия в минимизации энергетических и временных затрат на «конструирование» чего бы то ни было. Это относится и к построению математических конструкций, которые необходимы людям для оптимизации процессов познания окружающего мира. Известно, что математика – это самый лаконичный (оптимальный по принципу наименьшего действия) язык описания процессов природы.

Использование принципа наименьшего действия при конструировании арифметической, геометрической и степенной прогрессий.

Хорошо известно и доказано, что все материальные тела в природе являются аккумуляторами энергии (сгустками энергии в виде массы). Связь массы с энергией выявлена и отражена в формуле M=E/c², где с – скорость света в вакууме [2]. Все природные процессы – это способы изменения, перемещения в пространстве, преобразования и передачи энергии. Известно так же, что энергия изменяется, накапливается, расходуется, передается и преобразуется конкретными по величине элементарными порциями называемыми квантами. При этом для всех видов энергии (поле, излучение, масса и т.п.) её увеличение и уменьшение осуществляется суммированием (или вычитанием) ее порций  или их множеств. Поэтому математические операции суммирования и умножения являются пригодными для описания процессов накопления энергии в природе.

Целью настоящей статьи является построение (в качестве образцов) трех базовых математических конструкций, оптимальных по принципу минимального действия. При этом принцип наименьшего действия реализуется путем «штамповки» – многократным повторением применения одних и тех же математических операций над одними и теми же объектами с целью минимизации затрат времени и энергии на конструирование. Именно «штамповкой» математических операций и математических объектов строятся оптимальные по принципу наименьшего действия математические конструкции. Необходимо заметить, что существует бесконечное множество механизмов «штамповки» в природе в виде копирования форм, элементарных действий, процессов и т.п. Наиболее ярким примером является штамповка методом клонирования клеток (копирования) живых организмов.

Далее в качестве математических объектов будем рассматривать действительные числа, а в качестве математической операции сложение чисел. Целью является построение оптимальной по принципу наименьшего действия математической конструкции в виде числовой последовательности. Выберем в качестве первого члена ряда произвольное число a₁ (например, 0). В качестве штампа – слагаемого используем число «d», а в качестве штампуемой операции используем операцию сложения. Результатом первого шага такой штамповки будет число:

a₂=a₁+d.                                                     (1)

На втором шаге получаем третий член ряда в виде:

a₃=a₂+d=a₁+2d,                                               (2)

а на n-ом шаге имеем:

a_n+1=a₁+n*d.                                                 (3)

Числа a₁,…, a_n, a_n+1, … образуют бесконечную числовую последовательность, которая называется арифметической прогрессией. Она является оптимальной по принципу наименьшего действия математической конструкцией и имеет следующую расчетную формулу для n-ого члена ряда:

a_n=a₁+d*(n-1),                                                   (4)

где число-штамп «d» называется разностью арифметической прогрессии, и «a» и «d» являются элементами множества действительных чисел.

Свойства арифметической прогрессии:

• Каждый член (кроме первого) арифметической прогрессии является полу суммой (то есть средним арифметическим) двух соседних членов, то есть:

a_n=(a_n-1+a_n+1)/2;                                           (5)

• Арифметическая последовательность является рекурсией первого порядка и описывается уравнением:

a_n+1=a_n+d;                                               (6)

• Каждый n-ый член арифметической последовательности является функцией от всех предыдущих членов вида:

a_n+1=(2/n)*(a₁+…+a_n)+d-a₁;                                (7)

Это означает то, что арифметическая последовательность (и каждый ее член) обладает памятью, то есть обладает информацией обо всех предыдущих членах арифметической последовательности.

Аналогичным образом конструируется числовая последовательность, называемая геометрической прогрессией. При этом также используется принцип наименьшего действия в виде метода штамповки, но уже применительно к математической операции умножения. При этом в качестве первого члена ряда, умножаемого на число-штамп «b», используется некоторое число b₁ (например, единица). Второй член последовательности будет иметь вид:

b₂=b₁*b,                                                (8)

а n-ый член геометрической последовательности имеет расчетную формулу:

b_n=b₁*b^n-1,                                              (9)

при этом число-штамп «b» называют знаменателем геометрической прогрессии, члены которой образуют числовую последовательность:

b₁, …, b_n, bⁿ⁺¹, …                                     (10)

Эта последовательность является оптимальной по принципу наименьшего действия математической конструкцией, имеющей три важных свойства:

• Последовательность (10) является рекурсией 1-ого порядка [1] с уравнением рекурсии:

b_n=b*b_n-1.                                                 (11)

Поэтому каждый член (кроме первого) ряда является средним геометрическим своих соседей, то есть:

b_n²=b_n-1*b_n+1.                                             (12)

• Последовательность (10) обладает памятью, так как, согласно [1], член

b_n+1=(b-1)*(b₁+b₂+…+b_n)+b₁=f(b,b₁,b₂,…,b_n),                 (13)

то есть содержит в себе всю «историю» ряда до него.

• Каждой геометрической прогрессии (10) соответствует своя арифметическая последовательность с единичной разностью (то есть d=1). Для доказательства достаточно прологарифмировать (9) по основанию «b». При этом получим (4) с параметрами d=1, a₁=log_b b₁. Обратное отображение является показательной функцией вида (9). Отсюда следует логический вывод, что операторы логарифмирования и обратный ему оператор (показательная функция) являются оптимальными по принципу наименьшего действия, так как они отображают друг в друга оптимальные по принципу наименьшего действия математические конструкции в виде геометрической и арифметической прогрессий.

Третьей прямой математической операцией в алгебре действительных чисел является операция возведения в степень. Применяя метод штамповки к этой операции (в качестве основания степени будем использовать число-штамп «b», а в качестве показателя степени используем число-штамп «с»), получаем последовательность чисел:

b, b^с,b^2с,b^3с…,b^nc,…                                     (14)

Назовем эту последовательность «степенной». Она будет оптимальной математической конструкцией по принципу наименьшего действия со следующей формулой для n-ого члена:

d_n=b^(n-1)*c =b^an,                                                (15)

здесь величина c≥1 и b≥1, а величина n=1,∞.

Этот числовая последовательность также обладает тремя основными свойствами:

1) Последовательность является рекурсией 1-ого порядка с уравнением рекурсии:

d_n+1=(d_n)^c                                                      (16)

2) n-ый член ряда является средним степенным соседних членов, то есть для n-ого члена ряда показатель степени основания b равен среднему геометрическому показателей степеней соседних членов:

a_n=корень(a_n-1*a_n+1)                                          (17)

3) Оператор логарифмирования переводит степенную последовательность в геометрическую:

log_bdⁿ=a_n=c^n-1,                                               (18)

а оператор потенцирования осуществляет обратное отображение.

4) Степенная последовательность с n-ым членом d_n обладает памятью, так как d_n+1 определяется через произведение всех предыдущих членов ряда в виде:

d_n+1=b*(Пⁿ_i=1d_i)^c-1                                            (19)

Заметим, что обратные алгебраические операции в виде деления и извлечения корня, заменяются прямыми (умножением и возведением в степень) для обратных чисел. Поэтому они не рассматриваются.

Таким образом, существуют только три оптимальные по принципу наименьшего действия математические конструкции в виде трех числовых последовательностей (арифметическая, геометрическая и степенная) на поле действительных чисел. Все три прогрессии являются моделями дискретных динамических процессов. Они описываются разностными уравнениями, составленными для соседних моментов времени (шагов), то есть связью соседних членов.

 

Список литературы:

1. Корн Г. Справочник по математике (для научных работников и инженеров) / Г. Корн, Т. Корн. Перевод со второго американского переработанного издания И.Г. Арамановича, А.М. Березмана, И.А. Вайнштейна, Л.З. Румшиского, Л.Я. Цлафа, под общей редакцией И.Г. Арамановича. – М.: Издательство «Наука», 1973. – 832 с.:ил.
2. Яровский Б.М. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов / Б.М. Яворский, А.А. Детлаф, А.К. Лебедев. – 8-е изд., перераб. и испр. – М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2006. – 1056 с.: ил.[schema type=»book» name=»ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ КОНСТРУКЦИИ, ОПТИМАЛЬНЫЫЕ ПО ПРИНЦИПУ НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ» description=»Принцип наименьшего действия является основой самоорганизации природных систем. Математика, как язык описания процессов природы, содержит математические конструкции, необходимые людям для оптимизации процессов познания окружающего мира. Целью настоящей статьи является построение трех базовых математических конструкций, оптимальных по принципу минимального действия. При этом принцип наименьшего действия реализуется путем «штамповки» – многократным повторением применения одних и тех же математических операций над одними и теми же объектами с целью минимизации затрат времени и энергии на конструирование.» author=»Некрестьянова Юлия Николаевна» publisher=»БАСАРАНОВИЧ ЕКАТЕРИНА» pubdate=»2017-04-06″ edition=»ЕВРАЗИЙСКИЙ СОЮЗ УЧЕНЫХ_30.04.2015_4(13)» ebook=»yes» ]