26 Мар

Об изометрии слоеных многообразий




Номер части:
Оглавление
Содержание
Журнал
Выходные данные


Науки и перечень статей вошедших в журнал:

В классической геометрии выделяются два направления. Одно из них называемое геометрией «в малом» изучает локальные свойства геометрических объектов, а второе – исследует геометрические объекты на всем их протяжении и называется геометрией «в целом».

В 1913 году О.Коши доказал, что два замкнутых многогранника, одинаково составленные из конгруэнтных граней, равны. Этот результат является одним из первых решенных задач геометрии «в целом». Многие задачи геометрии «в целом» связаны с изометрией поверхностей. Если поверхности изометричны, можно выбрать координатные линии так, что они будут иметь одинаковую метрику. Исходя из этого Г.Вейль поставил и наметил решение задачи существования замкнутой выпуклой поверхности с данной метрикой. Это проблема получила исчерпывающее решение в самой общей постановке для метрик положительной кривизны, А.Д.Александровым, А.В.Погореловым и их учениками. В 1951 году А.В.Погорелов доказал, что замкнутая выпуклая поверхность однозначно определена своей метрикой в классе общих замкнутых выпуклых поверхностей. Иными словами можно сказать, замкнутые изометричные выпуклые поверхности равны.

  Пусть M, N  гладкие многообразия размерности n, на которых заданы гладкие — мерные слоения F1, F2 соответственно (здесь 0 < k < n).

Определение 1. Если при некотором C‘ — диффеоморфизме φ: M → N образ φ L∝ любого слоя  слоения F1 является слоем слоения F2, то говорят, что пары (M, F1) и (N, F2) C‘ — диффеоморфны и пишут (M, F1) ≈ (N, F2). Отображение φ из (M, F1) в (N, F2) называется C‘ — диффеоморфизмом, сохраняющим слоение и пишется в виде φ: (M, F1) → (N, F2).     В случае, когда M = N и F1 = F2, говорят о диффеоморфизме слоеного многообразия (M, F).

Диффеоморфизмы, сохраняющие слоение, изучены в работах [1], [4], [6].

Отображение изометрии по сечениям, является примером отображения сохраняющее слоения, т.е. изометрия по сечениям каждому слою на поверхности F1 сопоставляет слой  на поверхности F2.

В n — мерном евклидовом пространстве  рассмотрим гиперповерхность F и вектор . Гиперповерхность F пересекаем всевозможными плоскостями , перпендикулярными вектору .  Множество точек пересечения обозначим через . Класс гиперповерхностей, для которых сечения  гомеоморфны шару  либо  сферу обозначим через .

Определение 2. Гиперповерхности F1 и F2 называются изометричными по сечениям, если существуют направления e1 и e2, перпендикулярно которым проводятся сечения поверхностей F1 и F2, так что выполнены следующие условия:

а) каждому сечению P1 ⊂ F1 изометрично сопоставляется сечение P2 ⊂ F2;

б) расстояние между гиперплоскостями, соответствующими сечениям P1 и P‘1, и  гиперплоскостями, соответствующими сечениям  P2 и P‘2 , равны.

Развитием этой теории получены теория изометрий слоеного многообразия. Доказаны несколько теорем по исследованию изометрии по сечениям.

Теорема 1. Двумерные поверхности в R³ класса C², изометричные по сечениям относительно трех некомпланарных направлений изометричны.

Теорема 2. Пусть двумерные поверхности F1,F2 ∈  изометричны по сечениям и видны из точек O1 и O2 соответственно. Тогда, если углы видимости в соответствующих при изометрии точках O1 и O2  соответственно равны, то равны F1 и F2.

Определение 3. Диффеоморфизм φ: M → N слоеного многообразия называется изометрией слоеного многообразия (M, F), если сужение φ: L∝ → φ(L∝) является изометрией.

Вопросу об изометрических отображениях слоений посвящены работы  [2], [3]. В этих работах изучены вопросы, при каких условиях всякая изометрия слоения является изометрией многообразия. В работе [2] доказано существование  диффеоморфизма многообразия на себя, который является изометрией слоения, но не является  изометрией многообразия. построен пример диффеоморфизма на трехмерной сфере, который является изометрией слоения Хопфа, но не является  изометрией трехмерной сферы.

Обозначим через  множество всех изометрий класса  — слоеного многообразия (M, F) где r ≥ 0. Всякая изометрия слоеного многообразия  в общем случае (M, F) не является изометрией  многообразия M, и наоборот всякая изометрия  многообразия M тоже не является изометрией  слоеного многообразия (M, F). Но конечно они имеют непустое пересечение. Следовательно, возникает вопрос о существовании класса слоений, для которых  всякая изометрия слоеного многообразия является изометрией многообразия.

Определение 4.  Дифференцируемое отображение f: M → B максимального ранга, где M, B -гладкие многообразия размерности n, m соответственно, при  n > m, называется субмерсией.

Теорема 3.  [5] Субмерсия  f: M → B  порождает слоение F  размерности k = n — m на M, слоями которого являются множества 

Нами выделен класс слоений, для которых всякая изометрия слоеного многообразия является изометрией многообразия.

Теорема  4. Пусть f: M → B не является римановой субмерсией. Тогда всякая изометрия слоеного многообразия (M, F)  является изометрией  риманова многообразия (M, g), где слоения F  порождено субмерсией f.

Список литературы:

  1. Арансон С. Х. Топология векторных полей, слоений с особенностями и гомеоморфизмов с инвариантными слоениями на замкнутых поверхностях //Труды математического института РАН – М.: 1992. – Т.193. – C.15-21.
  2. Нарманов А. Я., Скоробогатов Д.А. Изометрические отображения слоений// Доклады Академии Наук Республики Узбекистан, – 2004. – №4. – С.12-16.
  3. Скоробогатов Д. А. Задача об изометрии слоений коразмерности один. Узбекский математический журнал, – 2000. – №5-6. – С.55-62.
  4. Narmanov A.Ya., Sharipov A.S. On the group of foliation isometries. Methods of functional Analysis and topology, Kiev, Ukraine, – 2009. – V.15. – P.195-200.
  5. Narmanov A.Ya. and Sharipov A.S. On the geometry of submersions, International journal of geometry, vol. 3 (2014), No.2, P. 51-56.
  6. Sharipov A.S., Narmanov A.Ya. On the isometries of foliated manifold, TWMS Jour. Pure and Appl. Math., – 2011. – V.2. – №1. – P.127-133.
    Об изометрии слоеных многообразий
    В статье изучается вопрос, при каких условиях всякая изометрия слоеного многообразия (M, F) является изометрией многообразия M.
    Written by: Шарипов Анваржон Солиевич
    Published by: БАСАРАНОВИЧ ЕКАТЕРИНА
    Date Published: 12/21/2016
    Edition: euroasian-science.ru_25-26.03.2016_3(24)
    Available in: Ebook