28 Июл

Об одной сети двойных линий в пространстве E5




Номер части:
Оглавление
Содержание
Журнал
Выходные данные


Науки и перечень статей вошедших в журнал:

В области Ω евклидова пространства , задано семейство гладких линий так, что через каждую точку Χ∈Ω проходит одна линия заданного семейства. Подвижной ортонормированный репер   в области Ω выбран так, чтобы он был репером Френе [1], [2] для линии ω¹ заданного семейства. Деривационные формулы репера ℜ имеют вид:

                                    (1)

Формы   удовлетворяют структурным уравнениям евклидова пространства:

                                              (2)

Интегральные линии векторных полей  образуют сеть Френе  для линии ω¹ заданного семейства. Поскольку репер ℜ построен на касательных к линиям сети , формы  становятся главными, т.е.

                                                                                (3)

В силу последнего равенства формулы (2) имеем:

 

(4)

Дифференцируя внешним образом равенство (3) получим:

Применяя формул (2) отсюда имеем:

В силу равенства (3) последнее равенство имеет вид:

или

Отсюда найдем:

или

Применяя лемму Картана [3] отсюда имеем:


или

                                                               (5)

Система величин  образуют геометрический объект второго порядка.

Формулы Френе для линии ω¹ заданного семейства имеют вид:

и                                                 (6)

                                                       (7)

Здесь , , ,  — первая, вторая, третья и четвертая кривизны линии ω¹ соответственно (где  — символ дифференцирования вдоль линии ω¹).

Псевдофокус [4]   касательной к линии ω¹ сети Σ определяется следующим радиус-вектором:

                                                                    (8)

На каждой касательной  существуют по четыре псевдофокуса. На прямой  существуют псевдофокусы , на прямой  – ,  на прямой  –, на прямой  – , на прямой  –

Пусть сеть  является циклической сетью Френе. Ее обозначим через . Псевдофокус  определяется радиус-вектором:

(9)

Когда точка χ смещается в области Ω⊂, псевдофокус  описывает свою область . Определяется частичное отображение  такое, что  

К области  присоединим подвижной репер  где векторы имеют вид [6]:

(10)

В общем случае эти векторы линейно независимы.

Линии называют двойными линиями отображения , если касательные к ним, взятые в соответствующих точках Χ  и (Χ) пересекаются, либо параллельны [6].

Линия l называется двойной линией пары , если она является двойной линией отображения   и принадлежит распределению [6].

Рассмотрим векторы .

Очевидно, эти векторы компланарны.   Следовательно линия ω¹ заданного семейства является двойной линией частичного отображения .

Из условия  компланарности   векторов    получим :

(11)

Следовательно линия ω² циклической сети Френе  является двойной линией частичного отображения  тогда и только тогда когда имеет место последнее равенство ( где — четвертая кривизна линии ω² циклической сети Френе).

Из условия  компланарности   векторовимеем :

(12)

Следовательно линия ω³ сети  является двойной линией частичного отображения тогда и только тогда,  когда имеют место последнее равенства (12)  ( где — четвертая, — третья кривизны линии сети , т.е. ).

Аналогично  имеют места следующие утверждения:

а) линия сетиявляется двойной линией частичного отображениятогда и только тогда,  когда выполнены условия:

  (13)

( где — вторая кривизна линиисети ).

Таким образом доказана

Теорема. Циклическая  сетьФрене является сетью двойных линий частичного отображения тогда и только тогда, когда выполнены условия: (11), (12), (13), (14).

Список использованной литературы:

  1. Базылев В.Т. Многомерные сети двойных линий [Текст]/ В.Т. Базылев // В кн: Дифференциальная геометрия многообразий фигур, 1975. вып. 6.-с.19-25.
  2. Базылев В.Т. О многомерных сетях в евклидовом пространстве [Текст]/ В.Т. Базылев // Литовский математический сборник,1966.VI.№4.-С.475-491.
  3. Матиева Г. Абдуллаева Ч.Х. Необходимое и достаточное условия вырожденности одного частичного отображения пространства [Текст]/ Ч.Х. Абдуллаева  // Научное периодическое издание «IN SITU». ISSN 2411-7161, № 6/2016.-С.5-9.
  4. Матиева Г. Геометрия частичных отображений, сетей и распределений евклидова пространства [Текст]/ Г.Матиева // Монография. Ош,2003.-С.212-219.
  5. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ [Текст]/ П.К.Рашевский// Москва. Наука.1967.-С.481-482.
  6. Схоутен И.А. Введение в новые методы дифференциальной геометрии [Текст]/ И.А.Схоутен,Д.Дж.Стройк. // Москва. ИЛ.1948.Т.II-348.
  7. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии [Текст]/ С.П. Фиников // М-Л.: Госттехиздат,.1948.- 432.
    Об одной сети двойных линий в пространстве E5
    Written by: Матиева Гулбадан, Абдуллаева Чолпон Хабибуллаевна
    Published by: Басаранович Екатерина
    Date Published: 12/12/2016
    Edition: euroasia-science_28_28.07.2016
    Available in: Ebook