31 Окт

РАСЧЕТ ЕСТЕСТВЕННО ЗАКРУЧЕННЫХ ЛОПАТОК ОСЕВЫХ ТУРБОМАШИН




Номер части:
Оглавление
Содержание
Журнал
Выходные данные


Науки и перечень статей вошедших в журнал:
Авторы:
DOI:

Введение. Рабочие лопатки осевых турбомашин относятся к самым напряженным и ответственным деталям осевых агрегатов, поломка которых может вывести из строя весь агрегат.

В осевых компрессорах, нагнетателях, насосах, вентиляторах современных турбомашин в последнее время находят применение высокоэкономичные однослойные и трехслойные лопатки, произвольно изогнутые и естественно закрученные.

В настоящее время имеется два подхода к решению задач расчета таких лопаток.

Первый подход основан на представлении рабочей лопатки в виде тонкостенного закрученного стержня. Методы расчета таких лопаток осевых турбомашин создавались как продолжение и развитие методов расчета воздушных винтов, рабочих лопаток стационарных паровых турбин, в основе которых лежала классическая теория изогнуто-закрученных стержней Кирхгофа-Клебша. Усовершенствование методов расчета шло как в общетеоретическом плане, так и по линии учета специфических особенностей лопаток осевых турбомашин: высокие окружные скорости, сложные законы изменения площади сечений по длине лопатки, тонкие профили и т.д. Дальнейшее совершенствование методов расчета рабочих лопаток выявило недостаточность некоторых представлений классической теории стержней.

Второй подход к решению задач расчета рабочих лопаток, при котором используется теория оболочек для анализа поведения лопаток осевых турбомашин, начал применяться сравнительно недавно. При этом рассматривались в основном задачи о колебаниях таких лопаток.

Здесь излагается аналитический подход к расчету напряженно-деформиро-ванного состояния (НДС) таких лопаток, основанный на сведении краевой задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений в общем случае с переменными коэффициентами и решение затем полученной системы уравнений модифицированным методом последовательных приближений, разработанный автором [1, 2]. На основе такого подхода автором решен широкий круг задач математической физики и прикладной механики [3–5].

Постановка задачи. Проведем вывод уравнений равновесия и естественных граничных условий рабочих лопаток осевых турбомашин. На рис.1 приведена геометрия закрученной лопатки. Предполагается, что лопатка образована винтовым движением слабоизогнутого профиля, скользящего относительно неподвижной оси и поворачивающегося относительно этой оси на угол  с постоянной угловой скоростью.

Геометрия лопатки задается следующим образом. Функция изменения толщины лопатки записывается в виде:

Модифицированный метод последовательных приближений. Многие прикладные и теоретические вопросы современного естествознания приводят к двумерным краевым задачам для эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных, при решении которых широко применяются методы численного анализа [9]. При этом наиболее часто используется метод сведения краевой задачи к ряду задач Коши с применением численных методов типа Рунге-Кутта, Адамса-Штермера при дальнейшем решении каждой из задач.

И хотя на основе такого подхода решен широкий круг задач математической физики, следует всегда помнить о том, что задача Коши для уравнений эллиптического типа является не корректной (как известно, она корректна для уравнений гиперболического типа), а поэтому в каждом конкретном случае необходимо тщательно обосновывать возможность сведения краевой задачи для эллиптических уравнений к ряду задач Коши.

Недоучет этого обстоятельства может привести к неустойчивому счету при численной реализации на ЭВМ [9, 10]. Связано это с тем обстоятельством, что если собственные значения матрицы системы значительно отличаются по величине вещественной части, то при интегрировании с возрастанием аргумента в результате потери значащих цифр система векторов-решений задач Коши становится почти линейно зависимой, вследствие этого нельзя с достаточной точностью определить постоянные интегрирования и сами искомые функции.

В теории оболочек неприемлемость такого подхода для ряда задач обуславливается краевыми эффектами. Более устойчивыми в этом отношении являются методы прогонки в дифференциальной и разностной форме, методы непрерывной и дискретной ортогонализации [11].

Однако, как справедливо отметил нобелевский лауреат академик Л.В.Канторович, было бы преждевременным на основании доверия к «выводам» машинной техники считать аналитические методы окончательно устаревшими. Исследования ряда видных ученых доказывают практическую целесообразность применения аналитических методов при решении ряда задач и в современных условиях.

Как уже отмечалось, автором был разработан модифицированный метод последовательных приближений [1, 2] с успехом используемый при решении ряда краевых задач математической физики (теории оболочек, термодинамики, ядерной физики).

Проведенные автором исследования ряда краевых задач математической физики показали, что в ряде случаев имеет место медленная сходимость степенных рядов в модифицированном методе последовательных приближений.

Известно, что одна и та же функция может быть представлена целым спектром различных степенных рядов [13]. Представляя по существу одну и ту же функцию, все они обладают весьма различной скоростью сходимости. Если мы преследуем цель – абсолютную точность, то все эти представления равнозначны. Но если наша цель – заданная ограниченная точность, то эти представления будут совершенно различны. Самой слабой сходимостью обладают ряды Тейлора, с другой стороны самая сильная сходимость характерна для полиномов Чебышева [7, 8].

Здесь для ускорения сходимости решения используется метод телескопического сдвига степенного ряда Ланцоша [7]. Идея метода заключается в том, что имеющийся в нашем распоряжении ряд Мак-Лорена телескопически сдвигается в гораздо более короткий ряд, не теряя в точности. Для этого используется возможность представления любого степенного ряда через смещенные полиномы Чебышева на интервале [0, 1].

На первом этапе к решению краевой задачи, описываемой системой уравнений в частных производных (23)-(25) применяется метод интегральных соотношений Дородницына [12] для сведения краевой задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений в общем случае с переменными коэффициентами. При этом в решении неизвестные функции .  задаются в виде конечного ряда по образующей лопатки. Вследствие этого оказывается возможным получение достаточно точных результатов при решении с 2-мя членами ряда, тогда как при задании аппроксимирующих функций вдоль хорды лопатки необходимо

брать значительно большее число членов ряда.

Кроме того, метод интегральных соотношений [12] позволяет получить более точное распределение прогибов по хорде лопатки, поскольку направление по хорде принято дифференциальным.

В соответствии с методом интегральных соотношений представим неизвестные функции в уравнениях (23)-(25) в виде конечного ряда:

Список литературы

  1. Пухлий В.А. Метод аналитического решения двумерных краевых задач для систем эллиптических уравнений. – Журн. вычисл. матем. и матем. физики, 1978, том 18, №5, с.1275-1282.
  2. Пухлий В.А. Об одном подходе к решению краевых задач математический физики. – Дифференциальные уравнения, 1979, том 15, №11, с.2039-2043.
  3. Пухлий В.А. К проблеме вычисления специальных функций. – Прикладные задачи математики: Материалы ХХIII МНТК. – Севастополь: Изд-во СевГУ, 2015.
  4. Пухлий В.А. Решение начально-краевых задач математической физики модифицированным методом последовательных приближений. Ж-л «Обозрение прикладной и промышленной математики», 2015, том 22, вып.4. – Москва: Изд-во ТВП.
  5. Пухлий В.А. и др. К проблеме динамического воздействия природного и техногенного характера на плотину Чернореченского водохранилища г.Севастополя. – Доклад на XI Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. 2015. – Казань: Изд-во РАН.
  6. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. – М.: Изд-во «Мир», 1972. – 318 с.
  7. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. – М.: Физматгиз, 1961. – 524 с.
  8. Luke Y.L. Mathematical function and their approximations. – New York-London: Academic Press, Inc., 1975. – 608 р.
  9. Пухлий В.А. Численные методы. Теория и практикум в среде MATLAB. Том I. – Севастополь, 2007. – 412 с. Том II – Севастополь, 2008. – 762 с.
  10. Годунов С.К., Рябенький В.С. Введение в теорию разностных схем. – М.: Физматгиз, 1962. – 620 с.
  11. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. – Успехи матем. наук, 1961, том 16, №3, с.171-174.
  12. Дородницын А.А. Об одном методе решения уравнения ламинарного пограничного слоя.- Журн. прикл. матем. и техн. физики, 1960, №3, с.111-118.
  13. Воробьев Н.Н. Теория рядов. – М.: Наука, 1975. – 368 с.
    РАСЧЕТ ЕСТЕСТВЕННО ЗАКРУЧЕННЫХ ЛОПАТОК ОСЕВЫХ ТУРБОМАШИН
    Рассматривается расчет напряженно-деформированного состояния естественно закрученных лопаток осевых турбомашин на основе теории оболочек. Исходные уравнения получены на основе вариационного принципа Лагранжа. При решении задачи используется обобщенный метод Бубнова, который не требует удовлетворения статическим граничным условиям. В самом общем случае решение краевой задачи на основе метода интегральных соотношений Дородницына сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Для интегрирования полученной системы используется модифицированный метод последовательных приближений, разработанный автором. Приводится пример расчета лопатки.
    Written by: Пухлий Владимир Александрович, Лепеха Ольга Григорьевна, Журавлев Александр Анатольевич, Сычев Евгений Николаевич
    Published by: БАСАРАНОВИЧ ЕКАТЕРИНА
    Date Published: 01/25/2017
    Edition: ЕВРАЗИЙСКИЙ СОЮЗ УЧЕНЫХ_31.10.15_10(19)
    Available in: Ebook