23 Июн

О регуляризации одного класса двумерных операторов Теплица




Номер части:
Оглавление
Содержание
Журнал
Выходные данные


Науки и перечень статей вошедших в журнал:
  1. Введение.

Через C, R, Z будем обозначать множества комплексных, вещественных, целых чисел соответственно. Положим . Обозначим L2(Г), W(Г²) — гильбертовы W(Г), W(Г²) пространства измеримых суммируемых с квадратом функций, через  — стандартные банаховы алгебры функций, разлагающихся в абсолютно сходящтеся ряды Фурье на Г, Г² соответственно. Как известно, оператор сингулярного интегрирования S, ограничен и инволютивен в пространствах L2(Г), W(Г²). Это позволяет определить операторы проектирования: , действующие в пространствах L2(Г), W(Г²), а также операторы проектирования , действующие в пространствах L2(Г), W(Г). Образы введенных операторов проектирования будем помечать тем же набором + и -, который присутствует в обозначениях проекторов, оставляя при этом прежние обозначения для пространств. Например, ,… .

В работе рассматривается оператор Теплица , действующий по правилу , где a(ξ, η)W(Г²). Функцию a(ξ, η) называют символом оператора Ta.

До сих пор наиболее общим результатом для оператора  является следующий критерий нетеровости, полученный И.Б. Симоненко [14-16] в качестве следствия к разработанному им локальному принципу исследования операторов локального типа [1-4].

Теорема 1: Оператор  нетеров тогда и только тогда, когда его символ удовлетворяет условиям:

1)

При выполнении условий теоремы 1 индекс оператора Ta равен нулю.

Отметим, что при выполнении условий 1), 2) символ a(ξ, η)W(Г²) оператор Ta допускает факторизацию

(1)

где  обратимы в соответствующих подалгебрах  .

Из равенства (1) следует, что , и, хотя операторы  обратимы, оператор , в отличие от одномерного случая не проще, чем исходный оператор Ta. В последующих исследованиях этот результат в серии работ В.С. Пилиди [11], Л.И. Сазонова [13], а также Р.Г. Дугласа [9], [7], был обобщен в различных направлениях. Работы И.Б. Симоненко и его последователей посвящены качественному исследованию и практически не содержат никаких конструкций, исключая конструкции регуляризаторов. Однако имеются и некоторые работы, посвященные конструктивному подходу при исследовании двумерного оператора Теплица. Укажем некоторые из этих работ. В.С. Рабиновича [12] заметил, что если в представлении 1 отсутствует  , то оператор Ta обратим. Л.И. Сазонов обобщил этот результат на случай, когда . В работах С. Ошера [9], В.А. Малышева [8], автора [10], А. Беттхера [1], [2] рассмотрены двумерные операторы Теплица со специальными символами. В этих работах показано, что нетеровость рассматриваемых операторов равносильна их обратимости и предприняты попытки построения решений соответствующих уравнений. В работе Р.Г.Дугласа и Р.Хоува [8] приведен пример, показывающий, что нетеровость двумерных операторов Теплица не равносильна их обратимости.

В работе исследуется двумерный оператор Теплица с символов вида

(2)

где .

Для оператора  с символом (2) проведена процедура равносильной регуляризации и редукции, сводящая уравнение Taφ = f к равносильному уравнению Фредгольма. При этом упомянутое уравнение Фредгольма одномерно и при его помощи описаны образ, ядро, даны условия разрешимости и конструкция исходного уравнения.

  1. Вспомогательные результаты.

Лемма 1. Пусть контур L ограничивает односвязную область D, а функция аналитична в области D и непрерывно дифференцируема на контуре L. Если функция a(ξ, η) имеет в точке  единственный нуль кратности k, то справедливо равенство .

      Пусть   и функции  не являются тождественными нулями. Нас будут интересовать корни уравнения  в предположении, что переменная η ∈ Г фиксирована. Ясно, что имеется, две кривых корней: , определяемых по стандартным формулам. Однако, эти корни не обязаны обладать, вообще говоря, никакими свойствами непрерывности или гладкости по переменной η ∈ Г. Однако, оказывается, что при некотрых дополнительных условиях о кривых  можно утверждать, что они обладают в некотором смысле такими свойствами. Например, имеет место следующее утверждение.

  1. Модельный оператор.

Рассмотрим связанный с символом (2) многочлен . Очевидно,  и в силу свойств индекса . Согласно лемме 1 и замечанию к ней найдутся функции  так, что ,  и при этом имеет место равенство. Отметим, что Хорошо известно [5, стр. 48], что при выполнении последних условий функция  допускает каноническую факторизацию в а алгебре , Ясно, что функции  ввиду вложений  можно рассматривать как элементы алгебр  соответственно. Принимая во внимание приведенные факты, представим символ (3) в следующем виде

 (3)

В силу свойства частичной мультипликативности (лемма 3) из равенства (3) следует, что . Поскольку операторы обратимы и при этом , то поведение оператора Ta определяется поведением оператора . В связи с этим оператор  и , будем называть модельным оператором, а функцию  — модельным символом.

Пусть  С другой стороны, из теоремы Симоненко следует, что . Таким, образом, для рассматриваемого нами оператора Теплица  .

Лемма 5. Пусть B — банахово пространство и A: B → B — линейный ограниченный оператор. Если sprA<1, то оператор I — A обратим и при этом .

Следствие. Операторы Теплица  обратимы и при этом .

  1. Основной результат.

     В силу леммы 5 в уравнении (6) оператор  вполне непрерывен, поэтому это уравнение есть уравнение Фредгольма второго рода в пространстве . Таким образом справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. Уравнение (6), построенное по уравнению  при помощи модельного оператора равносильно этому уравнению в том смысле, что:

1) если однородное уравнение (6) имеет только тривиальное решение, то оператор Ta обратим и единственное решение уравнения  при любой правой части определяется формулой

2) если однородное уравнение (6) имеет конечное число линейно независимых решений, а правая часть  такова, что неоднородное уравнение (6) разрешимо, то уравнение  разрешимо и его общее решение имеет вид

где  — общее решение уравнения (6).

Литература

  1. Беттхер А. Двумерные свертки в углах с ядрами, имеющими носитель в полуплоскости.  — Матем. заметки,т.34,№2,1983,с.207-218.
  2. Беттхер А., Пасенчук А.Э. Об обратимости теплицевых операторов на квадранте, носители которых лежат в полуплоскости. — В сб. «Дифф. и интегр. уравнения и их прилож.»,Элиста,1982,с.9-19.
  3. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. — М.,Наука,1977.
  4. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки  — М.,Наука,1978.
  5. Гохберг И.Ц.,Фельдман И.А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения.  — М.,Наука,1971.
  6. Гохберг И.Ц.,Крупник Н.Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов.  — Кишинев,Штиница,1973.
  7. Douglas R.G., Howe R. On the algebras of Toeplitz operators on the quater-plane. — Trans. Amer. Math. Soc.,1971,158,№1,p.203-217.
  8. Малышев В.А. О решении уравнений Винера-Хопфа в четверти плоскости. — Доклад АН СССР,1969,т.187,№6,с.1066-1069.
  9. Osher S.J. On certain Toeplitz operators in two variables.  — Pacif.J.Math,1970,34,№1,p.123-129.
  10. Пасенчук А.Э. Оператор Теплица на торе и задача о следах для аналитических функций двух комплексных переменных.  — Изв. ВУЗов Сев.-Кав. регион, Сер. естеств. науки,2006,№1,с.19-24.
  11. Пилиди В.С. О многомерных бисингулярных операторах. — Докл. АН СССР,1971,т.201,№2,с.787-789.
  12. Рабинович В.С. Многомерное уравнение Винера-Хопфа для конусов.  — В сб.»’Теория функций, функц. анализ и их приложен.»’,1967,в.5,с.59-67.
  13. Сазонов. Л.И. -алгебра бисингулярных операторов с разрывными коэффициентами.  — Изв. РАН,сер.мат.,1999,т.63,№2,с.167-200.
  14. Симоненко И.Б. Новый общий метод исследования линейных операторных интегральных уравнений. I. — Изв, АН СССР,сер.матем.,1965,т.,29,в.3,с.567-586.
  15. Симоненко И.Б. Новый общий метод исследования линейных операторных интегральных уравнений. II. — Изв, АН СССР,сер.матем.,1965,т.,29,в.4,с.775-782.
  16. Симоненко И.Б. О многомерных дискретных свертках.  — В сб. «Матем. исследования»,Кишинев,Штиинца,1968,,в.1,с.298-313.
    О регуляризации одного класса двумерных операторов Теплица
    Изучается специальный класс двумерных операторов Теплица в гильбертовом пространстве измеримых суммируемых с квадратом на торе функций. При помощи найденного свойства нестандартной частичной мультипликативности производится равносильная регуляризация упомянутого оператора Теплица.
    Written by: Пасенчук Александр Эдуардович
    Published by: Басаранович Екатерина
    Date Published: 12/14/2016
    Edition: euroasia-science_6(27)_23.06.2016
    Available in: Ebook